高等數(shù)學(xué)B22024-2025-2高等數(shù)學(xué)課程簡介課程簡介

上冊(cè)我們主要討論一元函數(shù)微積分，但實(shí)際問題中常會(huì)遇到依賴于兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，即多元函數(shù)，也就提出了多元微積分問題.

多元函數(shù)微積分的概念、理論與方法是一元函數(shù)微積分中相應(yīng)概念、理論與方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方法），又有許多本質(zhì)的不同，要善于進(jìn)行比較，既要認(rèn)識(shí)到它們的共同點(diǎn)和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理解，融會(huì)貫通.高等數(shù)學(xué)課程簡介課程簡介

這學(xué)期我們將要討論多元函數(shù)微積分、常微分方程、無窮級(jí)數(shù)以及線性代數(shù)課程的內(nèi)容.微積分高等數(shù)學(xué)B2線性代數(shù)多元函數(shù)微積分常微分方程無窮級(jí)數(shù)（行列式、矩陣、矩陣的初等變換與線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣、二次型）第六章多元函數(shù)微積分基礎(chǔ)內(nèi)容多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)主要內(nèi)容一多元函數(shù)微分學(xué)（導(dǎo)數(shù)與微分）主要內(nèi)容二多元函數(shù)積分學(xué)（二重積分）目錄第一節(jié)

空間直角坐標(biāo)系及多元函數(shù)的概念第四節(jié)

多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與隱函數(shù)求導(dǎo)公式第二節(jié)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)第五節(jié)

多元函數(shù)的極值第三節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)與全微分第六節(jié)

二重積分第

一節(jié)

空間直角坐標(biāo)系及多元函數(shù)的概念

二、一、空間直角坐標(biāo)系二、二、平面點(diǎn)集二、三、多元函數(shù)的概念高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)

過空間一定點(diǎn)O，作三條兩兩互相垂直的具有相同單位長度的數(shù)軸，這三條數(shù)軸按右手規(guī)則構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)平面

卦限(八個(gè))ⅠzOx面高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念在空間直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R

;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C.空間任一點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):(稱為點(diǎn)

M

的坐標(biāo))坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0);一

一對(duì)

應(yīng)三元有序數(shù)組PMQR橫

縱

豎高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念DE

空間中任意兩點(diǎn)

之間的距離：如圖：高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念2.空間曲面與方程

類比平面曲線與二元方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以建立空間曲面與三元方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.定義1如果方程

與曲面

S存在關(guān)系：（1）曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)

都滿足方程（2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)

都不滿足方程則方程

稱為曲面S的方程，而曲面S稱為方程

的圖形.兩個(gè)基本問題:已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí),求曲面方程.已知方程時(shí),研究它所表示的幾何形狀.高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念故所求方程為特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為即依題意，有表示上(下)球面.解

設(shè)球面上任一點(diǎn)為

，例1

求球心為點(diǎn)

半徑為

的球面方程.

R高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念一平面平分并垂直于點(diǎn)

和

間的線段，化簡得所求平面方程為即說明:

所求平面為線段的垂直平分面.例2求該平面方程.解

設(shè)

為所求平面上的任意一點(diǎn)，則高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念

空間中任一平面的方程為三元一次方程：其中

均為常數(shù)，且

不全為0.一般式

空間中任一平面都可用它上面的一點(diǎn)及它的法向量來確定.設(shè)平面

過點(diǎn)

法向量為為平面

點(diǎn)法式上任一點(diǎn)，則

平面方程的截距式高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念例3

研究曲面

的形狀.

所以方程

表示的曲面是由平行于

z

軸的直線沿

圓

移動(dòng)而形成的圓柱面，對(duì)任意

z

,點(diǎn)

的坐標(biāo)也滿足作平行于

z

軸的直線l

,也就是說在

xOy平面的圓C上任取一點(diǎn)

，過此點(diǎn)解

在

xOy

平面上，方程

表示以原點(diǎn)為圓心，以方程

其中

xOy

平面上的圓

稱為曲面R為半徑的圓C.方程

不含,說明

可以取任意值，

只要

與

滿足

即可.xOy平面上的的準(zhǔn)線，過圓上一點(diǎn)且平行于z軸的直線稱為曲面的母線.高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念例4研究曲面

