第1章全等三角形

本章知識(shí)綜合運(yùn)用

有關(guān)概念

??L全等圖形：能完全重合的圖形叫做全等圖形.

團(tuán)全等變換：通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折這幾種方式圖形的形狀、大小不發(fā)生改變，換而言之，就是三種變換

前后的圖形是全等的，所以我們也把這三種變換叫做全等變換.

??2、全等三角形：兩個(gè)能完全重合的三角形叫做全等三角形.

理解：①全等三角形形狀與大小完全相等,與位置無(wú)關(guān);

②一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的三角形,與原三角形仍然全等；

③三角形全等不因位置發(fā)生變化而改變。

基本性質(zhì)

??全等三角形的性質(zhì)

國(guó)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.（注意寫法：字母一一對(duì)應(yīng)）

理解：①長(zhǎng)邊對(duì)長(zhǎng)邊，短邊對(duì)短邊；最大角對(duì)最大角，最小角對(duì)最小角;

②對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊對(duì)的角為對(duì)應(yīng)角.

延伸：①全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等.

②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等.

ZS

判定方法

??1、全等三角形的判定方法

已知條件是否全等圖形（或反例）形式結(jié)論

三邊是SSS

兩邊及夾角是SAS

兩邊一角兩邊及對(duì)非直角否無(wú)

兩邊及對(duì)直角是上HL

兩角及夾邊是ASA

兩角一邊

兩角及對(duì)邊是AAS

三角否無(wú)

理解：三角形全等的判定條件中必須是三個(gè)元素，并且一定有一組對(duì)應(yīng)邊相等.

??2、全等三角形的判定的基本思路

回已知兩邊：

①找第三邊（SSS）；②找?jiàn)A角（SAS）；③找是否有直角（HL）.

團(tuán)已知一邊一角：

若邊為角的對(duì)邊：找任一角（AAS）.

若邊就是角的一條邊：

①找這條邊上的另一角（ASA）；②找這條邊上的對(duì)角（AAS）；②找該角的另一邊（SAS）.

回已知兩角：

①找兩角的夾邊（ASA）；②找任意一邊（AAS）.

??3、全等三角形的判定的基本模型

回平移型：平行線，重疊線段

回旋轉(zhuǎn)型：對(duì)頂角，重疊角和重疊線段

回一線三等角型:

回半角全等型:

??4、全等三角形的判定常用輔助線

回直接連線構(gòu)造全等三角形:

回倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形:

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線”的方法添加輔

助線.

所謂倍長(zhǎng)中線，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造全等三角形，從而運(yùn)用全等三角

形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.

回截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形:

(1)“截長(zhǎng)法”，即在長(zhǎng)線段上取一段，使之等于其中一條短線段，然后證明剩下的線段等于另一條短線段.

(2)“補(bǔ)短法”，即延長(zhǎng)短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一條短線段,再證明延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段;或延長(zhǎng)短線段,

使延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)部分等于另一條短線段.

尺規(guī)作圖

??1、用尺規(guī)作角平分線和直線的垂線

團(tuán)用尺規(guī)作角平分線

回過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線

回過(guò)直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線

??2、用尺規(guī)作三角形

回已知兩邊及夾角作三角形

回已知兩角及夾邊作三角形

團(tuán)已知三邊作三角形

0已知斜邊及直角邊作直角三角形

題型歸納

第一章全等三角形

幾種常見(jiàn)的解題模型

幾種常見(jiàn)的輔助線作法

U題型一全等圖形識(shí)別

【例題】（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與所給圖案是全等圖形的是（）

【變式1】（2021秋.河北保定.八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列圖形：①兩個(gè)正方形；②每邊長(zhǎng)都是1cm的兩個(gè)

四邊形；③每邊都是2cm的兩個(gè)三角形；④半徑都是1.5cm的兩個(gè)圓.其中是一對(duì)全等圖形的是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式2】（2022春?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，四邊形2BCD與四邊形4BO全等，貝此A=

