2024?2025學(xué)年第二學(xué)期期中調(diào)研試卷

局一數(shù)學(xué)

（滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.己知"=（2，一31），1=（-2,l,x）,若小兀則x的值為（）

A.7B.-8C.6D.-5

【答案】A

【詳解】已知方=（2,—3,1）,3=（-2,1戶），

因?yàn)镼±b,

則一4一3+x=0,x=7.

故選：A.

2.展開式中的第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則〃的值為（

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

（0</'<wMreN）,

因?yàn)檎归_式中的第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以3〃-5x6=0,解得〃=10.

故選：D

3.已知3張卡片的正、反兩面分別寫有數(shù)字1,2；3,4；5,6.將這3張卡片排成一排，則可構(gòu)成不同的三

位數(shù)的個數(shù)為（）

A.120B.60C.48D.36

【答案】C

【詳解】將3張卡片排成一排，每一張卡片數(shù)字有兩種情況，則不同的數(shù)字組合有23=8種,

再將3個數(shù)字進(jìn)行排列，則有4=6種，所以構(gòu)成的不同三位數(shù)有6x8=48種.

故選：c

4.在正三棱柱48C—44G中，4B=AA],P為2G的中點(diǎn)，則直線8尸與平面NCG4所成角的正弦

值為（）

V15R375_V10n3V15

1016417

【答案】A

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作平面NCG4的垂線為X軸，以NC,44]為了軸和z軸，作空間直角坐標(biāo)系.

則平面NCG4的一個法向量為k=（1,0,0）,

63)

設(shè)正三棱柱中，則卜

N5C—481GAB—AAX=2,1,0Zb?’

7

f1/

所以80=-2，所以近?BP_2岳

TTcos元,BP=-

\7i￥RixVsTo

所以直線BP與平面ACCXAX所成角的正弦值為|cosn,BP\=—

故選：A

5.在四棱錐尸一/BC。中，益=（2,3,—1）,AC=（-2,0,1），石=（3,—1,—2）,則該四棱錐的高為（）

A.漢IB.-C.；D,-

3325

【答案】D

【詳解】設(shè)平面48CD的一個法向量為3=(x/,z),

AB-n=2x+3y—z=0

則〈一，令z=2,可得x=l,V=0；

AC-n=-2%+z=0

所以3=(1,0,2),

\AP-n\

則點(diǎn)P到平面ABCD的距離為

\n\

故選：D

6.6名同學(xué)排成一排照相，其中甲、乙兩人相鄰的排法共有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

【答案】B

【詳解】甲和乙兩人相鄰，有A；=2種方法；將甲、乙兩人看成一個元素，和其他四名同學(xué)，共5個元素

全排列，有A；=120種方法,

所以甲、乙兩人相鄰的排法共有2x120=240種方法.

故選：B.

7.若（2+X）=UQ+4（1+X）+%（]+X）+***1+（1+X）,則出=（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【詳解】由（2+工廠=[1+（1+x）]10,則其展開式的通項(xiàng)為&]=C；。?1]??（1+=C；。（1+，

令r=2,則。2=C；o=I?*=45,

2x1

故選：B.

8.將6封不同的信放入編號為1,2,3,4的4個郵筒，則恰有2個空郵筒的不同的放法共有（）

A.372種B.380種C.492種D.496種

【答案】A

【詳解】首先從4個郵筒中選出2個郵筒，有C：種選法,

再將6封不同的信件分成（1,5）,（2,4）,（3,3）兩組，有C"C"烏種分法;

最后將兩組分配到兩個郵筒，有A；種分法。

按照分步乘法計數(shù)原理可知恰有2個空郵筒的不同的放法共有c；c"c；=372種.

故選：A

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.數(shù)學(xué)競賽小組有高一學(xué)生2人，高二學(xué)生4人，高三學(xué)生6人，則（）

A.若每個年級各選1名學(xué)生外出培訓(xùn)，則共有12種不同的選法

B.若選派2名學(xué)生外出培訓(xùn)，這2人來自不同年級，則共有44種不同的選法

C.若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，恰好有1人來自高二年級，則有"6種不同的選法

D.若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，高三年級的甲乙兩位同學(xué)不能同時參加，則共有210種不同的選法

