1/2空間點(diǎn)線面間的位置關(guān)系，空間直線、平面的平行【知識(shí)點(diǎn)1四個(gè)基本事實(shí)】1．四個(gè)基本事實(shí)(1)基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)基本事實(shí)2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．拓展：公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．(3)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．(4)基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．【知識(shí)點(diǎn)2空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系】1．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍：(0°，90°]．2．空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線不在平面內(nèi)直線在平面內(nèi)a?α無(wú)數(shù)個(gè)直線與平面平行a∥α0個(gè)直線與平面相交直線與平面斜交a∩α＝A1個(gè)直線與平面垂直a⊥α1個(gè)(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β0個(gè)兩平面相交α∩β＝l無(wú)數(shù)個(gè)3.等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．【知識(shí)點(diǎn)3空間直線、平面平行】1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α,a?α,l∥a))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥β,b∥β,a∩b＝P))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥beq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1.唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．2.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β．(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b．(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ．三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型【題型一：對(duì)平面的基本性質(zhì)的理解（易錯(cuò)）】?【知識(shí)講解】這類問(wèn)題往往以概念辨析題的形式出現(xiàn)，若符合基本事實(shí)的條件，則命題為真，否則為假，有時(shí)也可舉例加以判斷.1.下列說(shuō)法正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形一定是平面圖形C．梯形一定是平面圖形D．平面和平面有不同在一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn)2.下列命題是真命題的是（

）A．如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合B．若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線C．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)D．三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成七個(gè)部分【題型二：共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：①先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②證兩平面重合．(2)證明共線的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．3.在圖示正方體中，O為BD中點(diǎn)，直線平面，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．A，C，，四點(diǎn)共面 B．，M，O三點(diǎn)共線C．平面 D．與BD異面4．如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．(1)求證：、、、四點(diǎn)共面；(2)設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．5．如圖，在多面體中，四邊形和四邊形均為正方形，四邊形和四邊形均為梯形，其中，，且．

(1)證明：B，D，E，G四點(diǎn)共面.(2)證明：三條直線交于一點(diǎn).【題型三：直線與直線位置關(guān)系的判斷（易錯(cuò)）】?【知識(shí)講解】1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見(jiàn)幾何體模型的應(yīng)用，會(huì)舉例說(shuō)明兩條直線的位置關(guān)系．2．判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：證明兩條直線既不平行又不相交．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．77.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM、EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM、EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【題型四：異面直線所成的角問(wèn)題（高頻）】?【知識(shí)講解】求異面直線所成的角，一般步驟如下：（1）作,根據(jù)定義，用平移法作出異面直線所成的角;（2）證，證明所作出的角就是要求的角（或其補(bǔ)角），可由作法直接得出;（3）計(jì)算，求角，常利用解三角形的知識(shí)求解.上述步驟可用“一作，二證，三計(jì)算”來(lái)概括.8.在三棱錐A-BCD中，AD=BC，且AD與BC所成的角為60°，若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，則直線EF與所成的角為（）A．30° B．60° C．90° D．30°或60°9.在直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．10.已知三棱錐滿足，.(1)證明：直線與直線是異面直線；(2)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.【題型五：直線與平面位置關(guān)系判斷（易錯(cuò)）】?【知識(shí)講解】直線與平面位置關(guān)系的判斷方法：(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問(wèn)題的突破口，這類判斷問(wèn)題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體等)也是解決這類問(wèn)題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說(shuō)明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，要證明直線與平面平行，則必須說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn).11.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果平面α的同側(cè)有兩點(diǎn)A，B到平面α的距離相等，則AB∥α.A．0 B．1C．2 D．312．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，則的值為（