"=,B'C=，AD=

【變式3]（2022秋?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）沿網(wǎng)格線把正方形分割成兩個(gè)全等圖形？用兩種不同的方法

試一試.

g題型二全等三角形的概念

【例I題】（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形B.全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形

C.全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等D.所有的等邊三角形是全等三角形

【解析】解：A、全等三角形的形狀相同，但形狀相同的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形.故

該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、全等三角形面積相等，但面積相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形.故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、全等三角形是指能夠完全重合的兩個(gè)三角形，則全等三角形的周長(zhǎng)和面積一定相等，

故該選項(xiàng)正確；

D、兩個(gè)等邊三角形，形狀相同，但不一定能完全重合，不一定全等.故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式1】（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，如果AABC烏ZiCDA,ZBAC=ZDCA,/B=/D,

對(duì)于以下結(jié)論:

①AB與CD是對(duì)應(yīng)邊；②AC與CA是對(duì)應(yīng)邊；③點(diǎn)A與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；④點(diǎn)C與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn);

⑤NACB與/CAD是對(duì)應(yīng)角,

C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式2】（2020秋?江蘇南京.八年級(jí)南京市金陵匯文學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）下列命題中正確的是（）

A.全等三角形的高相等

B.全等三角形的中線相等

C.全等三角形的角平分線相等

D.全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等

J題型三全等三角形的性質(zhì)

【例題】（2021秋?吉林長(zhǎng)春.八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，AABCmLDEF,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)

。，點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)￡,點(diǎn)3、F、C、E在一條直線上，ZA=85°,NE=50。，AB=4,EF=6.

（1）求NAC8的度數(shù).

（2）求AC邊的取值范圍.

【解析】解：(1)VAABC叁XDEF,

：.ZB=ZE=50°,

?.?ZA=85°,

ZACB=180°ZBZA=45°；

(2):△ABC貯叢DEF,

：.BC=EF=6,

9

：AB=4f

：.AC的范圍是2VAe<10.

【變式1】（2020.山東淄博.統(tǒng)考中考真題）如圖，若AABCmAADE,則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.AC=DEB.ZBAD=ZCAEC.AB=AED.ZABC=ZAED

【變式2）（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）已知△4BC的三邊長(zhǎng)分別是4、5、8,△DEF的三邊分別是4、2x-1、

3y-1,若這兩個(gè)三角形全等，則％+y=.

【變式3】（2022春.四川內(nèi)江.七年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖是一個(gè)3x3的正方形，

則圖中N1+N2+N3+…+N9的度數(shù)是度.

【變式4］（2023秋?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知線段48=20m,MA1AB于點(diǎn)=6m,射線BD1AB

于8,P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走Im,。點(diǎn)從2點(diǎn)向。運(yùn)動(dòng)，每秒走3m,P,。同時(shí)從B出發(fā)，則出

發(fā)秒后，在線段MA上有一點(diǎn)C,使ACAP與APBQ全等.

0氤1全等三角形的判定

【例題】（2022秋?廣西南寧.八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在AABC中，2B=4C,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

E在4D上.找出圖中的全等三角形，并選一對(duì)證明它們?nèi)?

【解析】解：圖中的全等三角形有：△ABDmAACD,AABE空AACE,ABDESACDE；

?.?。是BC的中點(diǎn)，

：.BD=DC,

'：AB=AC,ADAD,

：.△ABD^△4C￡)(SSS)；

：.^BAE=乙CAE,

"：AE=AE,Z.BAE=/.CAE,AB^AC,

AAABE三△ACE(SAS)；

：.BE=CE,

"：BE=CE,BD=DC,DE=DE,

：.△BDESACDE(SSS).

