第六章立體幾何初步章末二十種?？碱}型歸類

題型歸納

題型突破

斜二測(cè)畫法

1.（23-24高一上?吉林長(zhǎng)春?期中）一水平放置的平面四邊形。4BC的直觀圖。如圖所示，其中04=

O'C=2,O'C1%'軸,A'B'1。軸,B'C'〃y'軸，則四邊形。ABC的面積為（）

C.12V2D.12

2.（23-24高一下?福建莆田?期中）如圖，正方形OABC邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，

C.V2D.2V2

3.（23-24高一下?河北邢臺(tái)?期中）如圖，△&是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，若4C，=2cm,

D.V6cm

4.（23-24高一下?河北滄州?期中）如圖，△力的斜二測(cè)畫法的直觀圖是腰長(zhǎng)為3e的等腰直角三角形，/

C.12D.6V6

5.（23-24高一下?天津北辰?期中）一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形ABCD，如圖所示,

乙48c=45°,XB=AD^1,DC1BC,則原平面圖形的面積為（）

C卷D.2V2

幾何體的表面積與體積問題

6.（23-24高一下?安徽?期中）已知一個(gè)圓錐的高為6,底面半徑為3，現(xiàn)在用一個(gè)平行于圓錐底面的平面

去截圓錐，得到一個(gè)高為2的圓臺(tái)，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（）

A.3B.￡C.26nD.38TT

7.（23-24高一下?河南鄭州?期中）西流湖公園今年春天成為了網(wǎng)紅打卡地，公園里不僅有美麗的景色，各

種亭臺(tái)樓閣也是各有特色.十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的角樓的頂部即為十字

歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖2）.這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)公共側(cè)面

ABCD.在底面BCE中,若BE=CE=4,乙BEC=120°,貝!］該幾何體的體積為（）

D.88V3

8.（23-24高一下?北京房山期中）如圖是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體的直觀圖（圓錐的底面與圓柱的上底面

重合），已知圓錐的高為之，圓柱的高為2,底面半徑為1,則該組合體的體積為（）

9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)將一個(gè)高為4,體積為16TT的圓柱削成一個(gè)空間幾何體ABCD,其中棱AB,

CD分別為圓柱上、下底面上相互垂直的兩條直徑，則被削去部分的體積為一.

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為q,r2,過圓臺(tái)的母線上靠近下底面的

三等分點(diǎn)作截面，將圓臺(tái)分為上、下兩部分.若上、下兩個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積相等，則勺:上=—.

題型03外接球與內(nèi)切球問題

11.（2024?湖南?二模）如圖,在四面體P-ABC中,PA1平面1CB,PA=AC=2BC=2,則此四

面體的外接球表面積為（）

A.3nB.9TIC.36TID.48TT

12.（23-24高三上?浙江寧波?期末）在四面體4BCD中,AB=痘，AD=BC=1,CD=&,且NB4D=

乙48c=，則該四面體的外接球表面積為（）

7

A.-2nB.7nC.8nD.lOn

13.（22-23高一下?山西大同?階段練習(xí)）各棱長(zhǎng)都相等的四面體的內(nèi)切球和外接球的體積之比為（）

A.1:27B.1:9C.1:3D.9:1

14.（23-24高三上河南周口?期末）正三棱錐P-ABC的內(nèi)切球內(nèi)的半徑為r，外接球。2的半徑為R若AB=

2V3,貝哈的最小值為.

15.（23-24高一下?湖南衡陽?期中）已知三棱錐P-ABC三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直，且P4=PB=

PC=6,M,N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度的最小值為.

空間共面問題

16.（22-23高一下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）設(shè)平面a〃平面￡，點(diǎn)4ea,點(diǎn)Be8，C是4B的中點(diǎn)，當(dāng)4B分別

在平面a,B內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，那么所有的動(dòng)點(diǎn)C（）

A.不共面

B.當(dāng)且僅當(dāng)A,B分別在兩條直線上移動(dòng)時(shí)才共面

C.當(dāng)且僅當(dāng)A,B分別在兩條給定的異面直線上移動(dòng)時(shí)才共面

D.共面

17.（多選）（21-22高三上?山東青島?開學(xué)考試）在三棱柱ABC-中，E、F、G、”分別為線段44、

QB1、BBi的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.E、F、G、“四點(diǎn)共面B.平面EG"〃平面4BC1

C.直線與F”異面D.直線BC與平面4F”平行

18.（23-24高一下?廣西南寧?期中）已知正方體4BCD-&B1C15中,AB=2,點(diǎn)M,N分別是線段Q%,

CCi的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)M到平面&GB的距離；

（2）判斷&,M,B,N四點(diǎn)是否共面，若是，請(qǐng)證明；若不是,請(qǐng)說明理由.