的形狀.解

用平面

z=c

去截曲面

得空間曲線均為截面上的拋物線.綜合以上分析知方程

表示（旋轉(zhuǎn)）拋物面,z軸為旋轉(zhuǎn)軸.當(dāng)

時(shí)，截線表示平面

上以點(diǎn)

為圓心，以

為半徑的圓；當(dāng)

時(shí)，表示平面

與曲面

只交于一點(diǎn)

當(dāng)

時(shí)，表示平面

與曲面

無交點(diǎn).用平面

和平面

去截曲面,分別得到

和截痕法高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念二、平面點(diǎn)集平面上具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合即平面點(diǎn)集.1、鄰域而稱為點(diǎn)

的去心

鄰域.的距離小于

的點(diǎn)

的全體稱為點(diǎn)

的

鄰域，記為

即設(shè)

為

平面上的一點(diǎn)，

是某一正數(shù)，平面上與點(diǎn)

高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念2、區(qū)域設(shè)

是一平面點(diǎn)集，

是平面上的一點(diǎn).

如果存在

的某鄰域

，使得

，則稱

是

的內(nèi)點(diǎn)；如果平面點(diǎn)集

的每個(gè)點(diǎn)都為它的內(nèi)點(diǎn)，則稱

為開集.例如，為開集．高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念

如果

的任意一個(gè)鄰域

內(nèi)既含有屬于

的點(diǎn)，又含有不屬于

的點(diǎn)，則稱

是

的邊界點(diǎn)；

的邊界點(diǎn)的全體稱為

的邊界.開集連同它的邊界一起構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉集.

如果點(diǎn)集

內(nèi)的任意兩點(diǎn)可以由折線連接起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于

，則稱

為連通集.例如，為閉集．高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念例如，例如，連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域.為開區(qū)域.開區(qū)域連同它的邊界一起構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域.為閉區(qū)域.高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念為有界閉區(qū)域；點(diǎn)集

為無界開區(qū)域．例如，

如果點(diǎn)集

能被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑充分大的圓內(nèi)，則稱

為有界集，否則稱為無界集.高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念

維空間是指

元有序?qū)崝?shù)組

的全體構(gòu)成的集合，記為.其中每一個(gè)

元有序?qū)崝?shù)組

稱為空間

的點(diǎn)，數(shù)

稱為該點(diǎn)的坐標(biāo).維空間中點(diǎn)

與

的距離定義為

在

維空間

中引入距離后，前面討論的有關(guān)平面點(diǎn)集的一些概念可推廣到

維空間中.高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的概念（以二元為例）定義2

設(shè)D是一個(gè)非空的平面點(diǎn)集，如果按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則

f,

對(duì)D中每一點(diǎn)（x,y）都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)

z與之對(duì)應(yīng)，則稱

f

是定義在D上的二元函數(shù)，記為其中

D稱為函數(shù)的定義域，x,y稱為自變量，z

稱為因變量.

D中任一點(diǎn)（x,y）按對(duì)應(yīng)法則

f所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)

z稱為函數(shù)f在點(diǎn)(x,y)的函數(shù)值，記為

z=f(x,y).

函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域.類似可定義三元及三元以上的函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱多元函數(shù).高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念

與一元函數(shù)類似，通常所說的多元函數(shù)的定義域是指它的自然定義域，即使函數(shù)表達(dá)式有意義的所有點(diǎn)的集合.例如，函數(shù)

的定義域?yàn)閛函數(shù)

的定義域?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)也有圖形.