【變式1】（2020秋?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ZL4BC中,42=2C,點(diǎn)D,E分別在4B,2C上，

連結(jié)2E,CD,則下列條件中不能判定2MBE三A4CD的是（）

A.AE=ADB.CD=BE

C.乙ABE=^ACDD.ZCEB=ZBDC

【變式2】（2022秋?湖南邵陽(yáng)?八年級(jí)校考期中）如圖，已知點(diǎn)E,C在線段上，BE=CF,請(qǐng)?jiān)谙铝?/p>

四個(gè)等式中，?AB=DE,②NACB=NF,?ZA=ZD,@AC=DF.選出兩個(gè)作為條件，推出

△DEF.并予以證明.（寫出一種即可）

已知:

求證：&ABC沿ADEF.

e（二一全等三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用

a題型五

【例題】（2022?廣西柳州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A,D,C,尸在同一條直線上，AB=DE,BC=EF.有

下列三個(gè)條件：@AC^DF,②/ABC=/DEF,③NACB=NDFE.

（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得AABC注ADEF.你選取的條件為（填寫序號(hào)）（只需

選一個(gè)條件，多選不得分），你判定的依據(jù)是（填“SSS”或“SA夕或“ASA”或“A4S，）；

（2）利用（1）的結(jié)論△ABCg/XQER求證：AB/7DE.

【解析】（1）解：在A4BC和中，

AC=DF

AB=DE,

BC=EF

；.AABC咨ADEF（SSS）,

在上述三個(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得AABC0ADEF,

選取的條件為①，判定AABC安△￡）￡尸的依據(jù)是SSS.（注意：只需選一個(gè)條件，多選不得

分）

故答案為：①，SSS-,

（2）證明：AABC^/\DEF.

：.NA=NEDF,

：.AB^DE.

【變式】（（2022秋?山東臨沂?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，ZE=ZF=90°,/B=/C,AE^AF,給出下列

結(jié)論：①/1=/2；②BE=CF；③△ACN經(jīng)△ABM；@CD=DN.其中正確的結(jié)論有（）

A.1B.2C.3D.4

??幾種常見(jiàn)的模型

回一線三等角模型：

H列題】（2023春?陜西西安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了

兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板（4C=BC,乙4cB=90。），點(diǎn)C在DE

上，點(diǎn)4和B分別與木墻的頂端重合.

（1）求證：AADC=ACEB；

（2）求兩堵木墻之間的距離.

【解析】(1)證明：由題意得：AC=BC,Z,ACB=90°tAD1DE,BE1DE.

：.Z.ADC=乙CEB=90°,

：.Z.ACD+乙BCE=90°,Z.ACD+Z.DAC=90°,

:?(BCE=Z-DAC

在A4DC和4CE8中

2ADC=Z.CEB

Z-DAC=乙ECB,

、AC=BC

：.AADC=ACEB(AAS)；

(2)解：由題意得：AD=2x3=6cmfBE=7x2=14cm,

9：AADC=ACEB,

.\EC=AD=6cm,DC=BE=14cm,

：.DE=DC+CE=20(cm),

答：兩堵木墻之間的距離為20cm.

【變式1】(2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè))已知，△ABC中，ABAC=90。,4B=AC,直線機(jī)過(guò)點(diǎn)A,且BD1m

于Q,。石1瓶于￡,當(dāng)直線HI繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE.

（1）當(dāng)直線機(jī)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問(wèn)：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；

（2）直線機(jī)在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）

【變式2】（2020秋?貴州遵義?八年級(jí)統(tǒng)考期末）過(guò)正方形力BCD（四邊都相等，四個(gè)角都是直角）的頂點(diǎn)

4作一條直線MN.

N

(1)當(dāng)MN不與正方形任何一邊相交時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE1MN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作DF1MN于點(diǎn)F如圖(1),請(qǐng)

寫出EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)若改變直線MN的位置，使MN與CD邊相交如圖(2),其它條件不變，EF,BE,D尸的關(guān)系會(huì)發(fā)生變

化，請(qǐng)直接寫出EF,BE,DF的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

(3)若繼續(xù)改變直線MN的位置，使MN與BC邊相交如圖(3),其它條件不變，EF,BE,DF的關(guān)系又會(huì)

發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫出￡尸，BE,DF的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

回手拉手模型：

【例題】(2023春?山東東營(yíng)?七年級(jí)校考階段練習(xí))在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一

個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成.在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三

