5.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（分層練習(xí)）

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

一、單選題

1.（2022春.上海浦東新.高二上海南匯中學(xué)校考期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f（%）的圖像如圖所示，則下列

B./（X）的極大值點(diǎn)為巧

C.尸（%）有唯一的極小值D.函數(shù)〃x）在6）上的極值點(diǎn)的個數(shù)為2

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象直接判斷即可.

【詳解】由圖像可知，的極小值點(diǎn)為三，極大值點(diǎn)為工，故A,B選項(xiàng)錯誤;

玉，Z為尸（x）的極小值點(diǎn)，故C錯誤；

由極值點(diǎn)的概念知函數(shù)在（。,6）上的極值點(diǎn)是馬，彳5,個數(shù)為2,D正確；

故選：D.

2.（2023?上海?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，與函數(shù)、=丁的奇偶性和單調(diào)性都一致的函數(shù)是（）

A.，=尤2B.y=x+sinx

C.y=2|r|D.y=tanx

【答案】B

【分析】根據(jù)初等函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷答案.

【詳解】容易判斷y=d（xcR）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，而y=x2,y=2E是偶函數(shù)，y=tanx在R

上不是增函數(shù)，所以排除A,C,D.

對B,函數(shù)y=x+sinx（xeR）是奇函數(shù)，JL/=l+cosx>0,則函數(shù)在R上是增函數(shù).

故選：B.

二、填空題

3.（2022春?上海金山?高二上海市金山中學(xué)?？计谀┤鐖D是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象:

①函數(shù)/（元）在區(qū)間（1,3）上嚴(yán)格遞減；

②/（1）＜/（2）；

③函數(shù)/（x）在x=l處取極大值；

④函數(shù)/⑴在區(qū)間（-2,5）內(nèi)有兩個極小值點(diǎn).

則上述說法正確的是.

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象分析得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷是否為極值點(diǎn)，比較出函數(shù)值的大小，判斷出

正確答案.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的圖象可知：函數(shù)在（L2）上單調(diào)遞增，在（2,3）上單調(diào)遞減，故

7（1）＜/（2）,故①錯誤，②正確；

由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：〃尤）在（-1,2）上均單調(diào)遞增，故x=l不是函數(shù)的極大值點(diǎn)，③錯誤；

由導(dǎo)函數(shù)圖象可得：在區(qū)間（-2,5）內(nèi)有/（-1）=/（4）=0,且在（-2,-1）與（3,4）上導(dǎo)函數(shù)小于0,在（-1,0）

和（4,5）上導(dǎo)函數(shù)大于0,

故x=_l和x=4為函數(shù)的兩個極小值點(diǎn)，故在區(qū)間（-2,5）內(nèi)有兩個極小值點(diǎn)，④正確.

故答案為：②④

4.（2022秋?上海黃浦?高三格致中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=lnx-ox-2在區(qū)間（1,2）上不單調(diào)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】目

【分析】由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,2）上不單調(diào),等價于函數(shù)/（X）在區(qū)間（1,2）上存在極值點(diǎn)，對函數(shù)/⑺求導(dǎo),

對。分類討論，求出極值點(diǎn)，根據(jù)極值點(diǎn)在區(qū)間（L2）內(nèi)，可得關(guān)于。的不等式，即可求出結(jié)果.

【詳解】由/。)=!一。=匕竺.

XX

①當(dāng)aWO時，函數(shù)AM單調(diào)遞增，不合題意；

②當(dāng)。>0時，函數(shù)/(元)的極值點(diǎn)為x=,，

a

若函數(shù)/⑺在區(qū)間(1,2)不單調(diào)，必有1<!<2,解得

a2

故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由于函數(shù)"X)在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，等價于函數(shù)/(X)在區(qū)間(1,2)上存在極值點(diǎn)，這

是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破點(diǎn).

5.(2022春?上海閔行?高二閔行中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)〃力=-X3+3X+。，awR,若存在三個互不相

等的實(shí)數(shù)相、〃、P，使得〃加)=/(〃)=〃p)=2022,則實(shí)數(shù)°的取值范圍是.