設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，對(duì)任意取定的點(diǎn)

，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為

，這樣，以

為橫坐標(biāo)、

為縱坐標(biāo)、

為豎坐標(biāo)在空間就確定一個(gè)點(diǎn),當(dāng)

取遍

上一切點(diǎn)時(shí)，就得到一個(gè)空間點(diǎn)集該點(diǎn)集就稱為二元函數(shù)

的圖形.高等數(shù)學(xué)第6.1節(jié)多元函數(shù)的概念通常，二元函數(shù)的圖形是空間中的一張曲面.第

二節(jié)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

二、一、多元函數(shù)的極限二、二、多元函數(shù)的連續(xù)高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、多元函數(shù)的極限思考如何定義二元函數(shù)

當(dāng)點(diǎn)

趨近于點(diǎn)

時(shí)的極限？

定義1（描述性定義）設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某去心鄰域有定義，如果動(dòng)點(diǎn)

沿任意路徑趨于定點(diǎn)

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

都無限接

近于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)

在點(diǎn)

處的極限,或稱當(dāng)點(diǎn)趨于點(diǎn)

時(shí)，函數(shù)

以

A為極限,記為二重極限高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)定義2（嚴(yán)格定義）設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，

為某一常數(shù).如果對(duì)任

意給定的正數(shù)

，總存在正數(shù)

，使得對(duì)

內(nèi)所有滿足

的點(diǎn)

，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足則稱

為函數(shù)

當(dāng)

趨于

時(shí)的極限.記為

注意1、定義中

可以是函數(shù)

定義域的內(nèi)點(diǎn)，也可以是邊界點(diǎn).只要?jiǎng)狱c(diǎn)

趨于

過程中保持

點(diǎn)在函數(shù)定義域內(nèi).高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)2、定義中

點(diǎn)是以任何方式或沿任何路徑趨于

點(diǎn)的.當(dāng)

點(diǎn)沿兩條不同的路徑趨于

點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)

趨于不同值或某一條路徑上的極限不存在，則可以斷定函數(shù)極限不存在.這說明：3、二重極限

不同于累次極限

及

如果它們都存在，則三者相等.但其中一個(gè)存在推不出其它二者存在.(定義不同，不存在必然推導(dǎo)關(guān)系).函數(shù)例如顯然但

不存在.其值隨

的不同而不同，故極限不存在.高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)例1

討論二元函數(shù)

解當(dāng)

趨于

時(shí)的極限.當(dāng)

沿直線

趨于

時(shí),有當(dāng)

沿直線

趨于

時(shí),有可見，

沿不同路徑趨于

時(shí)，函數(shù)

趨于不同的值，故所討論的極限不存在．高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)練習(xí)

討論極限

是否存在.

可見取不同路徑時(shí)極限不同，故極限不存在.解高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)說明1、二元函數(shù)極限概念可相應(yīng)推廣到

n元函數(shù)上去.2、多元函數(shù)極限具有與一元函數(shù)相類似的性質(zhì)，一元函數(shù)關(guān)于極限的運(yùn)算法則對(duì)多元函數(shù)仍適用.例2求極限

解高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)例3求極限

解高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)因?yàn)槎视蓨A逼準(zhǔn)則知所求極限為0.練習(xí)

求極限解高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)例4求極限

解高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)二、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域有定義，如果則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)，并稱點(diǎn)

為函數(shù)

的連續(xù)點(diǎn).

如果函數(shù)

在區(qū)域

的每一點(diǎn)處都連續(xù)

，則稱函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)連續(xù)，或稱函數(shù)

是

內(nèi)的連續(xù)函數(shù).二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)推廣到

n元函數(shù)上去.注意二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：（1）有定義；（2）極限存在；（3）極限值等于函數(shù)值.高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)例5討論函數(shù)

在點(diǎn)

及點(diǎn)

處的連續(xù)性.

解所以

不存在，故函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù).所以函數(shù)在點(diǎn)

處連續(xù).高等數(shù)學(xué)第6.2節(jié)多元函數(shù)的極限與連續(xù)

（1）一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時(shí)，它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是連續(xù)的.關(guān)于多元函數(shù)連續(xù)性的幾個(gè)結(jié)論：(2)多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零處）以及復(fù)合函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).(3)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.