角形.通過(guò)資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進(jìn)行了如下探究：

(1)如圖1,兩個(gè)等腰三角形AA3C和A4DE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE,連接3D、CE、如果

把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手

拉著小手，這個(gè)就是“手拉手模型”，在這個(gè)模型中，和AADB全等的三角形是一，此時(shí)8。和CE的數(shù)量關(guān)

系是

(2)如圖2,兩個(gè)等腰直角三角形ZkABC和AADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=90°,連接8。，

CE,兩線交于點(diǎn)P,請(qǐng)判斷線段8。和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖3,已知AABC,請(qǐng)完成作圖：以42、AC為邊分別向AABC外作等邊AABD和等邊AACE(等邊

三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60。)，連接BE,CD,兩線交于點(diǎn)P,并直接寫出線段BE和8的數(shù)量

關(guān)系及NPBC+NPCB的度數(shù).

/DAE+/EAB=/BAC+NEAB,

^/.DAB=AEAC,

：.LADBg△AEQSAS),

：.BD=CE；

(2)BD=CE^.BD1.CE；

理由如下：因?yàn)镹D4￡=NBAC=90。，如圖2.

所以ZDAE+ZBAE=ZBAC+ZBAE.

所以NDW=NEAC.

在ADAB和AE4c中，

-AD^AE

Z.DAB=Z.EAC,

.AB^AC

所以ADABq△EAC(SAS).

所以即=CE,ZDBA=ZECA.

因?yàn)閆ECA+ZECB+ZABC=90°,

所以ZDBA+ZECB+ZABC=90°.

即NOBC+NECEO。.

所以NBPC=180。(NDBC+NECB)=90°.

所以Br)_LCE.

綜上所述：BD=CE5.BDLCE.

(3)如圖3所示，BE=CD,ZPBC+ZPCB=60°.

圖3

由圖可知ZJX4B=NE4C=60。，AD=AB,AE=AC,

：.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,

即ND4c=ABAE,

：.△ZMC0△BAE(SAS),

：.BE=CD,/.ABE=/.ADC,

XVzBDX=60°,

ZADC+ZBDC=ZABE+ZBDC=60°,

：.ZBPC=ZABP+ZBDC+ZDBA=120°,

ZPBC+ZPCB=60°.

【變式1】（2022秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，分別以AB、AD為邊作等邊

△ABE和等邊AADF,分別連接CE,CF和EF,則下列結(jié)論，一定成立的個(gè)數(shù)是（）

①△CDFdEBC；

②4CEF是等邊三角形；

③NCDF=NEAF；

④CE〃DF

【變式2】（（2020秋?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1,圖2,圖3,在AABC中，分別以4B,AC為

邊,向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE,CD相交于點(diǎn)。.（正多邊形的各邊相等，各個(gè)內(nèi)

角也相等）

F

D

D

①如圖1,求證：AABE注△ADC；

②探究：如圖1,ZBOD=_o；

③如圖2,ZBOD=_o；

④如圖3,ZBOD=_o.

團(tuán)半角模型：

【例題】（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45。的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾

何模型稱為半角模型.半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：

如圖1,在正方形2BCD中，以力為頂點(diǎn)的NE4F=45。，AE.AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn).易證得

EF=BE+FD.

大致證明思路：如圖2,將△力。尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABH,由4H8E=180?？傻肏、B、E三點(diǎn)

共線，/.HAE=^EAF=45°,進(jìn)而可證明△力EH三△4EF,故EF=BE+DF.

任務(wù)：

如圖3,在四邊形力BCD中，AB=AD,ZB=ZD=9O°,Z5XD=120°,以力為頂點(diǎn)的NEAF=60。，AE.AF

與BC、CD邊分別交于￡、產(chǎn)兩點(diǎn).請(qǐng)參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF=BE+DF是否依然成立，

若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】解：成立.