19.（22-23高一下?湖南衡陽?期中）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E,F分別為CD,

PB的中點(diǎn).

P

F,

BC

（1）求證:EFII平面PAD.

⑵在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q使得A,E,Q,F四點(diǎn)共面？若存在，求出筆的值；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

20.（22-23高一下?四川綿陽?階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABC。-4/iQDi的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為

的中點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)G滿足西=4DG,求證8,E,G,F四點(diǎn)共面；

⑵求三棱柱4BD-的表面積.

空間共線問題

21.（21-22高二上?上海浦東新?階段練習(xí)）如圖，在正方體4BCD-a/iGDi中，M為棱的中點(diǎn).設(shè)AM

與平面BB/iD的交點(diǎn)為。，則（）

共線，且。

A.三點(diǎn)D],O,BB=2OD1

B.三點(diǎn)￡>i，O,B不共線，且OB=2?！闬

.三點(diǎn)。,共線,且

C￡>i，BOB=0D1

D.三點(diǎn)。1，。,B不共線，且OB=Of）]

22.（22-23高三?全國(guó)?課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H

四點(diǎn)，若EFCIGH=P，則點(diǎn)P（）

A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上

C.既在直線AC上也在直線BD上D.既不在直線AC上也不在直線BD上

（高一下?陜西西安?期中）在直三棱柱凡中，=，側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面

23.23-24-46AB1BC/ACB=O3

積為9+3V3.

（1）求三棱錐B-4/母的體積；

（2）若點(diǎn)D、E分別在三棱柱的棱CQBBi上，且CD>BE，線段的延長(zhǎng)線與平面4BC交于F,G,H

三點(diǎn),證明：F,G,H共線.

24.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E,F,G,H分別在43,4。,BC,CD±.,EG與

FH交于點(diǎn)P,求證：P,4c三點(diǎn)共線.

25.（22-23高一全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體4BCD中，A1C1nBR=Or,B±Dn截面

（2）若AB=3,BC=4,CC]=6,求DP的長(zhǎng).

空間共點(diǎn)問題

26（22-23高一下?山東威海?期末）在空間四邊形力BCD中，若E尸分別為4B,BC的中點(diǎn),G&CD,HeAD,

且CG=2GD,AH=2HD，則（）

A.直線EH與FG平行B.直線EH,FG,BD相交于一點(diǎn)

C.直線EH與FG異面D.直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)

27.（23-24高一下?湖南衡陽?期中）如圖,在正四棱臺(tái)4BCD-4/?4中,M,N,P,Q分別為棱AB,

BC,B1Q上的點(diǎn).已知ZB=6,A1B1=3,B&=B^P=1,BM=BN=4，正四棱臺(tái)4BCD-

的高為6.

⑴證明：直線MQ,BBi,NP相交于同一點(diǎn).

(2)求正四棱臺(tái)4BCD挖去三棱臺(tái)BMN-B】QP后所得幾何體的體積.

28.(22-23高一下?陜西西安?期中)(1)已知直線a屁，直線1與a,b都相交，求證：過a,b,/有且只有

一個(gè)平面；

(2)如圖，在空間四邊形力BCD中,H,G分別是AD,CD的中點(diǎn),E/分別是邊力B,BC上的點(diǎn)，且9=霄=今

FBEB3

求證：直線EH,BD,FG相交于一點(diǎn).

29.(22-23高一下?安徽合肥?期中)在四面體ABCD中,H,G分別是4。,CD的中點(diǎn)，E,尸分別是邊2B,

(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面；

(2)直線EH,BD,FG相交于一點(diǎn).

30.(22-23高一下?陜西?期中)已知E,F分別是正方體4BCD-4中道也中BC和CQ的中點(diǎn)

⑴證明：4E,F,Di四點(diǎn)共面.

