3.2相等函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)（知識(shí)點(diǎn)講解）【考點(diǎn)梳理】1．相等函數(shù)兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等．兩個(gè)函數(shù)相等的充要條件是它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，與函數(shù)的自變量和因變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，在對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形時(shí)應(yīng)注意定義域是否發(fā)生改變(即是否是等價(jià)變形).2．分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)關(guān)系也不同，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)，它是一類重要的函數(shù)．求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍．3．復(fù)合函數(shù)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．考點(diǎn)一相等函數(shù)【例題】（1）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對(duì)于A，∵，x，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，∴不是同一函數(shù)；對(duì)于B，的定義域時(shí)，的定義域是，∴不是同一函數(shù)；對(duì)于C，兩函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)法則相同，∴是同一函數(shù)；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，不是同一函?shù)，故選：C．（2）下列函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定義域?yàn)镽，A.，且定義域?yàn)镽，故正確；B.，故錯(cuò)誤；C.，故錯(cuò)誤；D.，故錯(cuò)誤；故選：A.（3）下列四組函數(shù)中，表示的是同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A中，兩函數(shù)定義域均為R；u＝|v|，故對(duì)應(yīng)法則也相同，∴是同一函數(shù)；而B(niǎo)，C，D中兩函數(shù)定義域均不同，∴不是同一函數(shù).B中，y的定義域?yàn)镽，s的定義域?yàn)閇0，＋∞)；C中，定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)；的定義域?yàn)镽；D中，且，即定義域，或，定義域?yàn)?，故選：A.（4）下列四組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相同的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】選項(xiàng)A：的定義域?yàn)椋投x域不同，不是同一函數(shù)，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，和定義域不同，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，和定義域不同，不是同一函數(shù)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：的定義域?yàn)?，和定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也一樣，是同一函數(shù)，故D正確，故選：D.【變式】（1）下列函數(shù)中與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的定義為，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于B中，函數(shù)與函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù)；對(duì)于C中，函數(shù)與函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)，故選：B.（2）下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋赃@兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，這兩函數(shù)的定義域相同，且對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)榛?，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：C.（3）下面各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽，而的定義域?yàn)?，兩函?shù)的定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R，定義域相同，，這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，而的定義域是R，兩個(gè)函數(shù)的定義城不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，的定義域?yàn)椋亩x域是R，兩個(gè)的數(shù)的定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故選：B.（4）下列函數(shù)中與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)，與函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不一樣，則錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng),的定義域?yàn)椋c函數(shù)的定義域不一樣，則錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng),，則正確；對(duì)于選項(xiàng),的定義域?yàn)椋c函數(shù)的定義域不一樣，則錯(cuò)，故選:.考點(diǎn)二分段函數(shù)【例題】（1）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，故選：C.（2）已知函數(shù)，則．【答案】【解析】．故答案為：.（3）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．2或 C．或2 D．或【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即令，得，滿足；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即令，得，因?yàn)?，所以，綜上所述，或，故選：C.（4）已知函數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題意得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一個(gè)周期為4，所以，故選：D．【變式】（1）已知函數(shù)，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，故選：D.（2）若，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故答案為?（3）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【解析】由題意，得或，解得或，所以不等式的解集為，故答案為：．（4）設(shè)函數(shù)，若，則（

）A．3 B．4 C．32 D．33【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：，符合要求，當(dāng)時(shí)，，故不可能等于5，綜上：，故選：D.考點(diǎn)三復(fù)合函數(shù)【例題】（1）已知函數(shù)則（