證明：將44DF繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△ABM,

ABM=^ADF,/-ABM=AD=90°,Z.MAB=/.FAD,AM=AF,MB=DF,

???乙MBE=AABM+AABE=180°,

.??M、B、E三點(diǎn)共線，

???/.MAE=/-MAB+乙BAE=Z.FAD+^BAE=乙BAD-^LEAF=60°,

??.Z.MAE=Z-FAE,

\9AE=AE,AM=AF,

MAE尸4E（SAS），

??.ME=EF,

.?.EF=ME=MB+BE=DF+BE.

【變式】（2022秋?山西呂梁?九年級(jí)?？计谥校┰诰毩?xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把

兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACB。，ZACD=30°,以。為頂點(diǎn)作NMDN,交邊

AC,8c于點(diǎn)M,N,/MDN=60°,連接MN.

探究AM,MN,8N三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

慧慧分析：可先利用旋轉(zhuǎn)，把其中的兩條線段“接起來(lái)”，再通過(guò)證明兩三角形全等，從而探究出AM,MN,

3N三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

慧慧編題：在編題演練環(huán)節(jié)，慧慧編題如下：

如圖(1),把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形AC8D,ZACD=45°,以。為頂點(diǎn)作

ZMDN,交邊AC,BC于點(diǎn)M,N,乙MDN=；^ADB,連接MN.

（1）先猜想AM,MN,BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，再證明.

（2）/MDN繞點(diǎn)、D旋轉(zhuǎn),當(dāng)N分別在CA,8c的延長(zhǎng)線上，完成圖（2）,其余條件不變，直接寫出

AM,MN,BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

請(qǐng)你解答：請(qǐng)對(duì)慧慧同學(xué)所編制的問(wèn)題進(jìn)行解答.

??幾種常用的輔助線

回1.直接連線構(gòu)造全等三角形：

【例題】（2022秋?河南安陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）天使是美好的象征，她的翅膀就像一對(duì)全

等三角形.如圖與相交于點(diǎn)。且2B=CD,AD=BC.求證：KABO三2CDO.

【解析】證明：連接BD

"：AB=CD,AD=BC

又BD=DB

.'.△ABD^ACDB(SSS)

ZA=ZC

XZAOB=ZCOD,AB=CD

：.△ABO=△CDO(AAS)

【變式1】（2023春?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：AB=AC,BD=CD,乙4=60。，=140。,

則NB=（）

C.40°或70°D.30°

【變式2］（2022秋?江蘇鹽城?八年級(jí)東臺(tái)市三倉(cāng)鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在AABC中，ZACB=90°,

將母42。繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AEF延長(zhǎng)BC交E尸于點(diǎn)若BD=5,BC=4,貝UOE=_.

團(tuán)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形：

【例題】（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）“倍長(zhǎng)中線法”是解決幾何問(wèn)題的重要方法.所謂倍長(zhǎng)中線法，就是

將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，具體做法是：如圖，2。是△ABC的中線，延長(zhǎng)4。到E,

OF=AD,連接BE,構(gòu)造出△BED和△&!￡?.求證：國(guó)BEDmxCAD.

【解析】證明：如圖所示:

A

E

??,AD是AaBC的中線，

DB=DC,

在△BEO和△C/D中，

ED=AD

乙EDB=Z.ADC,

、DB=DC

BED=^CAD(SAS).

【變式1】（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知4D是△ABC中BC邊上的中線，AB=12,AC=18,貝！的

取值范圍是()

A.3<XD<15B.6<AD<30C.6<AD<30D.3<AD<15

【變式2】（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫

兄弟三角形.如圖，。4=。2,OC=OD,ZAOB^ZCOD^90°,回答下列問(wèn)題:

（1）求證：AOAC和AOB。是兄弟三角形.

（2）“取BD的中點(diǎn)P,連接OP,試說(shuō)明AC=2OP.”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課

講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問(wèn)題，按照這個(gè)思路回答下列問(wèn)題.

①請(qǐng)?jiān)趫D中通過(guò)作輔助線構(gòu)造△3尸￡1g△。尸。，并證明BE=OD；

②求證：AC=2OP.

回截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形:

【例題】（2023?江蘇?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，AB|