廣東省廣州中學(xué)2024-2025學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知在復(fù)平面內(nèi)，。是原點(diǎn)，向量瓦彳,礪對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3-53-2+4i,那么向量屈對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的

虛部是（）

A.9iB.-1C.-iD.9

2.下列說法正確的是（）

A.空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面

B.若空間中兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩直線異面

C.和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線

D.若兩直線分別是正方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面

3.在△ABC中，4。為BC邊上的中線，E為4。的中點(diǎn)，則麗=（）

31

+

44444-4-44

4.如圖所示，正方形O'48'C'的邊長為2cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直

觀圖，則圖形的周長是（）

A.4+4-\/-3cmB.87-2cmC.8cmD.16cm

5.已知在△ABC中，AB=3,AC=4,cosA=則才豆?就=()

o

6.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高某測(cè)量隊(duì)選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的

兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與。.現(xiàn)測(cè)量得NCDB=120。，CD=30米，在點(diǎn)C,。處測(cè)得塔

頂4的仰角分別為30。，45°,則塔高力B=（）

A.30米

B.30，！米

C.306米

D.1541米

7.已知A48C的外接圓的圓心為。，且2萬=屈+前，|同|=/司才引，則向量瓦?在向量配上的投影

向量為()

A.-|BCB.|SCC.-|BCD.|BC

8.已知△狗；的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且"胃=3c0s4焉+焉=焉，則

sinB=()

A蟲BaC-D且

A.45。6U-7

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.設(shè)m,幾是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是()

A.若m〃a,n//a,則

B.若?7i〃n,m//a,貝!Jn〃a

(2.若巾<=%nu0,則m,n是異面直線

D.若0：〃￡,mcct,nu8,則m〃zi或m,n是異面直線

10.已知A2BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是()

A.若tcm4+tanB+tanC>0,貝必ABC一定為銳角三角形

B.若荏?尼>0,則△ABC是銳角三角形

C.若si九4>sinB,則4>B

D.若力=60。，a=3,6=2，！，則△28C有兩解

11.如圖，47為圓錐S。底面圓。的直徑，點(diǎn)B是圓。上異于4C的動(dòng)點(diǎn)，

SO=OC=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.圓錐S。的側(cè)面積為8/1兀

B.三棱錐S-ABC體積的最大值為號(hào)

C.NS4B的取值范圍是

D.若ZB=BC,E為線段4B上的動(dòng)點(diǎn)，貝USE+CE的最小值為2(/3+1)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)向量2=(sin?,1),b=(cos0,2),若2〃6,則tan。=.

13.已知直三棱柱力BC-&B1G的底面為直角三角形，且兩直角邊長分別為1和2質(zhì)，此三棱柱的高為

V3,則該三棱柱的外接球的體積為

14.在△力BC中，AB-AC=9,sin(X+C)=cosAsinC,SLABC=6,P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且方=K?

就+廠贏’貝4+；的最小值為------

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知復(fù)數(shù)Zi=1+山(其中aeR且a<0,i為虛數(shù)單位)，且呼為純虛數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若Z2=含+2,求復(fù)數(shù)Z2的共軌復(fù)數(shù).

16.(本小題12分)

已知2=(3,-2),b=(2,1).。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若+B與江-的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(2)當(dāng)t6[—1,1]時(shí)，求口―的取值范圍.

17.(本小題12分)

2TT

△4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且as出C=cs譏B,C=y.

(1)求B；

(2)若△ABC面積為學(xué)，求BC邊上中線的長.

18.(本小題12分)

已知正方體4BCD中，P、Q分別為對(duì)角線BD、CQ上的點(diǎn)，

(I)求證：PQ〃平面4劣口4；

(II)若R是4B上的點(diǎn)，當(dāng)萼的值為多少時(shí)，能使平面PQR〃平面力i/ZM?請(qǐng)給出證明.

AD

19.(本小題12分)

三角形的布洛卡點(diǎn)是法國數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn).當(dāng)AaBC內(nèi)一點(diǎn)P滿足條件NP4B=乙PBC=

NP&4=8時(shí)，則稱點(diǎn)P為AABC的布洛卡點(diǎn)，角。為布洛卡角.如圖，在△ABC中，角力，B,C所對(duì)邊長分

別為a,b,c,記△ABC的面積為S,點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)，其布洛卡角為仇

(1)若0=30。.求證：

①a?+b2+c2=4-/3S；

②△ABC為等邊三角形.

