第04講基本不等式及其應(yīng)用

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警.........................................................2

02體系構(gòu)建?思維可視..........................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)..........................................................3

知能解碼.................................3

知識(shí)點(diǎn)1基本不等式.................3

題型破譯.................................

題型1直接法求最值.................4

題型2配湊法求最值.................5

題型3二次與二次（一次）的商式求最值5

【方法技巧】形如y="X-+C的分式函數(shù)求最值

kx+m

題型4"1"的代換求最值重5

mn

【方法技巧】形如分式相加模型一+一求最值

xy

題型5雙換元法求最值6

【方法技巧】求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題

題型6條件等式有和有積求最值重6

【方法技巧】等式有和有積求最值

題型7消元法求最值重7

題型8多次使用基本不等式求最值7

【易錯(cuò)分析】注意“三相等”的條件

題型9利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題........8

題型10利用基本不等式在恒成立問(wèn)題求參數(shù)|難..9

題型n基本不等式與對(duì)勾函數(shù)...........10

b

【方法技巧】對(duì)勾函數(shù)/（無(wú)）=磔+—圖象

x

題型12多元均值不等式難11

【方法技巧】多元均值不等式公式

題型13基本不等式多選題的綜合|難11

04真題溯源?考向感知.................12

05課本典例?高考素材.................13

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

(1)了解基本不等式的

證明過(guò)程；

13單選題

(2)能用基本不等式解

口多選題/北京卷T9(5分)天津卷T14(5分)

決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題；回填空題

口解答題

(3)掌握基本不等式在

生活實(shí)際中的應(yīng)用；

考情分析：

近三年考情顯示，高考對(duì)基本不等式的考查雖單獨(dú)命題頻率較低，但相關(guān)知識(shí)貫穿各類題型，是進(jìn)行求最值的

常用工具，難度不定，分值一般在5分左右。

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

L理解、掌握基本不等式及其推論，會(huì)使用應(yīng)用條件：“一正，二定，三相等”；

2.能用拼湊等思想合理使用基本不等式求最值；

3.能正確處理常數(shù)“1”求最值；

4.能夠在基本不等式與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合時(shí)，靈活運(yùn)用基本不等式的解題方法

02

體系構(gòu)建-思維可視

如果abeR,那么，+/22加（當(dāng)且僅當(dāng)“=匕時(shí)取等號(hào)）

如果。>0,b>0,則a+b22疝或帥4（土心）2（當(dāng)且僅當(dāng)"。時(shí)取等號(hào)"="）

公式

基

本

不

等

式

及

其

應(yīng)

用

03

核心突破?靶向攻堅(jiān)

Q會(huì)Q?

知識(shí)點(diǎn)1基本不等式

1.基本不等式

1、如果a,beR,那么片+^N（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

2、如果a>0,b>0^\a+b>24ab^ab<（當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取等號(hào).

（1）基本不等式成立的條件：a>0,b>Q.（2）等號(hào)成立的條件，當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)取等號(hào).

注：（1）在利用基本不等式求最值時(shí)，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件.

其中，“一正”是說(shuō)每個(gè)項(xiàng)都必須為正值，“二定”是說(shuō)各個(gè)項(xiàng)的必須為定值，“三相等”是說(shuō)各項(xiàng)的值

相等時(shí)，等號(hào)成立.

（2）多次使用均值不等式解決同一問(wèn)題時(shí)，要保持每次的一致性和不等號(hào)方向的一致性.

2.幾個(gè)重要不等式

bQ

1.4+b?之2ab(a,bGR)2.—l—22(a,b>0)

ab

22a

3.ab<(^-^)(iz,eR)4.(-^-ZL^)<^a])eR)

222

2/~~—a+b

5.1—(a>0力>0).

----1---

ab

3.最值定理

(1)如果積犯是定值尸，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，尤+y有最小值是26.(簡(jiǎn)記：)

p-

(2)如果和x+y是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)％=V時(shí)，xy有最大值是簡(jiǎn)記：)

4

4.常用方法

(1)拼湊法：拼湊法即將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成為定值或?yàn)?/p>

定值的形式

(2)常數(shù)替代法：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值；②把確定的定值變形為；

③把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；

④利用基本不等式求解最值.