【答案】BD

【詳解】選項(xiàng)A：每個年級各選1名學(xué)生外出培訓(xùn)，則共有2x4x6=48種不同的選法，A選項(xiàng)錯誤；

選項(xiàng)B：若選派2名學(xué)生外出培訓(xùn)，這2人來自不同年級，則共有C；C：+C；C：+C；C：=8+12+24=44

種不同的選法，故B正確；

8x7

選項(xiàng)C：若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，恰好有1人來自高二年級，則有C；Cj=4x亍=112種不同的選法,

故C錯誤；

選項(xiàng)D：若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，高三年級的甲乙兩位同學(xué)不能同時參加，則共有

（3；（2；0+。：（）=90+120=210種情況，故D正確,

故選：BD

10,若［x-展開式中的常數(shù)項(xiàng)為60,則（）

A.展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大B.實(shí)數(shù)a的值為4

C.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)

【答案】ABD

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)椋踴-g］展開式共7項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故A正確；

B選項(xiàng)，&1=晨（工廣'（一）［_6y=（_1丫晨（6）'43，，其中廠為整數(shù)，且0VY6,

令6—3r=0,解得r=2,此時（―以C；（五『=15片=60,所以a=4,B正確；

C選項(xiàng)，展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2$=32，故C錯誤;

2C>2C1114

D選項(xiàng)，由<〉2”（3得，~3~r~~3,又reN，所以r=4，

且廠=4時，7；=晨25-6,系數(shù)為正，

所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為是第5項(xiàng)，故D正確.

故選：ABD.

11.正方體48。一45]。1。1中，點(diǎn)0滿足/?=》/5+^40+2/4（%,以2€[0,1]）,若正方體棱長為

1,則下列正確的有（）

A.若x=0,>+z=l,則C]P//平面/月。

B.若x+y+z=l,則三棱錐尸一5cA的體積為定值;

C.若2x=y=z,則點(diǎn)尸到直線的距離的最小值為g

212/7^

D.若x+z=—,y=—,則二面角尸一42-4的正弦值的最小值為土生

3-313

【答案】ACD

【詳解】對于A,由x=o可得衣=y而+2石，且y+z=l可知尸,24三點(diǎn)共線；

可知點(diǎn)尸在線段4。上，連接4G，G。，如下圖所示:

由正方體性質(zhì)可知4G///。，又4。1</平面28（，2。匚平面/月。,

所以4G”平面N8C；

同理可得4。//平面A8C，

又4Gc4。=4,且4G,A,Du平面4G。,

因此可得平面4G。//平面AB.C,又因?yàn)镃jPu平面,

所以￡P(guān)//平面NBC，即A正確;

對于B,若x+y+z=l,可知尸4四點(diǎn)共面，即點(diǎn)P在平面刈＞4內(nèi),

由A選項(xiàng)中的分析可知，平面8。％//平面片CD],如下圖所示:

Ji

此時點(diǎn)尸到平面用CD1的距離為正方體對角線的三分之一，即也；

3

又三角形51cA是邊長為后的正三角形，其面積為S=^x(&『=?,

則三棱錐尸一8c口的體積為定值jz=，sx走=,義也義也=■,即B錯誤;

333236

對于C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

貝〃(1,0,0),8(1/,0),0(0,0,0),4(1,0/)Q(0,0,1),

所以方=(0」,0),而=(—1,0,0),9=(0,0,1),西=(0,0,1)；

因此4?=(一了,蒼2)=卜了(/),即—

又2x=y=2

所以￡＞尸=[1一J

（______k

麗.西

則點(diǎn)p到直線的距離為DP-

\DD}

4仁

顯然當(dāng)y=—時，距離最小為口，即c正確;

55

2]__k（12

對于D,若X+2=1,V=§，由選項(xiàng)C分析可知/尸二（一y,X,Z）=1--.x.--x

則4尸=1一§，羽-g-x

，又而=（-1,0,0）；

設(shè)平面PAQi的一個法向量為力二（再,必,4）,

乖?為=-卜+孫-1

—FX|Z]—0,解得玉=0,令z=x,則j]=g+x,

則3

AXD1-n=—xx=0

因此方=（0,；+x,x）；

易知平面434的一個法向量為比=（o,o,i）,

(一一、2

m-n

-cos2（應(yīng)，萬）1-

則二面角夕-4。-四的正弦值為V1同同

22

又因?yàn)閤+z=§,x9y9zE[09l],可知X€0,—，當(dāng)％=0時信任不是最小值,

3

1

-cos21---------

1泊27y

I+x2

所以時,]

1+

—+1

\3x)

3岳

2

易知當(dāng)x=一時,13

3

即二面角尸-43-用的正弦值的最小值為女叵，可得D正確.