(2)若4=20求證:sin2>1=sinBsinC.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：向量瓦而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為3—5i,-2+4i,

則成=(3,-5),0B=(-2,4)-

AB^OB-OA^(-5,9),

故向量四對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+93其虛部為9.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及向量的線性運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，以及向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：對(duì)于4空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若空間中兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩直線異面或平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，如圖，在長方體4BCD中,

當(dāng)AB所在直線為a,BC'所在直線為6時(shí)，a與b相交，

當(dāng)AB所在直線為a,B'C所在直線為6時(shí)，a與b異面，

若兩直線分別是正方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面，故。正

確.

故選：D.

對(duì)于4空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面；對(duì)于B,這兩直線異面或平行；對(duì)于C,和

兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線；對(duì)于D,以長方體為載體進(jìn)行判斷求解.

本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間思維能力，是中檔題.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查平面向量的運(yùn)算，以及平面向量基本定理，屬于較易題.

根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則運(yùn)算即可得解.

【解答】

解:如圖,

一1一1一1一1一1一1一一

BE=5BA+5BD=5BA+ZBC=5BA+4(^BA+AC)

乙乙乙i*乙I*

=^；BA+yBA+^AC=^-BA+^-AC,

24444

所以布=,四一。刀.

44

故選A.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查平面圖形直觀圖的斜二測(cè)畫法，熟練掌握斜二測(cè)畫法的特征是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)斜二測(cè)畫法畫直觀圖的性質(zhì)，還原原圖，結(jié)合圖形求得原圖形的各邊長，可得周長.

【解答】

解：根據(jù)題意，直觀圖正方形O'AB'C'的邊長2cm,O'B'=

原圖形為平行四邊形O4BC,其中。力=2,高08=442.

貝=C0=V32+4=6cm.

故原圖形的周長L=2x6+2x2=16cm；

故本題選D.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查向量數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.

將問題轉(zhuǎn)化為向量存，前的數(shù)量積，即可快速求解.

【解答】

解：AB-BC-AB-(AC-AB)=AB-AC-(Zfi)2=3x4xj-9=-j,

故選：B.

6.【答案】A

【解析】解：設(shè)該塔的高度為九米，

則3'=面善而=氏=0兒8°=益益=$=6

在△BCD中，BC2=BD2+CD2-2BD-CDcosACDB,

HP3/I2=h2+900-2/iX30cosl20°,由九>0,解得九=30,

即塔高AB為30米.

故選：A.

設(shè)該塔的高度為九米，由題意可得==結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由2而=屈+尼，可知點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

所以AABC為直角三角形，Z.BAC=90°,

又|就|=宿|通所以cosN4BC=浮，

所以向量瓦5在向量加上的投影向量為：

網(wǎng)際WC濡=|甌x梟品騫畫

故選：D.

由已知得點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，從而AABC為直角三角形，ABAC=90°,又根據(jù)|就|=，司通得

coszXBC=再由投影向量的概念即可求得.

本題考查平面向量數(shù)量積的含義，考查投影向量的求法，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?+B=3C”4

所以3cos4=￥=3-g^，整理可得62=02_3。2,①

rrnsr1,12—r41cos4,COSCsinCcosA+sinAcosCsin(4+C)sinB_2cosB

因?yàn)?---,可得3----

tanA1---t-a-n--C=--t-a--n-B-sinA1--s-i--n-C-=sinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

所以COSB='si?B三a2+c2_^2

2sinAsinClac2ac

解得2b2=Q2+C2,②

由①②可得，c=b=2a,

所以c0sB=^=留=浮，可得=V1-cos2B=手.

故選：D.

由題意利用余弦定理化簡已知等式可得川=c2-342,由2+4=三，利用兩角和的正弦公式，正

tanAtanCtanB

.2

弦定理以及余弦定理化簡可得2b2=a2+c2,解得c=Y7a,b=2a,可求cosB=上的值，進(jìn)而利用同

2ac

角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得s譏B的值.

本題考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的綜合應(yīng)

用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：A：當(dāng)zn〃a,幾〃a時(shí)，m,幾可以相交、平行、異面，因此本選項(xiàng)不正確；

B：當(dāng)m〃zi,m〃a時(shí)，直線n可以在平面a內(nèi)，因此本選項(xiàng)不正確；

C：當(dāng)mua,nu￡時(shí)，m,n是可以是相交直線、平行直線、異面直線，因此本選項(xiàng)不正確；

D-.因?yàn)閍〃°,mea,nu0,所以直線m,n是兩條沒有交點(diǎn)的直線，

所以m//n或n是異面直線，因此本選選項(xiàng)正確.

故選：ABC.