(3)消元法：通常是考慮利用已知條件消去部分后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”

自主檢測(cè)已知a>。b>0,且2。+6=2,貝！JaZ?的最大值為()

A.士B.—C.1D.J2

22

題型1直接法求最值

【例1】已知?jiǎng)t無(wú)(1-％)的最大值為()

A.JB.-C.—D.1

4816

【例2】已知。>。,〃>。,且2a+Z?=2,則4。+2"的最小值為

【變式1-1】已知aeR,設(shè)尸=(4+/)(4+!],。=24,則尸與。的大小關(guān)系是()

A.P>QB.C.P<QD.不確定

【變式1-2】己知函數(shù)/(x)=?+4,則/(x)的最小值為_(kāi)_____.

yjx

【變式1-3］若4x+@（尤>0,a>0）當(dāng)且僅當(dāng)尤=2時(shí)，取得最小值，則實(shí)數(shù)。的值為.

X

題型2配湊法求最值

【例3】已知x>—3,則一+x的最小值是（）

x+3

A.-1B.1C.4D.7

【例4】已知0<%<引則x（3-2x）取得最大值時(shí)了的值為（）

A.-B.1C.-D.-

3234

【變式2-1】已知函數(shù)〃x）=x+T，xe（l,y）,則函數(shù)的最小值為（）

X—1

A.272+1B.2C.272-1D.20

OQ

【變式2-2］當(dāng)無(wú)<9時(shí)，則函數(shù)y=x+的最大值為

22x-3

題型3二次與二次（一次）的商式求最值

【例5】若x>0,則2x、3x+l的最小值是.

X

【例6】函數(shù)y=一%的最小值是一，2,則當(dāng)。>0時(shí)，。的值為_(kāi)_____,當(dāng)a<。時(shí)，。的值為_(kāi)____

x+24

------------------------------------------------------------------------------------------------<

方法技巧形如y="『+—+'的分式函數(shù)求最值

kx+m

A

通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)即化為V=?ng（x）+--+B（A>0,8〉0）,

g（x）

再利用不等式求最值。

【變式3-1】已知2Vx<4,則工+上的最小值為_(kāi)_______.

x—24—x

1x

【變式3-2］已知平面向量a=（l,y）,b=（x,-2）,且qj_b，則5兩的最小值為

【變式3-3］?新思維|已知。>6>0,則分9的最小值為.

題型4"1"的代換求最值

14

【例7】（2025?河南?三模）若a>0,b>Q,且a+h=l,則——丁的最大值為（）

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

【例8】已知“>0力>。,2。+6=1,則,+/的最小值為（）

ab

7

A.2B.-C.4D.9

2

mn

方法技巧形如分式相加模型一+一求最值

①根據(jù)已知條件或者利用分母得到“1”的表達(dá)式；

②把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘，進(jìn)而構(gòu)造和的形式，利用基本不等式求解最值.

【變式4-1】己知?jiǎng)t工+獸的最小值是（）

X1-x

A.16B.25C.27D.34

y+31

【變式4-2］已知x>0,y>0,且無(wú)+y=l,則^—+一的最小值是_______.

xy

【變式4-3］在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列｛為｝中，若q=5,則,+-1-的最小值為（）

42

A.—B.—C.4D.

55”

題型5雙換元法求最值

ll

【例9】（2025?福建泉州?二模）若xNO,yN。，且一_7+；r_^=l,貝|3x+4，的最小值為（）

x+12x+4y

A.2B.3C.4D.8

【例10］已知X,y都是正數(shù).若，+；=2,且X>y,則x+y的最小值為_(kāi)____.

尤-y2y

方法技巧求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題

可把兩個(gè)分母看做一個(gè)整體進(jìn)行換元，然后利用新元整理成基本不等式題型求解

【變式5-1】已知正數(shù)相,〃滿足2m+〃=6,則丁二+—二的最小值為一.

2m+ln+1

12

【變式5-2］已知a>2,b>l,且-+--7=1,則。+2方的最小值為_(kāi)______.

a-2b-1

【變式5-3】己知，">0,〃>0,S.m+n=l,則：的最小值是________.