13

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知￡=(1,0,2),3=(—5,2,3),則向量刃在向量￡上的投影向量是

悟案】g,0,|)

【詳解】由￡=(1,0,2),3=(-5,2,3)可得￡%=—5+0+6=1，

a-baa-b-1-1-11八2)

易知向量區(qū)在向量Z上的投影向量為下「口=/「0=延方4=5。=[1°，1J.

故答案為心閭

13.(l+2x)5(l—3x)的展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】10

rrr

【詳解】由(1+2x)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+l=C；-15f.(2x)=2C5x,

令r=2,7；=22xC|=4x--=40,令廠=1,7；=2xC*=10,

2x1

則(l+2x)5(l—3x)的展開式中含爐項(xiàng)的系數(shù)為40xl+10x(—3)=10.

故答案為：10.

14.在華為的三進(jìn)制數(shù)據(jù)處理研究中，設(shè)計了一種獨(dú)特的三進(jìn)制編碼規(guī)則.將一個長度為8位的三進(jìn)制數(shù)按

位權(quán)展開并轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，例如三進(jìn)制數(shù)a7a6a54。342aMo，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)

7654321

=a7x3+a6x3+a5x3+a4x3+a3x3+a2x3+x3+a0x3°,其中ate{-1,0,1),

z=0,1,2,???7,則三進(jìn)制數(shù)oooonio對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為,現(xiàn)有一個8位三進(jìn)制數(shù)，包含3個-1,

3個0,2個1,若要求首位的不能為。，且相鄰兩位不能同時為-1,則這樣的不同的三進(jìn)制數(shù)個數(shù)共有.

【答案】①.39②.140

【詳解】易知00001110對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為1x33+1x32+1x31+0x3°=27+9+3=39；

先將3個0,2個1進(jìn)行排列，共有C；=10種，

再將3個-1插入到6個空隙中去，共有C：=20種，

所以能表示出的不同的三進(jìn)制數(shù)個數(shù)共有C：C；=10X20=200種，

其中有首位的為。時，共有CjC；=6x10=60種，

則符合題意的不同的三進(jìn)制數(shù)個數(shù)共有200-60=140

故答案為：39；140.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=AA'=1,ZDAB=90°,

ZA'AB=ZA'AD=60°,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，AOxAB+yAD+zAA'.

（1）求x+V+z的值；

（2）求49與。。所成的角的余弦值.

【答案】（1）2

⑵-

6

【小問1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)。為5C的中點(diǎn)

所以麗=g/礪+蔗）=（（2?+而）=（石+；2?

所以而=益+而=標(biāo)+'通+!五？

22

所以x=l,y=z=：所以x+y+z=l+L+」=2

"2"22

【小問2詳解】

=AB2+-AD2+-Z4)2+AB-AD+AB-Z4)+-AD-AJ)

442

=1+—+—+O+lxlxcos60°+—xlxlxcos60°=—；

4424

所以函=1;

因?yàn)槎?反=而.翡=2^+工商.通+1加=l+0+-xlxlxcos60°=-;

2224

又國=|畫=1。

AODC45

所以cos

33

-X16

2

所以直線NO與。C所成的角的余弦值為*.

6

16.有6名同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科興趣小組，每人選擇一個小組.(數(shù)字作答)

(1)求一共有多少種不同的報名方法;

(2)若三科均要有人報名，求一共有多少種不同的報名方法;

(3)若甲乙兩人都不報化學(xué)學(xué)科，且每個學(xué)科都要有人報名，求一共有多少種不同的報名方法.

【答案】(1)729

(2)540(3)230

【小問1詳解】

因?yàn)槊總€人都有三種選擇，所以一共有3$=729種;

【小問2詳解】

因?yàn)槿凭腥藞竺?，可分為以下三種情況:

「4rlpi

支匕8=90種,

①其中一科有4人，另外2科各1人，共有:

A?

②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：C：C；C；A；=360種,

CCC

③三科均2人，共有:A；=90種,

A；

所以一共有：90+360+90=540種.