根據(jù)面面平行的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.

本題考查空間中線線關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于4在△ABC中，tanC=—tan(2+B)=—圖露黑.，

則IzmA+tanB=tanC(tanAtanB-1),

所以temA+tanB+tanC=tanC{tanAtanB—1)+tanC=tanAtanBtanC>0,

因?yàn)槿切沃凶疃嘀挥幸粋€(gè)鈍角，所以汝九人>0,汝九8>0,汝九。>0,即三個(gè)角都為銳角，故A正確;

對(duì)于B：因?yàn)槟?通>0,所以前?通=|刀||荏|cos4=bccosA>0,

所以角4為銳角，但無法判斷角B和角C,故B不正確；

對(duì)于C：在A/IBC中，因?yàn)閟MA>s譏B,根據(jù)正弦定理得白>卷，

所以a>b,則4>B,故C正確；

對(duì)于D：由正弦定理號(hào)=心得5仇8=詠=空考些=?，

sinAsinBa33

又由匕<a得B<4因此△ABC有一解，故。不正確.

故選：AC.

對(duì)于4,由兩角和的正切公式可得tanA+tanB=tcmC(tcmatcmB—1),所以tcmA+tcmB+tanC=

tanAtanBtanC>0,即可判斷；對(duì)于B,由向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得4為銳角，無法判斷角B和角C；對(duì)于

C,在AABC中根據(jù)正弦定理和大邊對(duì)大角即可判斷；對(duì)于D,根據(jù)已知利用正弦定理可推得△力BC有一

解.

本題考查了正弦定理、兩角和的正切公式和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.

11.【答案】BD

【解析】【分析】

本題考查旋轉(zhuǎn)體及其特征，考查剪展問題中最值的求法，考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力及思維

能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

由已知求出圓錐側(cè)面積判斷4；求出三棱錐S-ABC體積的最大值判斷B；由極限觀點(diǎn)求解NS4B的取值范

圍判斷C;利用剪展問題求得SE+CE的最小值判斷D.

【解答】

解：在RMS。。中，?：SO=0C=2,SC=2，1,

則圓錐S。的側(cè)面積為S=2x2兀x2x2/1=4，1兀，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)B位于&中點(diǎn)時(shí)，AABC面積取最大值，為：x4x2=4,

此時(shí)三棱錐S-ABC體積的最大值為4X4X2=|,故B正確；

當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)4重合時(shí)，N4SB=0,為最小角，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，^ASB=為最大角，

又因?yàn)辄c(diǎn)B與4,C不重合，

故N&S8G(0,芻，

又2NS4B+/-ASB=n,

可得NS4B的取值范圍是G，9,故C錯(cuò)誤；

若AB=BC,以48為軸把平面￡48旋轉(zhuǎn)至與平面ABC共面，連接SC,交4B于E,如圖所示,

在此平面圖中，易得ASHB為等邊三角形，AB1BC,且4B=BC=2，^,

貝心BC=150°,在△SBC中，SB=BC=2A<2.

由余弦定理可得,SC=J(2，2)2+(2/2)2一2xx2/2xcosl50。

=J8+8-2X2/2x2/2X(-=2(4+1)>即SE+CE的最小值為2(門+1),故。正確.

故選：BD.

12.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查正切函數(shù)的求法，考查向量平行的性質(zhì)和同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

利用向量平行的性質(zhì)和同角三角函數(shù)關(guān)系式能求出結(jié)果.

【解答】

解：va=(sin3,1),b=(cosd,2),a//b,

???2sin6=cos0,

1

???tand=

故答案為：

13.【答案】學(xué)

【解析】【分析】

本題考查球的體積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

根據(jù)給定條件把直三棱柱補(bǔ)形成長方體，利用它們有相同的外接球，求出長方體的體對(duì)角線長即可得解.

【解答】

解：依題意，不妨令N8AC=90。，于是得直三棱柱ABC-共點(diǎn)于2的三條棱48,AC,441兩兩垂

直，AB=1,AC=2-7-3,AAr=V_3,

則以4B,AC,44i為相鄰三條棱可作長方體，該長方體與直三棱柱ABC-4B1Q有相同的外接球,

外接球的直徑2R即為長方體體對(duì)角線長JI2+(73)2+(273)2=4,即R=2,

此球的體積為了=3兀/?3=苧，

故答案為：竽.