⑵證明：AE，。/,DC三條直線交于一點(diǎn)

|題型07|

31.（22-23高一下?廣東廣州?期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-4/165中，N是公當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)，

過B、D、N的平面a截該正方體所得截面的面積為（）

A.4V2B.|C.4V3D.2V6

32（22-23高一下,黑龍江大慶?期末）在正三棱柱71BC-Z/iG中,AB=4,AAr=3,AIC-L=4AIN,BB1=

3MB],平面CMN截三棱柱所得截面的周長(zhǎng)是（）

A.3V2+4V5B.3V2+3V5+V3

C.4V2+3V5D.3V2+4V5+V3

33.（22-23高一下?重慶渝中?期中）正方體2BCD-a/iCiDi的棱長(zhǎng)為2,P為BC中點(diǎn)，過A,P,/三點(diǎn)

的平面截正方體為兩部分，則截面圖形的面積為（）

A.V10B.2V3C.ID.V6

34（22-23高一下?河北邯鄲?期中在正方體4BCD-久邑的。1中,AB=4,E為棱上一點(diǎn)，且BE=3B1E,

則4,E,C三點(diǎn)所在的平面截正方體4BCD-&B1C1D1所得截面的周長(zhǎng)為_.

35.（23-24高一下?河北廊坊?階段練習(xí)）如圖，在正方體4BCD也中，棱長(zhǎng)為2,E是線段4公的

中點(diǎn)，平面a過點(diǎn)A、C、E.

（1）畫出平面a截正方體所得的截面，并說明原因；

（2）求（1）中截面多邊形的面積；

⑶平面a截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值

交線問題

36（23-24高二上?廣東?期末）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體4BCD-A/iGA中百F,G分別是棱48,BC,

的中點(diǎn)，過E,F,G三點(diǎn)的平面與正方體各個(gè)面所得交線圍成的平面圖形的周長(zhǎng)為.

37.（21-22高一?湖南?課后作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-,P為棱的中點(diǎn)，畫出由4,Q,

P三點(diǎn)所確定的平面a與長(zhǎng)方體表面的交線.

38.（22-23高一下?遼寧?期末）如圖，直四棱柱4BCD-4出。也的底面為正方形，4&=2AB=2,“為441

的中點(diǎn).

（1）請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵CD-&B1GA中，畫出經(jīng)過MD,a三點(diǎn)的截面a并寫出作法（無需證明）.

（2）求截面a的面積.

39.（21-22高一下?山東青島?期中）如圖所示，正方體ABC。-的棱長(zhǎng)為a.

（1）過正方體ABC。-&B1C也的頂點(diǎn)A,B,Ci截下一個(gè)三棱錐名-&BC】，求正方體剩余部分的體積；

（2）若M,N分別是棱AB,BC的中點(diǎn)，請(qǐng)畫出過久,M,N三點(diǎn)的平面與正方體4BCD-&B1C1A表面的

交線（保留作圖痕跡，畫出交線，無需說明理由）,并求出交線圍成的多邊形的周長(zhǎng)；

⑶設(shè)正方體ABC。-A/iGA外接球的球心為0,求三棱錐。-2/G的體積.

40.（22-23高三?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，正方體力BCD-&B1GA的棱長(zhǎng)為4cm,M,N分別是為a和CC】

的中點(diǎn).

（1）畫出過點(diǎn)。、M、N的平面與平面BBiQC及平面44//的兩條交線；

（2）設(shè)過。、M、N的平面與81G交于點(diǎn)P,求PM+PN的值.

異面直線問題

41.（23-24高二上?重慶?期末）在正方體4BCD-4/道也中，點(diǎn)M是棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線BM與4c所

成角的正弦值為（）

A叵B亞C—D—

510510

42.（22-23高一下?河北?階段練習(xí)）在直三棱柱4BC-A151cl中,AB工BC,AB=BC=BBr,過點(diǎn)4作直

線/與4cl和2C所成的角均為a,貝必的最小值為（）

A.60°B.45°C.30°D,15°

43.（2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-4/1。也中，4B=8,4D=6,異面直線BD與

所成角的余弦值為］則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（）

A.90nB.196TC

C.784nD.—n

3

44.（多選）（22-23高一下?福建漳州?期末）正方體4BCD-4/164中，0］為底面為B1GA的中心，則

A.直線與CCi所成的角等于30。

B.直線與AC所成的角等于60°

C.直線401與CQ是異面直線

D.直線401與BD所成的角等于90。

45.（22-23高一?全國(guó)?課后作業(yè)）已知S是矩形力BCD所在平面外一點(diǎn)，SA1BC,BS1CD,S4與CD所

成角大小為g,SD與BC所成角大小為￡,S2=1,分別求直線S4與C。的距離及S8與4。的距離.