【答案】(2020,2024)

【分析】求出/(尤)的極大值和極小值后可得.

【詳解】廣(%)=-3爐+3,

由/'(X)=0得X=土1,

x<-L或x>l時，T<x<l時，f'(x)>0,

f(x)在和(1,內(nèi))上都是遞減，在(-1,1)上遞增，

所以了(無)極小值=/(-1)=?-2,/(x)極大值=f(l)=2+a,

fa-2<2022

由題意c解得2020<a<2024.

［。+2>2022

故答案為：(2020,2024).

X

6.(2022春?上海楊浦?高二復(fù)旦附中校考期末)函數(shù)>=3-丁的駐點(diǎn)為.

e

【答案】1

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)y',由y'=o解確定結(jié)果.

.、辛々刀▼,Qx-XQXx—1

【詳解】y=——

ee

由y=0得X=l,

尤<1時，y<o,%>1時，y>o,因此x=i是函數(shù)的駐點(diǎn).

故答案為：1.

7.(2022春?上海浦東新?高二華師大二附中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ax3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)y=f\x)

的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0)、(2,0).如圖，則下列說法正確的是

-3

①當(dāng)X=］時，函數(shù)/⑺取得最小值；

②/(X)有兩個極值點(diǎn)；

③當(dāng)X=2時函數(shù)取得極小值；

④當(dāng)x=l時函數(shù)取得極大值；

【答案】②③④

【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像判斷出函數(shù)式x)的單調(diào)性，從而得到極值的情況，即可得到正確答案.

【詳解】由圖象可知，當(dāng)xw(-8,l)時,用耳>。；當(dāng)xe(l,2)吐/'(x)<0;當(dāng)xe(2?)時，/^)>0.

所以函數(shù)1x)在(-*1)上單增，在(L2)上單減，在(2,+8)上單增，無最大最小值，所以①錯；五功有兩個極

值點(diǎn)1和2,且當(dāng)廣2時函數(shù)取得極小值，當(dāng)x=l時，函數(shù)取得極大值，所以②③④正確.

故答案為：②③④.

三、解答題

8.(2022秋?上海青浦?高三上海市青浦高級中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)〃尤)=alnx+gx2-g+i)x(qeR且

QW0).

(1)當(dāng).<0時，求函數(shù)“X)的極值；

⑵當(dāng)a>0時，求函數(shù)“X)零點(diǎn)的個數(shù).

【答案】(1)有極小值-無極大值

⑵零點(diǎn)個數(shù)為1

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，然后求解函數(shù)的極值；

(2)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過對參數(shù)。分類討論分析其單調(diào)性即可知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

【詳解】(1)解：由題意得：

，/、az、％2一（〃+i）%+〃（%一1）（工一〃）

f（x）=-+x-（a+l]=--------------------=--------------,

xxx

令廣（力=0,得％=1或%=。（舍去），

當(dāng)Ovxvl時，/(力<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時，/^x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

所以函數(shù)〃X)有極小值〃1)=-“-；，無極大值.

(2)由(1)得(⑺=仁華;1.因?yàn)椤?gt;0,

①若當(dāng)0<x<a時，>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)a<x<l時，/(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時，/^%)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;

所以/'（尤）有極大值/（?）=a\na+|a2

一（a+l）〃=a<0,

極小值=X/（2a+2）=aln（2a+2）>0,

所以函數(shù)有1個零點(diǎn).

②若。=1,貝1」/(可=三2..0,所以函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

3

此時/⑴=一5<0,〃2。+2)=如(2。+2)>0,所以函數(shù)有1個零點(diǎn).

③若。>1,當(dāng)0<x<l時，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，/(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>。時，f^>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

所以〃尤)有極大值"1)=-<0,顯然極小值〃。)<。,

又“2。+2)=。山(2。+2)>0,所以函數(shù)〃x)有1個零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a>0時，函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個數(shù)為L

9.(2023?上海■IWJ二專題練習(xí))設(shè)aeR,函數(shù)/'(無)=§三—^(Za+l)尤?+(a?+a)x.