多元初等函數(shù)是指由常數(shù)及不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的可用一個(gè)式子表示的函數(shù).例如都是多元初等函數(shù).有界閉區(qū)域上的二元函數(shù)必定有界，且取得最大值和最小值.第

三

節(jié)

偏導(dǎo)數(shù)與全微分

二、一、偏導(dǎo)數(shù)二、二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、三、全微分高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)1、偏導(dǎo)數(shù)的定義回顧一元函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)（變化率）

問題二元函數(shù)

，當(dāng)

同時(shí)變化時(shí)，函數(shù)的變化情況較復(fù)雜，那么我們固定其中一個(gè)自變量，二元函數(shù)關(guān)于另一個(gè)自變量的變化率呢？固定

，

對(duì)

的變化率？固定

，

對(duì)

的變化率？偏導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義1設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，如果將

固定在

時(shí)，一元函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，即極限

存在，則稱此極限為函數(shù)

在點(diǎn)

處對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)，記為

或類似地，將一元函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)在點(diǎn)

處對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)，記為

或高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分即

如果函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)每一點(diǎn)

處對(duì)

或?qū)?/p>

的偏導(dǎo)數(shù)都存在，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是

的函數(shù)，稱為函數(shù)

對(duì)

或?qū)?/p>

的偏導(dǎo)函數(shù)，也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)，記為或

偏導(dǎo)數(shù)的概念可推廣到二元以上的多元函數(shù)的情況.例如三元函數(shù)對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)為高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)對(duì)某一自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將其余自變量都看成常數(shù)，然后求這“一元”函數(shù)對(duì)該自變量的導(dǎo)數(shù).所以，一元函數(shù)的基本求導(dǎo)法則對(duì)多元函數(shù)求偏導(dǎo)仍然適用.注意求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求.例1

求

在點(diǎn)

處的偏導(dǎo)數(shù).

解法1故解法2

設(shè)

則故高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例2

設(shè)

求解例3

設(shè)

求解類似地，高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

若函數(shù)

滿足

則稱函數(shù)關(guān)于自變量

是對(duì)稱的.這種關(guān)于自變量的對(duì)稱性的概念和結(jié)果可推廣到二元以上的多元函數(shù)的情況.

這類函數(shù)求得的偏導(dǎo)數(shù)

,把與

互換,就可以得到例4

設(shè)

求證證由于函數(shù)關(guān)于自變量是對(duì)稱的，則故高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例5

求函數(shù)在點(diǎn)

處的偏導(dǎo)數(shù).解高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分3、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖，設(shè)

是曲面

上

一點(diǎn)，其中

在幾何上表示曲線在點(diǎn)

處的切線

對(duì)

軸的斜率.

在幾何上表示曲線在點(diǎn)

處的切線

對(duì)

軸的斜率.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分注意

多元函數(shù)在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)二元函數(shù)

在點(diǎn)

處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，只能說明函數(shù)在點(diǎn)

處沿著平行于坐標(biāo)軸的方向是連續(xù)的，并不能保證函數(shù)在點(diǎn)

處連續(xù).例如，函數(shù)

在點(diǎn)

處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都為0，但函數(shù)在該點(diǎn)極限不存在，不連續(xù).

高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分二、高階偏導(dǎo)數(shù)1、定義

若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù),

的二階偏導(dǎo)數(shù).

純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).

例如，高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分2、求法例5

求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).

解高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例6解練習(xí)求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).

定理

如果函數(shù)

的兩個(gè)二階混合偏函數(shù)

與

在區(qū)域

內(nèi)

連續(xù)，則在

內(nèi)這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分三、全微分1、定義回顧一元函數(shù)

可微時(shí)，函數(shù)增量問題二元函數(shù)

，當(dāng)

都取得增量時(shí)，因變量所獲得的增量能否用自變量的增量

和

的線性函數(shù)來近似呢？全增量對(duì)

的偏增量對(duì)

的偏增量高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義2設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，給

一個(gè)增量

和

一個(gè)增量

，使得

也在該鄰域內(nèi)，如果函數(shù)在點(diǎn)

相應(yīng)的增量可表示為其中

與

無關(guān)，僅與

有關(guān)，

，則稱函數(shù)

在處可微，而

稱為函數(shù)

在點(diǎn)

處的全微分，記為即若函數(shù)在區(qū)域

內(nèi)每一點(diǎn)處都可微，則稱函數(shù)為

內(nèi)的可微函數(shù).點(diǎn)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分若函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，則所以函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù).從而

2、可微的條件探究必要條件高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分即同理若函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，則若令

，則上式變?yōu)?/p>

于是探究必要條件高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定理2（可微的必要條件）如果函數(shù)

在點(diǎn)