3o

直線與平面所成角問題

46.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體A8CD-&B1GA中，已知與4。所成的角為60。，8劣與平面48CD

所成的角為30。，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.BDi1BrCB.BA與平面4BB14所成的角為30°

C.BDi1平面D.BO1與平面BCC/i所成的角為45°

47.（22-23高一下?陜西寶雞?期末）在正方體4BCD-4/道通中，直線4/和平面所成角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

48（22-23高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）已知正四面體S-4BC的棱長(zhǎng)為2百，點(diǎn)M為平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)直線SM與平面ABC所成的角為8,若sineG[^,1],則點(diǎn)M的軌跡所形成平面圖形的面積為（）

A.74B.nC.2TTD.4TC

49.（多選）（22-23高一下?湖北武漢?期末）若正四棱在48C。-&B1GA的底面棱長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3,

且M為棱4Al的靠近點(diǎn)4的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形A8CD的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，目滿足MP與底面ABCD的所

成角。E,則下列結(jié)論正確的是（）

4

B.有且僅有一個(gè)點(diǎn)P使得MP1PC]

C.四面體P-4工久的體積取值范圍為[6,8]

D.線段IPGI長(zhǎng)度最小值為g

50.（23-24高一下?河南開封,期中）在三棱錐P-04B中,已知P。1平面OAB,OP=10,AB=20,PA與

平面。所成的角為30。，PB與平面（MB所成的角為45。，貝！]乙4OB=.（用角度表示）

I

題型11平行與垂直的概念辨析

51.（23-24高一下?河南鄭州?期中）設(shè)a是空間中的一個(gè)平面，I,皿踐是三條不同的直線，則下列說法對(duì)的

是（）

A.若m<^a,nca,llm,lln,貝W1a

B.若mua,n1a,11n,貝“〃m

C.若,m1a,n1a貝1n

D.若,m//n,Z1a,貝！|n1a

52.（23-24高一下?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）已知a,b,c是空間中不同的直線，a,夕是不同的平面，則下列

命題正確的是（）

A.若a1b,b1c,貝！］a1c

B.若a與b異面，則至多有一條c與a,b都垂直

C.若a||￡,610,c16,貝!Jc一定平行于a和0

D.若cua,6uS，al0,則存在a同時(shí)垂直c,b

53.（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m、n為空間中兩條不同直線，a、0為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題中正

確的為（）

A.若m上有兩個(gè)點(diǎn)到平面a的距離相等，則加||a

B.若m1a,nu0,則"mlln"是"a1&'的既不充分也不必要條件

C.若aL/3,mua,nu/3,則zn1n

D.若m、n是異面直線，7nua,m||0,nuS，n||a,則a||0

54.（多選）（23-24高一下?寧夏石嘴山?期中）設(shè)犯幾是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，有下列

四個(gè)命題：

①若mua1S，則m1a；

②若機(jī)up,a///3則m〃a；

③若m1a,m1/?,n1a,貝!!九10；

④若犯〃a,m〃S，7i〃a.貝切〃0.

其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①B.②C.③D.（4）

55.（23-24高一下?浙江杭州?期中）下列命題正確的是.（填序號(hào)）

①若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行；

②垂直于同一條直線的兩直線平行；

③兩個(gè)平面互相垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，必垂直與另一個(gè)平面；

④過兩個(gè)點(diǎn)與已知平面的垂直的平面可能不存在；

⑤過兩條異面直線外任一點(diǎn)有且只有一條直線與這兩條異面直線都垂直；

⑥到一個(gè)四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的平面有7個(gè).

線面平行的判定

56.（23-24高一下浙江?期中）如圖，正△28C邊長(zhǎng)為2,。、E分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)沿著DE將△4DE

折起，得到四棱錐4-BCED，點(diǎn)M為AC中點(diǎn).

BCA'

(1)求證：ME〃平面4BD

(2)若4B=V2,求四棱錐4—8CE。的表面積.

⑶過ME的平面分別與棱相交于點(diǎn)S,T,記4A'ST^^ABD的面積分別為“小八S“BD，若沁21=:

、AA'BD4

求黑的值?

57.(23-24高一下?廣東廣州?期中)如圖，在直三棱柱4BC-4/嶼中,AB=8,〃=6,ABAC=90°,D

是BC邊的中點(diǎn),N&C4=45°.

(1)求直三棱柱-4/iG的體積；

⑵求證：&C〃面ABi。.

(3)一只小蟲從點(diǎn)&沿直三棱柱表面爬到點(diǎn)D,求小蟲爬行的最短距離.

58.(2024?陜西西安?二模)如圖，在直三棱柱71BC-2/16中，481,AB=8C=BB]=2,M,N,

P分別為A4,AC,BC的中點(diǎn).