）

A．7 B．8 C．9 D．10【題型六：平面與平面位置關(guān)系的判斷（易錯(cuò)）】?【知識(shí)講解】1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說(shuō)明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．2．常見(jiàn)的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)的上下底面平行；(2)長(zhǎng)方體的六個(gè)面中，三組相對(duì)面平行.13.在四棱臺(tái)中，平面與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行C．不確定 D．異面14.如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定【題型七：基本事實(shí)4與等角定理的應(yīng)用（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】基本事實(shí)4表明了平行的傳遞性，也可以作為判斷兩條直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出了空間兩直線平行的一種證明方法.等角定理主要用來(lái)判斷或證明兩角相等.15．在梯形中，，，分別為和的中點(diǎn)，，與相交于．將平面沿翻折起來(lái)，使到的位置，，分別為和的中點(diǎn)，求證：

(1)四邊形為平行四邊形；(2)．16．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點(diǎn)．求證：(1)；(2)．【題型八：與線、面平行相關(guān)命題的判斷（易錯(cuò)）】?【知識(shí)講解】與線、面平行相關(guān)命題的判定判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無(wú)論是單項(xiàng)選擇還是含有選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng)．17.設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面18.（多選）已知是不同的直線，是不同的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若是異面直線，，，，，則B．若，，，，則C．若，，，則D．若，，則【題型九：線面平行的判定（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn)).(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).19．如圖，在正方體中，分別為棱上分別靠近的三等分點(diǎn)，為棱的中點(diǎn).(1)設(shè)平面平面平面，證明：三點(diǎn)共線；(2)證明：平面.20．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，其中，且，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若M為上的動(dòng)點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并給出證明.【題型十：面面平行的判定（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定義．(2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”．(4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．21.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.22.如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【題型十一：線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是如何確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面來(lái)確定交線．23.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.24．如圖，正方體中，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：四點(diǎn)共面；(2)設(shè)平面與平面交于直線，求證：．【題型十二：面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】應(yīng)用面面平行性質(zhì)定理的基本步驟25.已知平面平面，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)（如圖所示），且直線分別與相交于點(diǎn)，若，則．

26.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，則___________【題型一：平面分割空間問(wèn)題（易錯(cuò)）】?【知識(shí)講解】平面可以劃分空間，一個(gè)平面把空間分成兩部分，當(dāng)用兩個(gè)或兩個(gè)以上平面劃分空間時(shí)，需根據(jù)平面的位置來(lái)判斷所得空間是幾部分.1．三個(gè)平面可將空間分成部分，則的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．102．三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．24 D．27【題型二：平行關(guān)系與體積的綜合問(wèn)題（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】對(duì)于平行關(guān)系與體積的綜合問(wèn)題，可采用各個(gè)擊破的策略，即分別研究平行關(guān)系、幾何體的體積，其中若該幾何體為三棱錐，則往往考慮利用等積法求其體積.3．正三棱柱的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2，D為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．4.如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形，，，、分別是棱、上的點(diǎn)，且，.(1)證明：平面平面；(2)記多面體的體積為，三棱錐的體積為，求的值.【題型三：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題（重點(diǎn)）】?【知識(shí)講解】空間中平行關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題往往利用轉(zhuǎn)化思想反復(fù)轉(zhuǎn)化求解，其中空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖如下：5．如圖，在長(zhǎng)方體中，若分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．四邊形是矩形 B．四邊形是正方形C． D．平面平面6．如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是平面外一點(diǎn).(1)求證：平面；(2)已知，分別是，的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過(guò)和作平面交平面于，（i）求證：；（ii）求證：平面.【題型四：異面直線所成的角與其他知識(shí)的交匯（高頻）】?【知識(shí)講解】異面直線所在的角常與幾何體的面、體積綜合，有時(shí)也與空間位置關(guān)系的判定綜合，這類問(wèn)題一般仍用各個(gè)擊破的策略求解.7．如圖，正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，若異面直線與所成角的余弦值是，則此正六棱柱的體積為（

）A． B．或 C． D．或8．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為底面中心，，分別為，的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，且.(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)若，分為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.求證：平面平面.【題型一：數(shù)學(xué)文化題（高頻）】1．在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章