處可微，則函數(shù)在點(diǎn)

處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

都存在,并且有

一元函數(shù)在一點(diǎn)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但對(duì)于二元函數(shù)

，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，雖然可以形式地寫出

，它卻不一定是二元函數(shù)

的全微分.例如

函數(shù)

在

點(diǎn)

處有但該函數(shù)在點(diǎn)

處不連續(xù)，因而是不可微的.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分又如在點(diǎn)

處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但該函數(shù)在

處不可微.而可見

故函數(shù)在點(diǎn)

不可微.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分（可微的充分條件）如果函數(shù)

的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)定理3在點(diǎn)

處連續(xù)，則函數(shù)

在點(diǎn)

處可微.（函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系）（微分中值定理）高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

多元函數(shù)可微的條件：可微偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)連續(xù)或（1）函數(shù)

在

處的全微分通常寫成說明（2）關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義和結(jié)論可推廣到三元及以上的多元函數(shù).例如

三元函數(shù)

可微時(shí)，其全微分為

在

點(diǎn)高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分例7解求函數(shù)

的全微分.因?yàn)樗岳?解求函數(shù)

在點(diǎn)

處的全微分.因?yàn)樗怨矢叩葦?shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分四、偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用———交叉彈性

在一元函數(shù)微分學(xué)中，邊際和彈性分別表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在一點(diǎn)的變化率與相對(duì)變化率.這些概念推廣到多元函數(shù)微分學(xué)中，被賦予更豐富的經(jīng)濟(jì)含義.

例如，某品牌的電視機(jī)營銷人員在開拓市場時(shí)，除關(guān)心本品牌電視機(jī)的價(jià)格外，更關(guān)心其他品牌同類電視機(jī)的價(jià)格情況，以決定自己的營銷策略，即該品牌電視機(jī)的銷售量

是它的價(jià)格

及其他品牌電視機(jī)價(jià)格

的函數(shù)

邊際彈性交叉彈性

不同交叉彈性的值能反映兩種商品間的相關(guān)性.當(dāng)交叉彈性大于零時(shí)，兩種商品互為替代品；當(dāng)交叉彈性小于零時(shí)，兩種商品為互補(bǔ)品；當(dāng)交叉彈性為零時(shí)，兩種商品為相互獨(dú)立的商品.高等數(shù)學(xué)第6.3節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一般地，對(duì)于函數(shù)

，有如下定義第

四節(jié)

多元復(fù)合求導(dǎo)法則與隱函數(shù)求導(dǎo)公式二、一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、二、隱函數(shù)求導(dǎo)公式高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則

微分法則回顧

一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

由

構(gòu)成一元復(fù)合函數(shù)

問題由函數(shù)

，

構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)滿足一定條件下如何求偏導(dǎo)呢？高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)定理

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的偏導(dǎo)數(shù)都存在，而函數(shù)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

可微，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)

的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且1、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t叉路偏導(dǎo)，分段用乘，單路全導(dǎo).分叉用加.高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)證給

增量

，則

對(duì)應(yīng)的增量為

，函數(shù)

相應(yīng)地獲得增量為.因?yàn)楹瘮?shù)

在對(duì)應(yīng)點(diǎn)

可微，所以于是因?yàn)?/p>

的偏導(dǎo)數(shù)存在，所以

故同理可證結(jié)論中第二個(gè)式子也成立.高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到任意多個(gè)中間變量或自變量的情形.例如

全導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)口訣：分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo).高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例1設(shè)

，其中

求解高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例2解令設(shè)

求則因此高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例3設(shè)

其中

求解高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例4設(shè)

求解高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例5設(shè)

其中

求解高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例6設(shè)

求解令則因此高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)全微分形式的不變形

對(duì)于函數(shù)

當(dāng)

為自變量時(shí),函數(shù)的全微分為

如果

是中間變量,即

，則復(fù)合函數(shù)的全微分為

2、多元復(fù)合函數(shù)全微分形式不變形高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)

二、隱函數(shù)求導(dǎo)公式回顧在一元函數(shù)微分學(xué)中，介紹了由方程

所確定的隱

本節(jié)將給出隱函數(shù)存在及可微的條件，并推導(dǎo)出隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法.高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)