⑴求證:MN〃平面BCC/i；

(2)求三棱錐B-PMN的體積.

59.(2024高三?全國(guó)專題練習(xí))在直三棱由IBC—a/iQ中，4。=3,8C=44]=4,2B=5,D是的

中I八占、、?

(1)求證：4C1〃平面CDB1；

(2)求異面直線4cl與B1C所成角的余弦值.

60.(22-23高一下?全國(guó)?期末)如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD，平面ABCD,

PD=AD=2,E、F、G分別為PC、PD、BC的中點(diǎn).

(1)求證:PA呼面EFG;

(2)求三棱錐P-EFG的體積.

線面平行的性質(zhì)

61.(22-23高一下?新疆?階段練習(xí))如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，PD1平面ABCD,PD=AB=2,AD=4,

點(diǎn)E,F分別為4D,PC的中點(diǎn)，設(shè)平面PDCC平面PBE=I.

P

⑴證明：DF〃平面PBE；

(2)證明：DF〃/;

(3)求三棱錐F-PBE的體積.

62.(22-23高一下?廣西河池?階段練習(xí))如圖所示，在多面體A8CD中，四邊形44//.ADD^,

ABCD均為邊長(zhǎng)為2的正方形，E為名劣的中點(diǎn)，過4,D,E的平面交于點(diǎn)F.

⑴證明：EF/ZBrC；

（2）求三棱錐C-DEF的體積.

63.（22-23高一下?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，在四棱錐P-4BCD中，BC〃平面PAD,BC=\AD,PA=

AB=2,PB=&,點(diǎn)N是AD的中點(diǎn).求證：

（DBC//AD；

（2）求異面直線PA與NC所成角余弦值.

64.（2023高一?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖,在五面體4BCDEF中,平面AED1平面48CD,四邊形ABCD為直角

梯形,其中48IICD,乙DAB=90°,AD=2AE,DE=y[3AE,EF=CD.求證：EFWCD.

65.（22-23高一下?北京朝陽?期中）如圖所示，在四棱錐P-4BCD中，BC〃平面PAD,BC=j/lD,E是P4

的中點(diǎn).

（1）求證：BC//AD；

⑵求證：BE//平面PDC；

II

題型14

■?

66.（23-24高一下?廣東廣州?期中）由直四棱柱ABC。-&B1GA截去三棱錐C]-邑。/后得到的幾何體

如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，。為AC與BD的交點(diǎn).

(1)求證：&?！ㄆ矫?道。1;

⑵求證：平面4BD〃平面B1C4;

(3)設(shè)平面Bi。％與底面ABCD的交線為I,求證：BN/1

67.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在正方體48CD-2/iG4中,E,F分別為4也,。也中點(diǎn),G,

H分別為AB,8c中點(diǎn)，。為平面ABC。中心.證明：平面。EF||平面GGH；

68(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)如圖在直三棱柱ABC-4/?中\(zhòng)AC\=2\BC\=|CCJ=2,^ABC=90°,

D,E,F分別是棱&Ci,BC,AC的中點(diǎn).證明：平面ABD〃平面FEQ；

69{2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在多面體ABCDEF中，48。。是正方形,AB=2,DE=BF,BF//DE,

M為棱4E的中點(diǎn).求證：平面BMD〃平面EFC.

E

70.（23-24高二上?四川南充?階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是

⑴求證：MN〃平面PAD;

⑵若PB中點(diǎn)為Q,求證：平面MNQ〃平面PAD.

面面平行的性質(zhì)

71.（2023?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè)）陽馬，中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，兩個(gè)三角面與

底面垂直的四棱錐體如圖，四棱錐P-ABCD就是陽馬結(jié)構(gòu),PD±sp?ABCD,S.PD=1,48=2。=2,

PEDF?

——————1

(1)證明：EF〃平面P2D；

⑵若2詫=BG,求三棱錐G-DEF的體積.

72(2023高一下?全國(guó)?專題練習(xí)雙口圖AE1平面ABCD,BF〃平面4DE,CF//AEADVABAB=AD=1,

AE=BC=2.求證：AD//BC.

73.(19-20高一?浙江杭州?期末)如圖，點(diǎn)S是夕BCD所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是SA,BD上的點(diǎn)，

且翳=卷?求證："N〃平面SBJ

74.（19-20高二下?湖南岳陽?期中）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，二面角A-CD-F

%60°,DE//CF,CD±DE,AD=2,DE=DC=3,CF=6.