14.【答案】||+苧

【解析】解：^\AB\=c,\AC\=b,因?yàn)檐?左=9,所以6ccos4=9,①

因?yàn)閟in(Z+C)=cosAsinC,且A+C=冗一B,

所以sinB=cosAsinC,

由正弦定理可得b=ccosA,②

又SAABC=6，所以gbcsinA=6,③

由①②③解得力=3,c=5,sinA=^,cosA=|,

由余弦定理，可得|CB\=J9+25-2X3X5X|=4,

貝原川高+y喘=1與+浮，

因?yàn)辄c(diǎn)P,A,B三點(diǎn)共線，所以2+3=1,

34

21121

王y

++>2

-A-+-+-+--+736

K34

3y2X

--x_y_6x(4—v6)

%y*二5

當(dāng)且僅當(dāng)3y2x時(shí),等號(hào)成立.

Hl_4x(2<6-3)

34，二5

故答案為：罵+?.

設(shè)|而|=c,I與I=6,由已知，解得b,c,sin力及cosA,再由余弦定理解得CB,根據(jù)P,A,B三點(diǎn)共

線，得京+*=1,再利用基本不等式求解即可.

本題考查解三角形，考查平面向量基本定理及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

15.【答案】解：(1)???zi=l+ai,

???zf=1—a2+2由，

z會(huì)為純虛數(shù)，

???仁-°，解得0=―］或口=1(舍去)，

???a=-1.

(2)由(1)得：=1-i

z=+2=+2=2—i,

z2l+ll+l

***z?=2+i.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】解:(1)根據(jù)題意,a=(3,-2),b=(2,1),

則mN+b=(3m+2,—2m+1),a-2b=(—1,—4),

若租五+3與五-2不的夾角為鈍角,

則有+h)?(a-2h)=-3m—2+8m—4=5m—6<0,且4(3m+2)H—(—2m+1),

1

u

解得zn<g且znW-萬，即zn的取值范圍為(一8,-金(-2-

(2)根據(jù)題意，d—tb=(3—2t,—2—t),

貝!]|五一tb『=(3-2t)2+(-2-￡)2=5t2-8t+13,

所以「-tb\=V5t2-8t+13,

又—1<t<1,則等<|a-tb\</26,

即|R—面的取值范圍是[等,YI司.

【解析】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)題意，求出+3與2-23的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得關(guān)于小的不等式，然后求出小的

范圍；

(2)根據(jù)題意，求出五-石的坐標(biāo)，得到|五-1另|的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出取值范圍.

17.【答案】解：(1)asinC=csinB,???sinAsinC=sinCsinB,

??,sinCW0,

???sinA=sinB,

???A=B或/+B=兀(舍)，

又???c="，

(2)???B=2c=率a=2

--a=b,

1.

,*,~5ctbsiirC,

即孚="24

422

得Q=b=

由正弦定理言=

sine

asinC

得C==3,

sinA

設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D,連接AD,如下圖:

A

■：2AD=AB+AC，

即(2而/=(AB+AC)2,

即44/)2=+匕2+2bccosA,

解得力D=亨.

【解析】(1)邊化角結(jié)合二倍角公式即可得到角B；

(2)根據(jù)4=B,得a=b,再根據(jù)三角形面積公式即可得到a=b=宿，再由正弦定理得邊C,再由24D=

AB+AC,即可得到答案.

本題考查解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)證明：連結(jié)CP并延長與。力的延長線交于M點(diǎn)，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC〃AD,

故APBCs^PDM,所以需=蔡=|,

又因?yàn)楹?需=1，所以簫=需=1，所以PQ〃“加

又MD】u平面4也。2,PQC平面4也。力，故PQ〃平面&D1fM.

(II)當(dāng)*的值為|時(shí)，能使平面PQR〃平面人也。4.

證明：因?yàn)榈?|，即有翳=|，故翳嗡，所以PR//說

又ZMu平面2也。4「7?《平面4也。4

所以PR〃平面2也。4又PQCPR=P,PQ〃平面4也。人

所以平面PQR〃平面.

【解析】本題考查直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理，考查空間想象能力邏輯推理

能力.屬于較難題.

(I)連結(jié)CP并延長與ZM的延長線交于“點(diǎn)，證明BC〃4D,PQ//MDr,又“/u平面A/iZM,PQC平面

A±DrDA,證明PQ〃平面

(II)R是4B上的點(diǎn)，當(dāng)罌的值為|時(shí)，能使平面PQR〃平面通過證明PR〃平面4必。4又PQC

PR=P,PQ〃平面&D1D4然后證明即可.

19.【答案】證明：(1)①若e=30°,

111

=C

則S=S^ABC=S“AB+S^PBC+S^PAC2'APsin。+-a-BPsi