①則方程

的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)單值連續(xù)

②

③

隱函數(shù)存在定理1若函數(shù)

滿足

并有連續(xù)導(dǎo)數(shù)滿足條件函數(shù)

高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)

在

的某鄰域內(nèi)則

高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)

則方程

在點(diǎn)

并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

滿足

①在點(diǎn)若函數(shù)

滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)單值

隱函數(shù)存在定理2高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)

同樣可得

則

高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例7解于是求由方程

確定的隱函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).設(shè)

，則高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例8求由方程

確定的隱函數(shù)

在點(diǎn)

處的偏導(dǎo)數(shù).解設(shè)

，則所以故高等數(shù)學(xué)第6.4節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)例9

設(shè)

，求

解令則于是從而第

五

節(jié)

多元函數(shù)的極值二、一、多元函數(shù)的極值二、二、多元函數(shù)的最值二、三、條件極值高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于

的任何點(diǎn)

，都有或（

），則稱函數(shù)

在點(diǎn)

取得極大值（或

極小值

）.例如

函數(shù)

在點(diǎn)

處取得

極小值0.函數(shù)

在點(diǎn)

處取得極大值0.函數(shù)

在點(diǎn)

處不取極值.注(1)以上二元函數(shù)的極值定義可推廣到

n元函數(shù).(2)多元函數(shù)的極值也是局部性的，可能不唯一，極大值可能小于極小值.1、二元函數(shù)極值的定義高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值2、二元函數(shù)極值的條件一元函數(shù)可導(dǎo)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn).

如果二元函數(shù)

在點(diǎn)

取得極值，且函數(shù)在該點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，那么能得到什么結(jié)論呢？在點(diǎn)

取得極值點(diǎn)

取得極值類似地，也有高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值定理1設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處取得極值，且函數(shù)在該（極值的必要條件）點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則同時(shí)滿足

的點(diǎn)

稱為函數(shù)

的駐點(diǎn).偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).注意例如

點(diǎn)

是函數(shù)的駐點(diǎn)，但不是它的極值點(diǎn).問題駐點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn)，那么，什么條件下駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)呢？高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有連續(xù)則(2)當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)

不是極值點(diǎn)；

（3）當(dāng)

時(shí)，點(diǎn)

可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn).要用二元函數(shù)的泰勒公式去證定理2（極值的充分條件）二階偏導(dǎo)數(shù)，且點(diǎn)

是函數(shù)的駐點(diǎn).記

（1）當(dāng)

時(shí),點(diǎn)

是極值點(diǎn),且

時(shí)，點(diǎn)

是極大值點(diǎn)；

時(shí)，點(diǎn)

是極小值點(diǎn)；

注意

當(dāng)

時(shí)，無法按極值的充分條件去判定極值，這時(shí)按極值的定義去判定.

否高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值3、二元函數(shù)極值的求法

步驟1

求駐點(diǎn)解方程組

注意除駐點(diǎn)外，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).

的極小值點(diǎn)，但它不是該函數(shù)的駐點(diǎn),例如

點(diǎn)

是函數(shù)因?yàn)椴淮嬖?，類?/p>

也不存在.(這種按定義)高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值例1

求函數(shù)

的極值.解

解方程組再求二階偏導(dǎo)數(shù),得得

即點(diǎn)

是函數(shù)的駐點(diǎn).都是常數(shù)，于是有而所以函數(shù)

在點(diǎn)

處取極小值，其值為高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值例2

求函數(shù)

的極值.解

解方程組易得駐點(diǎn)求得二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)

處，所以點(diǎn)

不是函數(shù)

的極值點(diǎn).高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值在點(diǎn)

處，所以點(diǎn)

不是函數(shù)

的極值點(diǎn).在點(diǎn)

處，所以點(diǎn)

不是函數(shù)

的極值點(diǎn).在點(diǎn)

處，所以點(diǎn)

是函數(shù)

的極值點(diǎn),又因?yàn)?/p>

，所以函數(shù)

在

點(diǎn)

處取得極大值

高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值二、多元函數(shù)的最值若二元函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上的連續(xù)，則由連續(xù)函數(shù)的最值定理知函數(shù)