(1)求證:BF〃平面ADE;

(2)求直線AC與平面CDEF所成角的正弦值

75.(22-23高一下?黑龍江鶴崗?期末)如圖,在三棱錐P—ABC中,PA1底面ABC,ABAC=90。.點(diǎn)D、E、

N分別為棱24、PC、BC的中點(diǎn)，M是線段力。的中點(diǎn)，PA=AC=2,AB=1.

(1)求證：MN〃平面BDE；

(2)求點(diǎn)N到直線ME的距離；

線面垂直的判定

76.(23-24高一下?浙江紹興?期中)如圖(1),已知菱形4BCD中4B=2,^DAB=60°,沿對(duì)角線BD將其

翻斷，使乙4BC=90°,設(shè)此時(shí)AC的中點(diǎn)為。，如圖(2).

(1)求證：點(diǎn)。是點(diǎn)D在平面4BC上的射影；

(2)求直線4。與平面BCD所成角的正弦值.

77.(23-24高一下?福建福州?期中)如圖,在四棱錐P-48CD中，P4，平面4BCD,ADIIBC，4DAB=],

AB=4,BC=3,AD=5,E是CD的中點(diǎn).

⑴證明：CD1平面P4E；

(2)若直線PB與平面P4E所成的角和PB與平面4BCD所成的角相等，求四棱錐P-4BCD的體積.

78(22-23高二下?天津紅橋?期末如圖六棱錐P-4BCDEF的底面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形PA1平面力BC,

PA=2V3.

(1)求證：直線BC〃平面PAD；

(2)求證：直線ED，平面P4E；

(3)求直線P。與平面4BC所的成角.

79.(2024高三?全國(guó)專題練習(xí))如圖,在四棱錐P—ABC。中,BD工PC,LBAD=120°,四邊形ABC。是

菱形,PB=五AB=0PA,E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)而=4萬.證明：PA_L平面4BCD.

80.(23-24高二上?上海長(zhǎng)寧?期末)如圖，已知正四棱由18CD-4方品5，

G

（1）求證：AC1平面BDD/i；

⑵求證：平面平面BDG

線面垂直的性質(zhì)

81.（20-21高一?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖,已知正方體A1C.

（1）求證：A1C±B1D1;

（2）M,N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn),且MN^BIDI,MN±C1D,求證:MNllAlC.

82.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在多面體力BCDEF中四邊形ABCD是正方形，DE1平面ABC。,BF1

平面力BCD,DE=2BF=2AB.證明：平面ABF//平面CDE.

83.（20-21高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖所示，在三棱錐P-4BC中，PA1平面ABC,D是側(cè)面PBC上的一

點(diǎn)，過D作平面4BC的垂線DE,其中D比PC,證明：DE〃平面PAC.

84.（2021高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC,平面ABCD,

PB=PD,點(diǎn)Q是棱PC上異于P,C的一點(diǎn).

p

（1）求證：BD±AC;

（2）過點(diǎn)Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF（點(diǎn)F在棱PB±）,求證：QFIIBC.

85.（20-21高一上?陜西延安?期末）如圖所示，48為。0的直徑,C為O。上一點(diǎn),AD，平面48c,AE1BD

于E,4F1CD于F.求證：BDJ_平面AEF.

面面垂直的判定與性質(zhì)

86.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱柱X8C。-a/iGA中，A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且=

60。,2力1=正,B、C1DC，側(cè)面DDiGC1底面為DC中點(diǎn).

（1）求證：平面DiEBJ_平面A8C。；

⑵求三棱錐&-BB]C的體積.

87.（23-24高一下?浙江寧波?期中）如圖，力B是圓柱的底面直徑，AB=2,P4是圓柱的母線且24=2,點(diǎn)C

是圓柱底面圓周上的點(diǎn).

(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；

(2)證明：平面PBC1平面P4C；

⑶若AC=1,。是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段P4上,求CE+ED的最小值.

88.(23-24高一下浙江杭州?期中)如圖，四棱錐P-A8CD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PB=PD.

(1)證明：平面PB。1平面P2C；

(2)若24=1,P力與平面4BCD的夾角為-,求二面角P-BC-2的正弦值.

89.(23-24高一下?河南?期中)如圖1,在矩形ABCD中,AE=^-AB=\AD=a,。是2C與BE的交點(diǎn),將

Z4

A4BE沿BE折起到圖2中4&BE的位置，得到四棱錐&-BCDE.

AE

(1)證明：平面BEDC1平面40C；

(2)若a=1,求三棱錐。-4CD的體積的最大值.

