第07講圓周角（知識(shí)清單+7大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算題型二圓周角定理題型三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等題型四半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角題型五90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑題型六已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型七求四邊形外接圓的直徑知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)1．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．知識(shí)點(diǎn)2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．題型方法題型方法【題型一】圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算【例1】（2425九年級(jí)上·江蘇無錫·期中）有下列結(jié)論：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；（4）弧長相等的弧是等?。渲姓_結(jié)論的個(gè)數(shù)有(

)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷確定圓的條件、三角形外接圓的概念辨析、圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算、利用垂徑定理求解其他問題【分析】根據(jù)確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、垂徑定理、三角形的外心等弧定義進(jìn)行判斷即可得到正確結(jié)論．【詳解】解：（1）不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故不符合題意；（2）平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故不符合題意；（3）三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，故符合題意；（4）在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等弧，故不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，垂徑定理的推論，熟練掌握定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】

A．變大 B．變小 C．不變 D．不能確定【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算【詳解】解：連接，

故選：C．2．（2023九年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在上，則圓心O在．【答案】斜邊的中點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)】斜邊的中線等于斜邊的一半、圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算【分析】根據(jù)圓的定義知圓心O到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，由三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可．【詳解】解：∵由三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，∴圓心O斜邊上的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等．故答案為：斜邊的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、圓周角的概念辨析及簡(jiǎn)單運(yùn)算【分析】連接OD，利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得∠EDO，從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解．【詳解】連接OD，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=，【點(diǎn)睛】此題考查了半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.【題型二】圓周角定理

A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理【分析】本題考查了圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；根據(jù)圓周角定理直接求解即可．故選：C．【舉一反三】A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理【詳解】解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為O，連接，點(diǎn)、、、都在以為直徑的圓上，故選：C．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、圓周角定理故答案為：．(2)4【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、圓周角定理、含30度角的直角三角形【分析】本題考查了圓周角定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角等于．【詳解】（1）解：連接，是的直徑，（2）所對(duì)的圓周角相等，是的直徑，【題型三】同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等【例3】（2425九年級(jí)上·江蘇無錫·期末）下列語句中，正確的是（）A．經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓B．三角形的外心到三角形各邊距離相等C．相等的弦所對(duì)的圓心角相等D．等弧所對(duì)的圓周角相等【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷確定圓的條件、三角形外接圓的概念辨析、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解【分析】本題考查了確定圓的條件，三角形的外心的性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，根據(jù)以上知識(shí)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出答案．【詳解】解：A、經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C、同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D、等弧所對(duì)的圓周角相等，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【舉一反三】A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等【詳解】解：∵為的直徑，故選：C．【答案】75°/75度【知識(shí)點(diǎn)】同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、圓周角定理【分析】本題考查了圓周角定理，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，難度適中．【詳解】解：如圖，設(shè)圓與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)E，連接，故答案為：．【答案】見解析【知識(shí)點(diǎn)】同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等連接，【題型四】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、圓周角定理【詳解】解：∵是的直徑，故選：D．【舉一反三】A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角【分析】本題考查了圓周角定理，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得出的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：是的直徑，故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求值、半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角【詳解】解：連接，如圖所示：【答案】(1)見解析【知識(shí)點(diǎn)】半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角、三線合一、等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為的直徑，∵為的直徑，【題型五】90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑【例5】（2425九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，下列用直角曲尺檢查半圓形的工件，其中合格的是（

）A．B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑【分析】根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角等于”判斷即可．本題主要考查圓周角的概念及“直徑所對(duì)的圓周角等于”，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.角不是圓周角，故該工件不合格；B.圓周角所對(duì)的弦不是直徑，故該工件不合格；C.圓周角所對(duì)的弦是直徑，故該工件合格；D.圓周角所對(duì)的弦不是直徑，故該工件不合格；故選：C．【舉一反三】1．（2425九年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，利用三角尺可以確認(rèn)圖中的弦是圓的直徑，其數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）

A．直徑所對(duì)的圓周角是直角B．的圓周角所對(duì)的弦是直徑C．直角三角形的兩個(gè)銳角互余D．兩角互余的三角形是直角三角形【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)的圓周角所對(duì)的弦是直徑，即可解答．【詳解】解：利用三角尺可以確認(rèn)圖中的弦是圓的直徑，其數(shù)學(xué)依據(jù)的圓周角所對(duì)的弦是直徑，故選：B．【答案】1或2【知識(shí)點(diǎn)】90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑、圓周角定理、含30度角的直角三角形【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，如圖：∵是的直徑，∴是的直徑，故答案為：1或2．【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑∴的半徑為【題型六】已知圓內(nèi)接四邊形求角度【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】已知圓內(nèi)接四邊形求角度、圓周角定理【詳解】解：如圖，連接，∵弧為，∵點(diǎn)B、C、D、E在上，故選：D．【舉一反三】A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】已知圓內(nèi)接四邊形求角度、圓周角定理故選：C.【答案】60【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、已知圓內(nèi)接四邊形求角度【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．故答案為：60．【知識(shí)點(diǎn)】已知圓內(nèi)接四邊形求角度、圓周角定理、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，（2）解：連接交于點(diǎn)E，連接，∵點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，設(shè)的半徑為r，∴的長為．【題型七】求四邊形外接圓的直徑【例7】若一個(gè)正方形的周長為24，則該正方形的邊心距為（

