第

三

節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)與全微分

二、一、偏導(dǎo)數(shù)二、二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、三、全微分高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)1、偏導(dǎo)數(shù)的定義回顧一元函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)（變化率）

問題二元函數(shù)

，當(dāng)

同時(shí)變化時(shí)，函數(shù)的變化情況較復(fù)雜，那么我們固定其中一個(gè)自變量，二元函數(shù)關(guān)于另一個(gè)自變量的變化率呢？固定

，

對(duì)

的變化率？固定

，

對(duì)

的變化率？偏導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義1設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，如果將

固定在

時(shí)，一元函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，即極限

存在，則稱此極限為函數(shù)

在點(diǎn)

處對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)，記為

或類似地，將一元函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)在點(diǎn)

處對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)，記為

或高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分即

如果函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)每一點(diǎn)

處對(duì)

或?qū)?/p>

的偏導(dǎo)數(shù)都存在，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是

的函數(shù)，稱為函數(shù)

對(duì)

或?qū)?/p>

的偏導(dǎo)函數(shù)，也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)，記為或

偏導(dǎo)數(shù)的概念可推廣到二元以上的多元函數(shù)的情況.例如三元函數(shù)對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)為高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)對(duì)某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將其余自變量都看成常數(shù)，然后求這“一元”函數(shù)對(duì)該自變量的導(dǎo)數(shù).所以，一元函數(shù)的基本求導(dǎo)法則對(duì)多元函數(shù)求偏導(dǎo)仍然適用.注意求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求.例1

求

在點(diǎn)

處的偏導(dǎo)數(shù).

解法1故解法2

設(shè)

則故高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例2

設(shè)

求解例3

設(shè)

求解類似地，高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

若函數(shù)

滿足

則稱函數(shù)關(guān)于自變量

是對(duì)稱的.這種關(guān)于自變量的對(duì)稱性的概念和結(jié)果可推廣到二元以上的多元函數(shù)的情況.

這類函數(shù)求得的偏導(dǎo)數(shù)

,把與

互換,就可以得到例4

設(shè)

求證證由于函數(shù)關(guān)于自變量是對(duì)稱的，則故高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例5

求函數(shù)在點(diǎn)

處的偏導(dǎo)數(shù).解高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分3、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，設(shè)

是曲面

上

一點(diǎn)，其中

在幾何上表示曲線在點(diǎn)

處的切線

對(duì)

軸的斜率.

在幾何上表示曲線在點(diǎn)

處的切線

對(duì)

軸的斜率.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分注意

多元函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)二元函數(shù)

在點(diǎn)

處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，只能說明函數(shù)在點(diǎn)

處沿著平行于坐標(biāo)軸的方向是連續(xù)的，并不能保證函數(shù)在點(diǎn)

處連續(xù).例如，函數(shù)

在點(diǎn)

處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為0，但函數(shù)在該點(diǎn)極限不存在，不連續(xù).

高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分二、高階偏導(dǎo)數(shù)1、定義

若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù),

的二階偏導(dǎo)數(shù).

純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).

例如，高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分2、求法例5

求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).

解高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例6解練習(xí)求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).

定理

如果函數(shù)

的兩個(gè)二階混合偏函數(shù)

與

在區(qū)域

內(nèi)

連續(xù)，則在

內(nèi)這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分三、全微分1、定義回顧一元函數(shù)

可微時(shí)，函數(shù)增量問題二元函數(shù)

，當(dāng)

都取得增量時(shí)，因變量所獲得的增量能否用自變量的增量

和

的線性函數(shù)來近似呢？全增量對(duì)

的偏增量對(duì)

的偏增量高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義2設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，給

一個(gè)增量

和

一個(gè)增量

，使得

也在該鄰域內(nèi)，如果函數(shù)在點(diǎn)

相應(yīng)的增量可表示為其中

與

無關(guān)，僅與

有關(guān)，

，則稱函數(shù)

在處可微，而

稱為函數(shù)

在點(diǎn)

處的全微分，記為即若函數(shù)在區(qū)域

內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，則稱函數(shù)為

內(nèi)的可微函數(shù).點(diǎn)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分若函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，則所以函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù).從而

2、可微的條件探究必要條件高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分即同理若函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，則若令

，則上式變?yōu)?/p>

于是探究必要條件高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定理2（可微的必要條件）如果函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，則函數(shù)在點(diǎn)

處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

都存在,并且有

一元函數(shù)在一點(diǎn)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但對(duì)于二元函數(shù)

，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，雖然可以形式地寫出

，它卻不一定是二元函數(shù)

的全微分.例如

函數(shù)

在

點(diǎn)

處有但該函數(shù)在點(diǎn)

處不連續(xù)，因而是不可微的.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分又如在點(diǎn)

處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但該函數(shù)在

處不可微.而可見

故函數(shù)在點(diǎn)

不可微.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分（可微的充分條件）如果函數(shù)

的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)定理3在點(diǎn)

處連續(xù)，則函數(shù)

在點(diǎn)

處可微.（函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系）（微分中值定理）高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

多元函數(shù)可微的條件：可微偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)連續(xù)或（1）函數(shù)

在

處的全微分通常寫成說明（2）關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義和結(jié)論可推廣到三元及以上的多元函數(shù).例如

三元函數(shù)

可微時(shí)，其全微分為

在

點(diǎn)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例7解求函數(shù)

的全微分.因?yàn)樗岳?解求函數(shù)

在點(diǎn)

處的全微分.因?yàn)樗怨矢叩葦?shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分四、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用———交叉彈性

在一元函數(shù)微分學(xué)中，邊際和彈性分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率與相對(duì)變化率.這些概念推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中，被賦予更豐富的經(jīng)濟(jì)含義.

例如，某品牌的電視機(jī)營銷人員在開拓市場時(shí)，除關(guān)心本品牌電視機(jī)的價(jià)格外，更關(guān)心其他品牌同類電視機(jī)