5.3 定積分的換元積分法與分部積分法_第1頁
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文檔簡介

第

三

節(jié)

定積分的換元積分法與分部積分法二、一、定積分的換元積分法二、二、定積分的分部積分法高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法一、定積分的換元積分法

定理

設函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，作變換

，如果（1）（2）

在區(qū)間

（或

）上單調(diào)且有連續(xù)導數(shù)，則有證設F(x)是?(x)的一個原函數(shù),于是有定積分的換元公式高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法(3)

求出

的一個原函數(shù)

后，不必像求不定積分那樣把

在應用換元公式計算定積分時,應注意以下幾個問題:(1)所選擇的代換式

x=

(t)必須滿足定理中的條件;(2)定積分換元的關鍵是換限.記住“上限對上限,下限對下限”;還原成x的函數(shù),而只須直接將

t的上、下限代入相減即可.換元公式的應用是雙向的，即湊微分法拆微分法一般地，湊微分法高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例1

求定積分于是也可以不引入新的積分變量，解法如下：解

令

則

當

時，

當

時，例2

計算

解

令

則

當

時，

當

時，于是高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法注

由幾何意義知,此定積分即為圓在第Ι象限的面積.例3

計算解令

，則

，且當

時，

當時，

所以高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法證

當

為偶函數(shù)時,則有

，故令,則

，于是對于定積分當

為奇函數(shù)時,則有

，故例4

設函數(shù)

在

上連續(xù),則由定積分的可加性，有積分區(qū)間關于原點對稱時，“偶倍奇零”高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例5

求定積分解

注利用此結論可簡化奇函數(shù)或偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的計算.例6設

是一個以

為周期的連續(xù)函數(shù)，證明對任意常數(shù)

，有解令則所以

與

無關，因此

即

高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法二、定積分的分部積分法

設函數(shù)

在區(qū)間

上有連續(xù)的導數(shù),則有兩邊從

到

求定積分，有即移項，得高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法即定積分的分部積分公式例１

計算解例２

計算解高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例３

計算解高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例４

計算解高等數(shù)學第5.3節(jié)定積分的換元積分法與分部積分法例5

計算解先證明等式成立.令

則

且當

時，

當

時，下面

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