）【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求四邊形外接圓的直徑【分析】運(yùn)用正方形的性質(zhì)，以及與外接圓的關(guān)系，可求出邊心距．【詳解】解：∵一個(gè)正方形的周長為24，∴正方形的邊長為6，由中心角只有四個(gè)可得出360°÷4=90°，∴中心角是：90°，∴邊心距是邊長的一半，為3，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)與正方形與它的外接圓的關(guān)系，題目比較典型．【舉一反三】1．下列語句中，正確的是（

）A．同一平面內(nèi)，三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧 D．圓內(nèi)接四邊形一定是矩形【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】垂徑定理的推論、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等、判斷確定圓的條件、求四邊形外接圓的直徑【分析】根據(jù)圓的確定對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)圓內(nèi)四邊形的性質(zhì)對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：①當(dāng)三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，就不能確定一個(gè)圓了，故此結(jié)論錯(cuò)誤；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，故此結(jié)論正確；③當(dāng)弦為直徑時(shí)就不一定垂直了，故此結(jié)論錯(cuò)誤；④圓內(nèi)接四邊形不一定是矩形，有可能是平行四邊形或任意四邊形，故此結(jié)論錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的確定、圓周角定理、垂徑定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、利用垂徑定理求值、求四邊形外接圓的直徑當(dāng)為直徑時(shí)，最大，

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，垂徑定理的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，四點(diǎn)共圓定理的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及垂徑定理求解是關(guān)鍵．

【答案】在，見解析【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解、求四邊形外接圓的直徑【詳解】連接，

∴A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在以斜邊為直徑的圓上．好題必刷好題必刷一、單選題【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，②圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求解即可．故選．2．如圖，A、B、C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，若∠C＝35°，則∠OAB的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)“同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵∠AOB與∠C是同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，∵OA＝OB，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理及等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.3．△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC=160°，則∠ABC的度數(shù)是（

）A．80° B．160° C．100° D．80°或100°【答案】D【詳解】解：根據(jù)題意得：∠AOC=2∠ABC，當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，∠ABC=80°，當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，∠ABC=100°．故選：D4．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接BD，若AB＝AD＝CD，∠BDC＝75°，則∠C的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】D【分析】根據(jù)圓中等弦對(duì)等弧對(duì)等角，以及圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵AB＝AD＝CD，∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC，設(shè)∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝x，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，即3x+75°＝180°，解得：x＝35°，∴∠DBC＝35°，在△BDC中，∠BDC＝75°，∠DBC＝35°，∴∠BCD＝180°﹣75°﹣35°＝70°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓中等弦對(duì)等弧對(duì)等角，以及圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．A． B． C． D．【答案】B故選B．【答案】C【分析】該題主要考查了三角形的外心以及圓周角定理；由于三角形的外心的位置的不同，應(yīng)分為兩種情況考慮：外心在三角形的內(nèi)部或外心在三角形的外部．然后根據(jù)三角形的外心是三角形外接圓的圓心，結(jié)合一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半進(jìn)行分析求解．故選：C．A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】此題分為兩種情況：當(dāng)AD和AC在圓的同側(cè)或當(dāng)AD和AC在圓的兩側(cè)．連接BD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠ADB=90°，運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)求得∠BAD=60°，從而分別求得兩種情況．【詳解】如圖所示，連接BD.∵AB是O直徑，∴∠ADB=90°.∵AD=1，AB=2，∴∠BAD=60°.當(dāng)AD和AC在圓的同側(cè)時(shí),則∠CAD=∠BAD?∠BAC=30°；當(dāng)AD和AC在圓的兩側(cè)時(shí),則∠CAD=∠BAD+∠BAC=90°.故選D.【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵在于畫出圖形分情況討論.8．如圖，⊙O的半徑為5，AB為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，若∠ABC=30°，則弦AB的長為（）A． B．5 C． D．5【答案】D【分析】連接OC、OA，利用圓周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂徑定理得出AB即可．【詳解】連接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，在Rt△OAE中，AE=，∴AB=，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，關(guān)鍵是利用圓周角定理得出∠AOC=60°．9．下列命題中，正確的是（