90.(2024?全國(guó)模擬預(yù)測(cè))如圖，已知四棱柱71BCD-48傳必的底面4BCD為平行四邊形，四邊形呢也。

為矩形，平面CCiA。L^ABCD,E為線段CD1的中點(diǎn)，且BE=CE.

(1)求證：AD1平面BB/i。；

(2)若4B=4,AD=2,直線4區(qū)與平面8/5。所成的角為30。，求點(diǎn)E到平面4B名的距離.

題型19動(dòng)點(diǎn)探索問題

91.(2024高一下?全國(guó)專題練習(xí))如圖，將邊長(zhǎng)為近的正方形ABCD沿對(duì)角線4c折起使得點(diǎn)。到點(diǎn))的位

置，連接,。為AC的中點(diǎn).

Q)若平面1平面ABC,求點(diǎn)。到平面D'BC的距離；

(2)不考慮點(diǎn)。與點(diǎn)B重合的位置，若二面角4-BD'-C的余弦值為-1,求的長(zhǎng)度.

92(23-24高一下?浙江寧波?期中)如圖在正方體ABCD-4/IGA中AB=3點(diǎn)E在棱4B上，且4E=1.

(2)在線段BiG上是否存在點(diǎn)F,使得BF//平面&CE?若存在，求黑的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)求二面角4-CE—A的余弦值.

93.(23-24高一下?浙江寧波?期中)如圖,在四面體C-4BD中,CB=CD,AB=AD/BAD=90。,與尸分

別是BC,AC的中點(diǎn).

(2)在AC上能否找到一點(diǎn)M，使8F//平面MED?若存在，請(qǐng)求出詈的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若平面CBD1平面4BD,且CB=BD,求直線BF與平面4BD所成角的正切值.

94.(23-24高一下?重慶?期中)如圖所示正四棱錐S-4BCD中,SA=2,AB=0,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，

且SP=3PD,Q為側(cè)棱SD的中點(diǎn).

⑴求正四棱錐S-4BCD的表面積；

⑵證明：BQ〃平面P2C；

⑶側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE〃平面P4C.若存在，求U的值；若不存在，試說明理由.

95.(23-24高一下?湖南邵陽?期中)知正方體ABCD-4/停1。1中，P、Q分別為對(duì)角線B。、。必上的點(diǎn)，

目絲="=三

日(2。1PD5

(2)若R是4B上的點(diǎn)，器的值為多少時(shí)，能使平面PQR〃平面為%。4?請(qǐng)給出證明.

二面角問題

96.(2024高一下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖①梯形ABCD^ADWBC,AB=^3,BC=1,CD=42,BE1AD

且BE=1,將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面ABE，平面BCDE,CE與BD相交于。，點(diǎn)P在AB上，

且4P=2PB,R是CD的中點(diǎn)，過O,P,R三點(diǎn)的平面交AC于Q.

A

⑴證明：Q是AC的中點(diǎn)；

（2）證明:AD1平面BEQ;

⑶M是AB上一點(diǎn)，已知二面角M-EC-B為45°,求黑的值.

97.（19-20高一?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖,在矩形48CD中,AB=五，BC=2,E為BC的中點(diǎn)，把小ABE^Q

ACDE分別沿AE,DE折起，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P.

Q）求證：平面PDE_L平面P4D；

（2）求二面角P-AD-E的大小.

98.（22-23高一下?河南商丘?期末）如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面48CD是菱形.

Q）若點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，證明：PBII平面ACE；

（2）若PA=PD=AD,ABAD=120°,且平面PAD_L平面ABC。,求二面角P—AC—。的正弦值.

99.（22-23高一下?新疆伊犁?期末）如圖：已知直三棱由IBC-a/?中，交&C于點(diǎn)。，48="=

=2,ZBXC=90°.

(2)求二面角。一BC—力的正切值.

100.(22-23高一下?廣東云浮?階段練習(xí))如圖,四棱錐P-4BCD中，PA1底面ABCD,底面ABCD為菱

形，且有AB=\,PA=&，乙ABC=60。，E為PC中點(diǎn).

⑴證明:P2〃平面BED;

(2)求二面角E-AB-C的平面角的正弦值.

第六章立體幾何初步章末二十種?？碱}型歸類

題型歸納

題型突破

斜二測(cè)畫法

1.(23-24高一上?吉林長(zhǎng)春?期中)一水平放置的平面四邊形0A8C的直觀圖。如圖所示，其中00=

O'C=2,O'C1。軸,A'B'1。軸,B'C'〃y'軸,則四邊形。ABC的面積為()

A.18B.8V2C.12V2D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得四邊形。'&夕廣的面積為S0，A，B，c，=6,結(jié)合直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系分析求解.