）A． B．3 C．1 D．19【答案】B【解析】，故選：B.（2）已知函數(shù)，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C.（3）已知函數(shù)，則.【答案】1【解析】由題意可得，所以，故答案為：1.（4）已知，，則，_.【答案】；.【解析】由題意，函數(shù)，，則，，故答案為：；.【變式】（1）已知函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C．－3 D．－2【答案】B【解析】∵，∴，因此，，故選：B.（2）已知函數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】，，故選：C.（3）設(shè)函數(shù)，且，則（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故選：D．（4）已知是一次函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】由題意設(shè)，則，∴，解得或，∴或，故選：D.【方法總結(jié)】1.判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等，即是否為同一函數(shù)，只須判斷它們的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全相同即可，與表示函數(shù)自變量的字母和函數(shù)的字母無(wú)關(guān)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，它們的值域也一定相同．2.求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)首先確定所給自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．若自變量值為較大的正整數(shù)，一般可考慮先求函數(shù)的周期．若給出函數(shù)值求自變量值，應(yīng)根據(jù)每一段函數(shù)的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值是否屬于相應(yīng)段自變量的范圍．3.2相同函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)（章節(jié)練習(xí)）一、選擇題1．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．，與，【答案】C【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，兩函?shù)的定義域不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，兩函數(shù)的定義域均為，而，則兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，兩函數(shù)的定義域均為，而，所以兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，所以C正確，對(duì)于D，兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，所以D錯(cuò)誤，故選：C．2．已知函數(shù)則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：C.3．設(shè)函數(shù)，則（

）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】B【解析】，故選：B．4．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【解析】定義域?yàn)?，與定義域?yàn)镽，故定義域不同，A錯(cuò)誤；定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，故定義域不同，B錯(cuò)誤；定義域?yàn)椋x域?yàn)?，定義域不同，C錯(cuò)誤；與定義域相同，對(duì)應(yīng)法則一致，故為同一函數(shù)，D正確，故選：D.5．已知函數(shù)若，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由題意知，，又，所以，所以，解得，故選：C.6．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】，故選：C.7．下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為（）A．，B．，；C．，D．，．【答案】D【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是，兩個(gè)函數(shù)定義域不同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是或，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，函數(shù)，，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，函數(shù)，定義域?yàn)?，函?shù)定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，故這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，綜上所述，各組中的兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是D，故答案為：D.8．已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，則，所以，故選：B9．設(shè)函數(shù)，若（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，，故選：B.10．已知函數(shù)是一次函數(shù)，且恒成立，則（

）A．1 B．3 C．7 D．9【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是一次函數(shù)，且恒成立，令，則，所以，解得，所以，，故選：D.二、填空題11．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是.①與

②與③與

④與【答案】④【解析】解：對(duì)于①，f（x）＝x﹣1（x∈R），與g（x）1＝x﹣1（x≠0）的定義域不同，∴不是同一函數(shù)；對(duì)于②，f（x）＝x（x∈R），與g（x）|x|（x∈R）的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，∴不是同一函數(shù)；對(duì)于③，f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x）1（x∈R）的定義域不同，∴不是同一函數(shù)；對(duì)于④，f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），與g（t）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，∴是同一函數(shù)．綜上，是同一函數(shù)的序號(hào)為④．故答案為：④．12．設(shè)函數(shù)?，則．【答案】【解析】由已知可得，則，故答案為：．13．若，則.【答案】5【解析】因函數(shù)，所以，故答案為：5．14．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù). 【答案】2【解析】，所以，故答案為：2．15．下列各組函數(shù)中，與是同一函數(shù)的是（填序號(hào)）．（1）；（2）；

（3）．【答案】（3）【解析】對(duì)于（1），的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)椋卟幌嗤?，所以不是同一函?shù)；對(duì)于（2），的定義域?yàn)?，而的定義域?yàn)椋卟幌嗤?，所以不是同一函?shù)；對(duì)于（3），的定義域都為，而化簡(jiǎn)后為，二者相同，所以是同一函數(shù)，故填（3）．16．已知，則的值為.【答案】【解析】，故答案為：．17．已知函數(shù)，則.【答案】3【解析】，，即，．故答案為：3．18．設(shè)函數(shù)若，則.【答案】1【解析】由題，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，解得，成立，故答案為：1．三、解答題19．判斷下列各組函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，并說(shuō)明理由：（1），；

（2），，；（3），；

（4），.【答案】答案見(jiàn)解析.【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋詢烧卟皇峭粋€(gè)函數(shù).（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，，的定義域?yàn)?，定義域不同，所以兩者不是同一個(gè)函數(shù).（3）定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域均相同，所以兩者是同一個(gè)函數(shù).（4）定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域均相同，所以兩者是同一個(gè)函數(shù)．20．已知求的值．【答案】【解析】解：，∴，故答案為：．21．設(shè)函數(shù)，函數(shù)，求，.【答案】，【解析】解：，．22.已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).（1）求f(2)，g(2)的值；（2）求f(g