在

上必存在最大值和最小值.如果最值在區(qū)域的內(nèi)部取得，那么最值點(diǎn)必為極值點(diǎn).所以將函數(shù)

在閉區(qū)域

的內(nèi)部的所有駐點(diǎn)處、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處及在

的邊界上的可能最值點(diǎn)處的函數(shù)值相互比較，其中最大的就是函數(shù)

在

上的最大值，最小的就是最小值.在實(shí)際問題中，如果知道目標(biāo)函數(shù)

在定義域

內(nèi)一定能取得最大值（或最小值），且在

內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)，則可以肯定函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值（或最小值）.高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值例3

求函數(shù)

在閉區(qū)域

上的最大值和最小值.解

函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上連續(xù)，故一定有最大值和最小值.

先求駐點(diǎn).解方程組得唯一駐點(diǎn)

再求在

的邊界

上的可能最值點(diǎn).在邊界

上，二元函數(shù)

就成為一元函數(shù)高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值于是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間

的可能最值點(diǎn).令

，得

可能最值點(diǎn)為

對(duì)應(yīng)二元函數(shù)在邊界上的可能最值點(diǎn)為最后，比較得所求最大值為

最小值為高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值

例4

某廠要用鐵板作成一個(gè)體積為

立方米的無蓋長方體水箱.問如何選取長、寬、高才能使用料最省

？解

設(shè)水箱的長為

，寬為

，則高為

，因此水箱所用材料的面積為解方程組得唯一駐點(diǎn)根據(jù)題意可知，表面積

的最小值是存在的，所以函數(shù)的唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，即當(dāng)水箱的長、寬、高分別為

時(shí)用料最省.高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值三、條件極值

有些極值問題，函數(shù)的自變量除了限制在定義域內(nèi)，還受其他附加條件的結(jié)束，這類極值稱為條件極值.條件極值的求解方法方法1

轉(zhuǎn)化為無條件極值求一元函數(shù)

的無條件極值問題.轉(zhuǎn)化

例如在條件

下，求函數(shù)

的極值

從條件

中解出

從條件

中可能解不出.高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值探究另一種方法在條件

下，求函數(shù)

的極值.設(shè)方程

可確定隱函數(shù)

，則問題就等價(jià)于一元函數(shù)的極值問題.若

為所求極值點(diǎn)，則由一元函數(shù)取得極值的必要條件可知，而由隱函數(shù)求導(dǎo)公式，知高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值于是就有令

則上述極值的必要條件就變?yōu)樘骄堪l(fā)現(xiàn)滿足

式的點(diǎn)

是函數(shù)

在條件

下可能的極值點(diǎn).高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值方法2

拉格朗日乘數(shù)法用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)

在條件

下的極值的步驟：（1）作拉格朗日函數(shù)其中

是待定常數(shù)，稱為拉格朗日乘數(shù).（2）求

，并令它們?yōu)?，然后與

聯(lián)立

（3）解上述方程組，所得點(diǎn)

就是函數(shù)

在條件

下可能的極值點(diǎn).推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值

例5用拉格朗日乘數(shù)法求解例4.解設(shè)容器的長、寬、高分別為

，所求問題化歸為求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最小值問題.作拉格朗日函數(shù)則高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值令解得根據(jù)題意，

在條件

下確實(shí)存在最小值.所以當(dāng)水

箱的長、寬、高分別為

時(shí)用料最省.高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值

例6經(jīng)濟(jì)學(xué)中Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)模型解其中

表示投入的勞動(dòng)量，

表示投入的資本量，

與

是常數(shù)，由不同企業(yè)的具體情況決定，函數(shù)值表示產(chǎn)量.現(xiàn)已知某生產(chǎn)商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為其中，每個(gè)勞動(dòng)力與每單位資本的成本分別為150元與250元，該生產(chǎn)商的總預(yù)算是5萬元，問該如何分配這筆錢用于雇用勞動(dòng)力及投入成本，使產(chǎn)量最高？問題即求目標(biāo)函數(shù)在約束條件