⑴若函數(shù)g(x)=4?(x70)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的值；

⑵若函數(shù)/⑺在x=2處取得極小值，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】(1)-;

(2)1

【分析】(1)求出尸(x)，根據(jù)奇函數(shù)的概念得到-2a-1=0,即可求出結(jié)果；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出極小值點(diǎn)，可得。+1=2,即可求出結(jié)果.

(1)

由已知，得/'(X)=X2—(2〃+1)%+.2+〃，

(x)=-=x++a-2a-1,xwO,*.*g(x)='("(%wO)為奇函數(shù),

.?.VxwO,g(-x)+g(A：)=O,即一2〃一1=0,.??〃=—；；

(2)

yr(x)=X2-(26Z+1)X+6Z2+<2=(X-4Z)[X-(6Z+1)],

當(dāng)X變化時/'(%)，〃%)的變化情況如下表：

XS，a)a(a,a+1)a+1(61+1,+8)

+00+

“X)/極大值\極小值/

??〃+1=2,??6?—1.

10.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=alnx-x2+i.

⑴若曲線y=〃x)在x=l處的切線方程為4x-y+8=0,求實(shí)數(shù)。和6的值;

⑵討論函數(shù)的單調(diào)性；

【答案】(1)4=6；b=y

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用切線斜率可構(gòu)造方程求得。；利用切點(diǎn)坐標(biāo)可構(gòu)造方程求得6;

(2)求導(dǎo)后，分別在aWO和。>0的情況下，根據(jù)f(x)的正負(fù)可得“X)單調(diào)性.

(1)

-：f'^x)=--2x,f'(l)=a-2=4,解得：a-6；

由切線方程知：x=l時，y=4+6,.?./(1)=4+6=0,解得：b=4

(2)

由題意知：〃x)定義域?yàn)?0,+動，f'(x)=--2x=~2x2+a；

XX

①當(dāng)aWO時，-2/+a<0,二尸⑺<0在(0,+動上恒成立，

\4X)在(0,+動上單調(diào)遞減；

②當(dāng)。>0時，令((x)=0,解得：Xl=-E<0,尤2=J|>0；

.,.當(dāng)X￡(0,%2)時，>0;當(dāng)工式々，4-00)時，r(x)<。；

\/(X)在(0,%2)上單調(diào)遞增，在(％，內(nèi))上單調(diào)遞減;

綜上所述：當(dāng)。<0時，/(元)在(。,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)。>0時，〃尤)在0,與上單調(diào)遞增，在%

上單調(diào)遞減.

【能力提升】

一、填空題

1.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足尸(x)</(無)，

且/(x+3)為偶函數(shù)，f(6)=l,則不等式"x)>e*的解集為.

【答案】(-8,0)

【分析】構(gòu)造g(x)=/單，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由題設(shè)知〃X)對稱軸為x=3,即可得"0)=1,進(jìn)而

求g(O),而原不等式等價于g(x)>g(。)，即可求解集.

【詳解】設(shè)g(x)=42,則g，⑺J")?、?又/(x)<〃x),

所以g?x)<0，即g(x)在R上是減函數(shù)，

因?yàn)椤▁+3)為偶函數(shù)，所以〃x+3)圖象關(guān)于y軸對稱，而〃x+3)向右平移3個單位可得〃x),

所以〃尤)對稱軸為X=3,則"0)="6)=1,

所以g(0)=半=1,不等式〃冷>爐等價于g(￡)=W>l=g(O),故x<0,

所以不等式/'(x)>爐的解集為(-s,0).

故答案為：(-j0)

2.(2023.上海.高三專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),滿足#'(x)+/(x)>x,則不

等式(x-4)〃x-4)—4〃4)<]-4x的解集為,

【答案】(-叫8)

【分析】構(gòu)造=根據(jù)已知及導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再由不等式等價于g(x-4)<g(4)并結(jié)

合單調(diào)性求解集.