【詳解】由題意可知:乙4'0'D=-,SA'D=O'A'=B'D=2,則A'B'=4,

4

可知四邊形0'4'B'C'的面積為SOWBZ，=|X（2+4）X2=6,

所以四邊形0aBe的面積為S04BC=2近SO，A，BP=12V2.

故選：C.

2.（23-24高一下?福建莆田?期中）如圖，正方形0ABe邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，

【答案】D

【分析】把直觀圖還原成原來的圖形，則原圖形是平行四邊形，根據(jù)斜二測(cè)畫法法則求得原圖形的面積.

【詳解】由斜二測(cè)畫法知：對(duì)應(yīng)原圖。4?L中。4=。4=1,OB=］。夕=&,且。BU0A',

且。為平行四邊形，如下圖示，

所以原圖形。4BC的面積為S=1x2A/2=2V2.

故選：D

3.（23-24高一下?河北邢臺(tái)?期中）如圖，△4?C，是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，若&L=2cm,

且S-wc，=fem?,則原圖形中ac邊上的高為（）

A.ycmB.ycmC.V3cmD.V6cm

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由三角形面積公式求出夕0,的長(zhǎng)，結(jié)合斜二測(cè)畫法可得原圖中BD的長(zhǎng)

【詳解】畫出平面直角坐標(biāo)系%0y,在久軸上取。力=O'A',即C4=CA',

在圖①中，過夕作夕》〃/軸，交軸于。'，在x軸上取。。=O'D',

過點(diǎn)。作。即。軸，并使DB=20?,

連接48,8。,則△ABC即為△48。原來的圖形，如圖②所示：

圖①圖②圖③

原圖形中，BD14C于點(diǎn)D,

則BD為原圖形中4c邊上的高，且BD=2B'D',

在直觀圖③中作房口14L于點(diǎn)E"則小4?C'的面積S“B，C，=1A'CxB'E'=B'E'=苧,

在直角三角形B'E'D'中，B'D'=f，

所以BD=2B'D'=V6,

故原圖形中AC邊上的高為旄.

故選：D.

4.(23-24高一下?河北滄州?期中)如圖，AAOB的斜二測(cè)畫法的直觀圖是腰長(zhǎng)為3夜的等腰直角三角形,/

軸經(jīng)過4夕的中點(diǎn)，則|48|=()

【答案】D

【分析】先將直角坐標(biāo)系中的原圖作出，再比對(duì)直觀圖與原圖直接求出即可.

由題意得△40B的原圖如圖所示，其中D為4B的中點(diǎn)，且［0川=3V2,

\OD\=^^X2=6,

所以|力。|=y/\OA\2+\0D\2=3V6,故|48|=2|4O|=6遙.

故選：D.

5.（23-24高一下?天津北辰?期中）一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形4BCD，如圖所示,

^ABC=45°,AB=AD=1,DCLBC,則原平面圖形的面積為（）

【答案】A

【分析】在直觀圖中求出BC的長(zhǎng)，再還原平面圖，即可求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，從而求出面積.

【詳解】如圖，在直觀圖中過點(diǎn)4,作力E1BC交BC于點(diǎn)E,

因?yàn)镹2BC=45°,ABAD=1,DCVBC,

所以CE=AD=1,BE=4Bcos45°=y,即BC=1+y

將直觀圖還原為平面圖如下：

故選：A

幾何體的表面積與體積問題

6.（23-24高一下?安徽?期中）已知一個(gè)圓錐的高為6,底面半徑為3,現(xiàn)在用一個(gè)平行于圓錐底面的平面

去截圓錐，得到一個(gè)高為2的圓臺(tái)，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為（）

A.gnB.9C,26HD.38TT

【答案】B

【分析】設(shè)截面圓的半徑為r,由相似比可求出r=2,再由圓臺(tái)的體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)截面圓的半徑為「，如下圖，

由臆=霽可得：十詈，解得，=2，

所以截面圓的面積為Si=4n,底面圓的面積為S2=9n,

從而圓臺(tái)的體積為V=+S2+S1S2）=|（4n+9n+V36T?）=yn.

故選：B.

7.（23-24高一下?河南鄭州?期中）西流湖公園今年春天成為了網(wǎng)紅打卡地，公園里不僅有美麗的景色，各

種亭臺(tái)樓閣也是各有特色.十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的角樓的頂部即為十字

歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱交疊而成的幾何體（圖