下的最大值.高等數(shù)學(xué)第6.5節(jié)多元函數(shù)的極值作拉格朗日函數(shù)令

，解方程組解得

由問題本身知最高產(chǎn)量一定存在，而可能的最值點(diǎn)只有一個(gè)（250,50），故生產(chǎn)商雇用250個(gè)勞動(dòng)力及投入50個(gè)單位資本時(shí)，可使產(chǎn)量最高.第

六

節(jié)

二

重

積

分

二、一、二重積分的概念二、二、二重積分的性質(zhì)二、三、二重積分的計(jì)算高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分一、二重積分的概念問題平頂柱體的體積等于底面積乘以高，那么曲頂柱體的體積該如何求呢？

設(shè)函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上連續(xù)、非負(fù)，則它的圖形是空間中一張連續(xù)的曲面.現(xiàn)有如右圖中立體，它以曲面

為頂，以以區(qū)域

為底，側(cè)面是以區(qū)域

的邊界為準(zhǔn)線而母線平行于

軸的柱面.這種立體稱為曲頂柱體.方法：采用類似求曲邊梯形面積的方法來求曲頂柱體的體積.“分割

、近似替代

、求和

、取極限”高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分（1）分割

（2）近似替代在每個(gè)

則中任取一點(diǎn)步驟如下：高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分（3）求和

（4）取極限

高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分解決步驟：（1）分割：（3）求和：（4）取極限：（2）近似替代：

除了曲頂柱體體積外，還有許多幾何、物理及其他科學(xué)技術(shù)問題都可歸結(jié)為求上述類型和式的極限.

高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分定義設(shè)函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上有界，將閉區(qū)域

任意分割成

個(gè)小區(qū)域

，并仍用

表示第

個(gè)小區(qū)域

的面積.在每個(gè)小區(qū)域

上任取一點(diǎn)

作和式用

表示各個(gè)小區(qū)域直徑的最大值.如果

時(shí)，上述和式的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)

在區(qū)域

上的二重積分，記為

，即其中

稱為積分區(qū)域，

稱為被積函數(shù)，

稱為被積表達(dá)式，

稱為面積元素，

與

稱為積分變量.高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分對(duì)二重積分定義的說明（1）二重積分

只與被積函數(shù)

及積分區(qū)域

有關(guān).（2）定義中對(duì)積分區(qū)域

的劃分是任意的.直線網(wǎng)來劃分

，則面積元素為

二重積分記為在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的（3）當(dāng)被積函數(shù)

在有界閉區(qū)域

上連續(xù)時(shí)，二重積分

必存在.高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)

時(shí)，二重積分

表示曲頂柱體的體積．例如表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的上半球的體積.特別地，當(dāng)

時(shí)，

表示積分區(qū)域

的面積.當(dāng)被積函數(shù)

時(shí)，二重積分

表示曲頂柱體體積的負(fù)值．當(dāng)被積函數(shù)在

上有正有負(fù)時(shí)，二重積分等于

平面上方柱體的體積減去

平面下方柱體的體積.高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1（線性）性質(zhì)2（區(qū)域可加性）

性質(zhì)1和2均可推廣到有限多情形.高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分性質(zhì)3

特別地，有

性質(zhì)4

（二重積分估值不等式）高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分性質(zhì)5

（二重積分中值公式）幾何解釋：

高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分三、二重積分的計(jì)算1、在直角坐標(biāo)系中計(jì)算二重積分（1）

型區(qū)域

若積分區(qū)域

可表示為其中函數(shù)與

在區(qū)間上連續(xù).這樣的積分區(qū)域

為

型區(qū)域.特點(diǎn)：

高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分當(dāng)

時(shí)，二重積分

的值等于以

區(qū)域

為底，以曲面

為頂?shù)那斨w的體積下面用已知平行截面面積的立體體積公式來計(jì)算如圖，陰影部分曲邊梯形面積為

一般地，過

上任意一點(diǎn)

且平行于

平面的平面與曲頂柱體相交所得截面的面積為

該積分y為積分變量，把x看作常數(shù)，對(duì)y積分.高等數(shù)學(xué)第6.6節(jié)二重積分于是為方便起見，常寫成下面的形式先對(duì)y后對(duì)x的二次積分所以得二重積分的計(jì)算公式需要說明的是，雖討論中假定

，但實(shí)際上公式的成立不受此條件