）①頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角；②圓周角的度數(shù)等于圓心角度數(shù)的一半；③的圓周角所對(duì)的弦是直徑；④不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；⑤同弧所對(duì)的圓周角相等A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤【答案】B【詳解】解：根據(jù)圓周角定理可知：①頂點(diǎn)在圓周上且角的兩邊與圓相交的角是圓周角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；②同弧或等弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；根據(jù)圓周角定理推論可知，此選項(xiàng)正確；④不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；根據(jù)不在一條直線上的三點(diǎn)可確定一個(gè)圓，故此選項(xiàng)正確；⑤同弧所對(duì)的圓周角相等，∵在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，故此選項(xiàng)正確；故答案為③④⑤．故選B．【答案】B【詳解】解：連接AD，作OE、ON分別垂直與BC和AD，連接OD，OB，設(shè)⊙O的半徑為r．∵OE、ON分別垂直與BC和AD，∴CE=BE，AN=ND，∠ANO=∠OEB=90°，∴∠CPD=90°，∴四邊形EONP為矩形，∴OE=PN,EP=ON，在Rt△APB和Rt△CPD中，根據(jù)勾股定理故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，矩形的性質(zhì)和判定等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=35°，則∠BOD=.【答案】70°【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=35°，∴∠BOD=2∠C=70°．故答案為：70°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半．也考查了平行線的性質(zhì)．12．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，則∠BOD的度數(shù)為．【答案】130°【分析】由同弧所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的2倍可得∠AOD=50o，即可求出鄰補(bǔ)解∠BOD.【詳解】解：∵∠ACD=25o，∴∠AOD=50o，∴∠BOD=180o∠AOD=130o.故答案為130o.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角的定理.錯(cuò)因分析較易題.失分原因：不能正確應(yīng)用圓周角定理將所求角與已知角聯(lián)系起來.【分析】畫出圖形，可知弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”，“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”即可求解，本題考查圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，且互補(bǔ)．【答案】【詳解】連接、故答案為【點(diǎn)睛】此題綜合考查了梯形的面積，三角形的面積以及等邊三角形的判定和性質(zhì)．作出輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．【答案】135°故答案為：135度【點(diǎn)睛】本題需仔細(xì)分析題意，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和即可解決問題．16．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值為【答案】4【分析】作N點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交AB于P′，如圖，則P′N＝P′N′，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)P′M+P′N的值最小，然后證明△OMN′為等邊三角形得到MN′＝OM＝4，從而可判斷PM+PN的最小值.【詳解】作N點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交AB于P′，如圖，則P′N＝P′N′，∴P′M+P′N＝P′M+P′N′＝MN′，∴此時(shí)P′M+P′N的值最小，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝40°，∵N是弧MB的中點(diǎn)，∴∠NOB＝20°，∵N點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N′，∴∠N′OB＝20°，∴∠MON′＝60°，∴△OMN′為等邊三角形，∴MN′＝OM＝4，∴P′M+P′N＝4，即PM+PN的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查了最短路徑問題的解決方法.【答案】80．【分析】本題主要考查了圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半即可得出答案．故答案為80．18．如圖，是的弦，是優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，分別是，的中點(diǎn)，連接．（1）若取得最大值，則點(diǎn)在線段上；【分析】（1）根據(jù)中位線定理知：當(dāng)取得最大值時(shí)，就取得最大值，當(dāng)最大時(shí)是的直徑，即可得解；（2）如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接，由（1）知，求得的直徑后就可以求得最大值．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，就取得最大值，當(dāng)為的直徑時(shí)最大，此時(shí)點(diǎn)在線段上，故答案為：；（2）如圖，連接并延長交于點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時(shí)候的值最大．三、解答題【詳解】解：此題有兩種情況.∵∠A+∠D=180°，【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，正確理解應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵．20．如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝80°求∠ABC的度數(shù)．【答案】∠ABC＝10°.【分析】利用直徑所對(duì)的圓周角是90°和三角形內(nèi)角和定理解題即可【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－80°－90°＝10°．【點(diǎn)睛】考查圓周角知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角是90°這一性質(zhì)是關(guān)鍵21．已知等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的頂角和底角的度數(shù)．【答案】130°,25°或50°，65°．【分析】根據(jù)題意可分圓心在△ABC內(nèi)部和在外部?jī)煞N情況，然后根據(jù)圓的基本性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)圓心O在△ABC外部時(shí)，在優(yōu)弧BC上任選一點(diǎn)D，連接BD，CD，∴∠BDC＝∠BOC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；∴△ABC的頂角和底角分別為130°和25°；（2）當(dāng)圓心O在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠BAC＝∠BOC＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°．∴△ABC的頂角和底角分別為50°和65°；【點(diǎn)睛】本題主要