【小問3詳解】

因?yàn)榧滓覂扇硕疾粓蠡瘜W(xué)學(xué)科，

所以按照另外4個人報化學(xué)學(xué)科的人數(shù)可分為以下4種情況:

①有1人報化學(xué):c：（c?A：+C代A；）=120種,

（r2r2、

②有2人報化學(xué)：C；C；C；A；+-^A；=84種，

③有3人報化學(xué)：C：C；C；A；=24種,

④有4人報化學(xué)：C：A；=2種，

所以一共有：120+84+24+2=230種.

17.如圖，在四棱錐尸中，E為4D的中點(diǎn)，BD1PB,PA1AB,BE//CD,CDLAD,

PA=AE=BE=2,CD=\.

（1）求平面尸瓦）與平面PBC所成角的正弦值；

（2）在線段PE上是否存在點(diǎn)兒f,使得。M//平面尸8C?若存在，求出點(diǎn)〃■的位置；若不存在，說明

理由.

【答案】（1）叵

7

（2）存在，點(diǎn)四為線段PE的中點(diǎn)

【小問1詳解】

因?yàn)?E//CD,CDLAD

所以又因?yàn)椤隇?D的中點(diǎn)，AE=BE=2

所以ANEB與均為等腰直角三角形，所以4BLBD

又因?yàn)镻B,4Bu平面P4B,PBcAB=B

所以8。工平面尸48,又因?yàn)槭琙u平面048,

所以尸ZL8Z）,又PALAB,平面/BCD,所以02,平面48CD,

在平面48C。內(nèi)，過點(diǎn)A作//，4。，以｛/,而,N｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則尸(0,0,2),5(2,2,0),C(l,4,0),E(0,2,0),￡>(0,4,0)

所以方=(2,2,-2),PC=(1,4,-2)>設(shè)平面P8C的一個法向量為

ii?PB=0[2x+2y-2z=0

則一，即0z,n00°,令%=1,則毛=2,Z0=3

忻-PC=0[x0+4j0-2z0=0

平面P8C的一個法向量為3=(2,1,3).

一__YK'YI2

又因?yàn)槠矫鍼EZ)的一個法向量為加=(1,0,0)，所以cos〈泣亢〉=.=I—=――

V35

設(shè)平面尸￡7）與平面尸3c所成角為6,則sind=J1—cos2ih,《

【小問2詳解】

假設(shè)線段尸右上存在點(diǎn)兒f,使得。0〃平面尸8c

設(shè)兩=AEP=2（0,-2,2）=（0,-22,22）,

所以加=兩_歷=（0,—242/1）_（020）=（0,—2九_2,2/1）.

因?yàn)镈M//平面尸8c,所以加G=0+（—22—2）+64=0,

所以幾=!，即點(diǎn)兒f是線段PE的中點(diǎn)，

2

所以存在點(diǎn)回，點(diǎn)兒f為線段的中點(diǎn).

18.設(shè)（1—2x）=旬+《X+a2%2+H---FQ]0%1。.

（1）求實(shí)數(shù)出的值;

⑵求—?/一/+…+(T)i°f^的值；

10

(3)求?(，一1)為的值.

z=3

【答案】(1)4=180

(2)1023

(3)0

【小問1詳解】

由(1-2xf的展開式的通項(xiàng)為&]=弓1。，(一2%)，=(-2)rC；X，

因?yàn)?=Cl(—2x)2=180x2,所以4=180.

【小問2詳解】

令x=0,則g=l,令丫=一;，則21°=1—今+*_*+…+(_1丫°金，

所以—五+*—*+?..+(_(-絳=21°—1=1023.

2222

【小問3詳解】

由(1—2x)1°=旬+UyX+密犬+生44-------卜%0%1°兩邊求導(dǎo)得：

—20(1—2x)9=%+2%x+-----卜IO%。/

-

由—20(1-2x)9=%+2〃2%+3。3、2+,—I10〃]0工9兩邊求導(dǎo)得：

28

360(1-2x)8=2a2+3x2tz3x+4x3(24xH----F10x9f710x.

令1=1,則360=2a2+3x2a3+4x3a4+,—F10x9tz10.

10

所以2邊-1)4=3x2/+4x3tz4+---+10x9tz10=360-2(22=0.

i=3

19.在空間直角坐標(biāo)系。-平中，定義：過點(diǎn)4(%,為/0),且方向向量為浣=(凡"。)的直線方向式方

程為XXo=9Jo=22o(