3m+2n1+3〃

題型6條件等式有和有積求最值

【例11】若正實(shí)數(shù)〃，6滿足。+仍=仍，則必的最小值為（）

A.16B.8C.4D.2

【例12］若x>O,y>0,且％+，=孫，則」"7+一的最小值為（）

x-1y-1

9

A.2B.20C.3D.-

方法技巧等式有和有積求最值

（1）有和有積無(wú)常數(shù)可以同除“積”，得到“1”的代換型；

（2）尋找條件和問(wèn)題之間的關(guān)系，通過(guò)重新分配，使用基本不等式得到含有所求代數(shù)式的不等式，通過(guò)解

不等式得出范圍，從而求得最值

【變式6-1】設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，若4/+黃+孫=1,則2x+y的最大值是.

【變式6-2］已知a>0,b>0,S.a+2b=ab,貝！Ia+2）的最小值為（）

A.12B.9C.8D.6

【變式6-3］己知x>0,y>0,且x+y-孫+3=0,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.3<xy^l2B.x+y>3C.x2+y2^18D.+

xy3

題型7消元法求最值

【例13】已知5/21+知=1,貝!J/+”2的最小值為（）

A.逅B.76C.-D.-

354

【例14］已知正實(shí)數(shù)無(wú)，y滿足V+3盯-2=0,則4無(wú)+3y的最小值為（）

A.B.萼C.276D.O

【變式7-1］已知正實(shí)數(shù)相，〃滿足.=2,則一+—的最小值為（）

mn2m+n

A.272B.3C.372D.4

【變式7-2］已知a>0,b>Q,Z?+4〃-a伍+1）=-1,則a+6的最小值為（）

A.11B.10C.9D.8

【變式7-3】已知羽y均為正實(shí)數(shù)，若x+y=i,貝】4xy+5的最小值為.

孫

【變式7-4］若」J7?=:貝!］"+"+〃的最小值為_(kāi)_____

4+1b+23

題型8多次使用基本不等式求最值

【例15］函數(shù)/（司='+^7+口|廣的最小值為（）

A.2五B.2gC.4D.3加

【例16］已知。為非零實(shí)數(shù)，b,c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（）

易錯(cuò)分析注意“三相等”的條件

運(yùn)用多次基本不等式時(shí)，要注意多次“三相等”不矛盾

【變式8-1】已知”>3b>0,則3片+J的最小值為

ab-3b2

【變式8-2】已知。>0,b>0,且成>=32,貝!14/+的最小值為.

題型9利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

【例17】某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量尸（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，

單位：輛/h）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：m/s）及平均車長(zhǎng)/（單位：m）的值有

關(guān)，其公式為尸=「胃°。:若不限定車型，Z=6.05,則最大車流量為（）

v+18v+20/

A.1000輛/hB.1200輛/hC.1500輛/hD.1900輛/h

【例18］如圖，為滿足居民健身需求，某小區(qū)計(jì)劃在一塊直角三角形空地中建一個(gè)內(nèi)接矩形健身廣場(chǎng)（陰

影部分），則健身廣場(chǎng)的最大面積為m2.

【變式9-1】某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉(cāng)庫(kù)外,利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3m,

底面積為12m,，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻，無(wú)需建造費(fèi)用，因此

甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米

150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元.設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為MI（24X46）.

（1）當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？

（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造亮標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為90°"（1+X）元（0>0）.若無(wú)論左右兩面

墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求。的取值范圍.

【變式9-2]發(fā)展新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)的必由之路，是推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略措施，某

汽車工業(yè)園區(qū)正在不斷建設(shè)，計(jì)劃在園區(qū)建造一個(gè)高為3米，寬度為xe[6/0](單位：米)，地面面積為

81平方米的長(zhǎng)方體形狀的儲(chǔ)物室，經(jīng)過(guò)談判，工程施工單位給出兩種報(bào)價(jià)方案：

方案一：儲(chǔ)物室的墻面報(bào)價(jià)為每平方米200元，屋頂和地面報(bào)價(jià)共計(jì)7200元，總計(jì)報(bào)價(jià)記為P(x)；

方案二：其給出的整體報(bào)價(jià)為〃x)=1200根+1]元，(相＞0)

(1)當(dāng)寬度為8米時(shí)，方案二的報(bào)價(jià)為29700元，求加的值；

⑵求P(x)的函數(shù)解析式，并求報(bào)價(jià)的最小值；

(3)若對(duì)任意的xe[6,10]時(shí)，方案二都比方案一省錢(qián)，求加的取值范圍.