【詳解】令g(x)=^(x)-1,貝Ug'(x)=〃x)+礦(x)—x>0,故g(x)單調(diào)遞增，

所給不等式化為(x-4)/(XT)—"；)?<4/(4)一9，即g(x—4)<g(4),

故x-4<4,即x<8,不等式解集為(-*8).

故答案為：(-叫8)

二、解答題

3.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx-ae，T(aeR).

⑴定義/⑺的導(dǎo)函數(shù)為尸,(尤)，H(x)的導(dǎo)函數(shù)為/⑵(無)……以此類推,若f2@(0)=0,求實(shí)數(shù)〃的值;

(2)若。21,尤20,證明：f(x)<0.

【答案】(l)a=e

⑵證明見解析

【分析】(1)利用列舉歸納法，可得/、(*)的周期為4,則得"。叫無)=c°s尤-枇1,由尸。叫0)=o,

即可求得。值；

(2)分析可得要證f(x)<0,只需證sinxve'T,再利用導(dǎo)數(shù)分別證得e。.x,x.sinx,即可證明結(jié)論成立.

(1)

角軍：由題意得：/(1)(x)=cosx-acx~x,/(2)(x)=-sinx-aex~x,

于⑶(兀)=-cosx-acx~l,/(4)(x)=sin%-acx~x,/(5)(%)=cosx-aex~l

???/⑺(%)的周期為4,

故尸2021)(%)=cosx-aex~l.

y(202D(0)=cos0-ae-1=l--=o,

e

Q=e.

(2)

證明：要證/(x)<0,即證sinxvaej

又a.l,則武―

故只需證sin%<e"T,

令g(x)=e"T—x,X..0,貝！

在(0,1)上，1(%)<0,g(x)單調(diào)遞減，在工+8)上，，(?>0,廉龍)單調(diào)遞增，

所以g(%)..g⑴=0,所以e『.x,

令7z(x)=x—sin%,則〃(%)=1-COSM,0,

所以在(0,+8)上，/幻單調(diào)遞增，

所以h(x)../z(0)=0,所以x..sin%,

所以sin談e*T,因?yàn)樽笥覂蛇叺牟坏忍柌荒芡瑫r取到，

所以sinxvei,

所以/(無)<0,得證.

4.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)了(工)=也￥(人為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線

e

y=/(元)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線與x軸平行.

⑴求上的值；

(2)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)g(x)=(/+x)/Xx),其中f'(x)為/(X)的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意無>0,g(x)<l+e~2.

【答案】⑴左=1;

(2)/(x)在(0,1)遞增，在(1,+00)遞減；

⑶證明見解析.

【分析】（1）由題設(shè)求導(dǎo)函數(shù)廣⑴，再由廣⑴=0求參數(shù)上值.

(2)由(1)得1")=-二3且一0收),構(gòu)造函數(shù)〃(元)=l-x—xlnx,結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究〃(x)的符號，

xe

進(jìn)而求/(尤)的單調(diào)區(qū)間.

(3)由題設(shè)只需證1-%-％1口％</—(l+e-2)在(0,+oo)上恒成立，由(2)易得l-x-xlnxWl+e-之，再構(gòu)造

x+\

雙%)=e'-(%+1)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷此(％+1)的大小關(guān)系，即可證結(jié)論.

(1)

由題設(shè)，/'(%)=匕生*,%￡(0,+8),

xe

1-k

又y=/(x)在a,/(i))處的切線與x軸平行，即/⑴=—=o,

e

.\k=l.

(2)

由(1)得：廣(x)=-x,xe(o,+s),

xe

h(x)=l—x—xlnx,xG(0,+oo),

當(dāng)工￡(0,1)時，h(x)>0,當(dāng)％w(L+oo)時,h(x)<0,又e">0,

二%￡(0,1)時，f\x)>0,X￡(l,+o