第

六節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

自然界中連續(xù)變化的現(xiàn)象是很多的，比如空氣或水的流動(dòng)，氣溫的變化,身高的增長(zhǎng)等.這些現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)中的函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性.

函數(shù)的連續(xù)性是微積分的重要概念之一，它與函數(shù)的極限密切相關(guān).主

要

內(nèi)

容二、一、函數(shù)連續(xù)的概念二、二、間斷點(diǎn)的分類高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性二、三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算二、二、四、初等函數(shù)的連續(xù)性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義

定義1

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù),并稱點(diǎn)

為

的連續(xù)點(diǎn)；否則稱

在

點(diǎn)

處間斷,并稱點(diǎn)

為

的間斷點(diǎn)(或不連續(xù)點(diǎn)).例如，函數(shù)

在點(diǎn)

處是連續(xù)的.因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性又如

函數(shù)處是連續(xù)的.

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)當(dāng)

時(shí)，都有則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù).函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的

語(yǔ)言描述高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的另一種表述變量的增量設(shè)函數(shù)

在

內(nèi)有定義，對(duì)

，稱

為自

變量

在點(diǎn)

處的增量（或改變量），記為

即對(duì)應(yīng)函數(shù)值的差

稱為函數(shù)

在點(diǎn)

處的增量（或改變量)，記為

即

定義2

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù).高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性左右連續(xù)的定義

定義2

設(shè)函數(shù)

在

（或

）內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)

在點(diǎn)

右連續(xù)（或左連續(xù)

）.（或

），

定理1

函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)的充要條件是

在點(diǎn)

處既左連續(xù)又右連續(xù).例如右連續(xù)但不左連續(xù)，所以它在x=0處不連續(xù).高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)

在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱

為該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),

并稱該區(qū)間為

的連續(xù)區(qū)間.直觀上，連續(xù)函數(shù)圖形是一條連綿不斷的曲線.例如區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

若函數(shù)

在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在x=a處右連續(xù),在x=b處左連續(xù),則稱函數(shù)

在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)或稱

為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性二、間斷點(diǎn)的分類

由此可知，函數(shù)

在點(diǎn)

處間斷的可能情形為：和

中至少有一個(gè)不存在或它們都存在但不全相等.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)

在點(diǎn)

處的左右極限都存在且相等，即

存在，但

在點(diǎn)

無(wú)定義，或雖有定義但極限值不等于函數(shù)值

，則稱點(diǎn)

為函數(shù)

的可去間斷點(diǎn).

注意：對(duì)于可去間斷點(diǎn)，只要補(bǔ)充或改變間斷點(diǎn)處函數(shù)的定義，就可以使其變?yōu)樾潞瘮?shù)的連續(xù)點(diǎn).是可去間斷點(diǎn).例如是可去間斷點(diǎn).高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)

在點(diǎn)

處的左右極限都存在但不相等，則稱點(diǎn)

為函數(shù)

的跳躍間斷點(diǎn).1-1xy例如

符號(hào)函數(shù)是其跳躍間斷點(diǎn).

函數(shù)的可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).其特點(diǎn)是函數(shù)的左、右極限都存在.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

除了第一類間斷點(diǎn)外，所有其他形式的間斷點(diǎn)都稱為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).其特點(diǎn)是函數(shù)的左、右極限至少有一個(gè)不存在.是函數(shù)

的第二類間斷點(diǎn).例如（此時(shí)稱無(wú)窮間斷點(diǎn)）是函數(shù)

的第二類間斷點(diǎn).（此時(shí)稱振蕩間斷點(diǎn)）高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)（特點(diǎn)：左、右極限都存在）（特點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在）如

無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)（特點(diǎn)：左右極限都存在且相等，即極限存在）（特點(diǎn)：左右極限都存在但不相等）高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算例如1.四則運(yùn)算高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性在點(diǎn)連續(xù),則復(fù)合函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理3（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）如果函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù)，函數(shù)

在點(diǎn)

連續(xù).即證連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號(hào)可與極限符號(hào)換位置高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性若在自變量某變化趨勢(shì)下，有則結(jié)論高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

（１）（２）例1解

例2解

高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性定理4

單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)連續(xù)的.反三角函數(shù)在其定義區(qū)間上皆連續(xù).3.反函數(shù)的連續(xù)性例如定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

基本初等函數(shù)即常數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.四、初等函數(shù)的連續(xù)性

例如

函數(shù)高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

例3解

例4解

高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定義4

設(shè)函數(shù)

在實(shí)數(shù)集

上有定義，如果存在

，使得對(duì)一切

有則稱

為

在

上的最大值（或最小值）.（或

），例如在閉區(qū)間

上最大值為1，最小值為0.在開區(qū)間

內(nèi)有界，但既無(wú)最大值也無(wú)最小值.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性定理5

（最值定理）如果函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則

在上有最大值和最小值.推論

若函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則

在

上有界.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

注意：若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，則最值定理及推論不一定成立.例如在開區(qū)間

內(nèi)無(wú)界，無(wú)最大值、無(wú)最小值.

即使有界也無(wú)最值.高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性定理6(介值定理）設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，且.若

為介于

與

之間的任意一個(gè)數(shù)，則至少存在一點(diǎn),使得推論1(零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，且

與

異號(hào)，則至少存在一點(diǎn),使得高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

推論2在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于其最小值與最大值之間的任何值.證設(shè)函數(shù)

則在閉區(qū)間

上連續(xù),

且故由零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)

,使得

即

例

5

證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.故方程

在

內(nèi)至少有一個(gè)根.

高等數(shù)學(xué)1.6節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性例6

證明方程