【變式9-3】某廠家擬2024年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)

x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用機(jī)萬(wàn)元(〃后0)滿足x=4-高(%為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只

能是2萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)

品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的L5倍(此處每件產(chǎn)品年平均成本按出如元來(lái)計(jì)算).

X

(1)求人的值；

⑵將2024年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；

(3)該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？

題型10利用基本不等式在恒成立問(wèn)題求參數(shù)

【例19】對(duì)一切x,y>0,都有5x+12而4a(x+y),則實(shí)數(shù)。的最小值是()

A.8B.9C.10D.前3個(gè)答案都不對(duì)

【例20】(2025?吉林延邊?一模)已知正實(shí)數(shù)x,V滿足x+y-；孫=0,且不等式x+丫-。>0恒成立，則。

的取值范圍是()

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

21

【變式10-1]已知。>0，b>Q,且4a+2&=3.若不等式一恒成立，則加的最大值為_(kāi)___.

ab

a

【變式10-2]設(shè)實(shí)數(shù)羽V滿足y>3,不等式M2x-3)(y-3)W8x3+y3-12f一3/恒成立，則實(shí)數(shù)

女的最大值為()

A.12B.24C.2>/3D.4百

11F7

【變式10-3】已知。>b>c,〃eN*,且一-+--2,恒成立，貝IJ”的最大值為()

a-bb-ca—c

A.3B.4C.5D.6

題型U基本不等式與對(duì)勾函數(shù)

【例21]若函數(shù)/(x)=&+>在(0,2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,2]B.(0,4]C.[2,+oo)D.[4,+oo)

【例22】函數(shù)y=2『-力+5在尤』々31上的最大值為；最小值為

X-1\_2」

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

h

方法技巧對(duì)勾函數(shù)了(%)=CLXH----圖象

X

b

當(dāng)a"同號(hào)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)/(%)=〃％+—的圖象形狀酷似雙勾，如圖所示.

x

【變式1M?變載體】已知等比數(shù)列｛%,｝的公比如q/1),存在sjeN*,滿足&q=d，則；的最小值

為.

【變式11-2】已知函數(shù)戶x）=^求/?（%）的最小值，并求此時(shí)x的值.

Vx+4

【變式11-3?變載體】若*?0,兀），則sinx+上的最小值為（）

sinx

A.272B.呼C.4D.5

題型12多元均值不等式

81

【例23］已知羽y>。，且不+—=1,則1+y的最小值為（）

x）

A.8B.6C.4D.2

b1

【例24］若a>0,b>0,求一■+不+〃的最小值為（）

ab

A.72B.2C.2A/2D.4

方法技巧多元均值不等式公式

均值不等式公式：x1+x2+x3++Xn>n^x1x2x3xn,再,％2，%3，,，當(dāng)為正數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)項(xiàng)=%2=退==當(dāng)時(shí)，取等號(hào)

【變式12-1】函數(shù)〃尤）=2尤+W（尤>。）的最小值為.

【變式12-2】已知P4為實(shí)數(shù)，且滿足/+“3=2,那么P+4的最大值為.

題型13基本不等式多選題的綜合

【例25］（多選）下列說(shuō)法正確的有（）

A.。+工的最小值為2

a

B.已知。>0,">0,次?=。+。+3,則曲的取值范圍是［9,+8）

C.已知。>。,6>0,〃+2匕=1,則《±1+竺1±1的最小值為4

a2b

D.已知。>人>0,-^~+-^~=4,則5〃一4b最小值為2

a-ba+b

【例26］（多選）已知正數(shù)羽y滿足X+3盯+2y=6,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.6Vx<8B.0<y<3

C.反嚴(yán)也D.2X

【變式13-1］（多選）已知x,?z為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若x+y=l,貝!|孫2]B.若尤+y=l,則爐+/士：

4

C.若'+'=4,貝?。?x+y24D.若z>y>x,則+

xyz-yy-xz-x

【變式13-2】（2025?遼寧?三模）（多選）已知〃>0/>0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a+Z?=l,則公+小二

4

B.若a+Z?=l,則6+痣的最大值為微

2

C.若〃+匕=2,則—/+4h的最小值為1

〃+1Z?+1

D.若a+6=2,則下二+A工的最大值為匕農(nóng)

a2+lb2+l2

【變式