第06講空間向量的應(yīng)用（二）：距離、夾角問(wèn)題

目錄

第06講空間向量的應(yīng)用（二）：距離、夾角問(wèn)題.................................................1

一、由空間向量研究距離問(wèn)題...................................................................2

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................2

考點(diǎn)1點(diǎn)到平面距離的向量................................................................2

考點(diǎn)2平行平面距離的向量................................................................3

考點(diǎn)3點(diǎn)到直線距離的向量................................................................4

二、由空間向量研究空間角問(wèn)題.................................................................5

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................5

考點(diǎn)4求異面直線所成的角................................................................6

考點(diǎn)5求線面角...........................................................................7

考點(diǎn)6求二面角...........................................................................8

考點(diǎn)7由空間向量研究存在性問(wèn)題...........................................................9

三、課后作業(yè).................................................................................12

單選題....................................................................................12

多選題....................................................................................13

填空題....................................................................................14

解答題....................................................................................14

、由空間向量研究距離問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

1.距離問(wèn)題

（1）點(diǎn)P到直線1的距離：已知直線1的單位方向向量為u,A是直線1上的定點(diǎn)，P是直線1外一點(diǎn)，設(shè)向

量#在直線1上的投影向量為及=a,則點(diǎn)P到直線1的距離為‘^匚口7Mp（如圖）.

（2）點(diǎn)P到平面a的距離：設(shè)平面a的法向量為n,A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平

面a的距離為嚕"（如圖）.

考點(diǎn)1點(diǎn)到平面距離的向量

在長(zhǎng)方體ABCD-&/的/中，AB=3,BC=2,441=1,則

點(diǎn)。到平面BCD1的距離為（）

A.1B.3C.—D.—

210

【例1.2]（2024?河北滄州:模）已知四面體力BCD滿足N82C=E,COSNC4D==cosNDAB==

334

2,AC=3,4。=2,則點(diǎn)4到平面BCD的距離為（）

A.—B.-C.V3D.—

222

在正三棱錐P-ABC中，AB=V2PA=V2,且該三棱錐的各

個(gè)頂點(diǎn)均在以。為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)。到平面B4B的距離為相，到平面ABC的距離為“，則工=（）

m

A.3B.—C.V3D.—

33

在如圖所示的直四棱柱4BCD-&B1GD1中，底面力BCD是

正方形，48=2,44]=3,M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱CC】上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)兒到平面AMN的距離的最小值

為（）

aG

y：

AB

A1BC.2D.6

--137

考點(diǎn)2平行平面距離的向量

【例2.1]⑵-24高:上?全國(guó)?課后作業(yè))正方體Z8CD的棱長(zhǎng)為1,則平面與平面BDCi的

距離為()

A.V2B.V3C.—D.—

33

兩平行平面a,0分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)71(2,1,1),且兩平

面的一個(gè)法向量元=(—1,0,1),則兩平面間的距離是()

A.-B.—C.V3D.3V2

22

?全國(guó)?.題練習(xí))設(shè)正方體4BCD—2/應(yīng)。1的棱長(zhǎng)為2,求：

⑴求直線&C到平面&BD的距離；

(2)求平面&BD與平面/CD]間的距離.

【變式2.2](2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí))直四棱柱4BCD中，底面4BCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,

側(cè)棱4〃=3,M.N分別為AB1、公4的中點(diǎn)，E、F分別是CiA，BiQ的中點(diǎn).

(1)求證：平面AMN〃平面￡TBD；

⑵求平面4MN與平面EFBD的距離.

考點(diǎn)3點(diǎn)到直線距離的向量

【例3.1】（23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)力（1,1,1）,0）（（1,2,3）,

則點(diǎn)C到直線的距離為（）

A.V3B.2C.2V2D.3

在三棱錐P—ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且24=1,

PB=2,PC=3,三角形ABC重心為G,則點(diǎn)尸到直線力G的距離為（）

A.9B.匹C.亞D.旦

731717

:如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體48CD—4/1。1必中，E為線段4B上

的點(diǎn)，且普=3,點(diǎn)P在線段上，則點(diǎn)P到直線2。距離的最小值為（）

v2]i23/4高一i"L上「F人）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—a/iGA中，48=AD=2,AAt=瓜

P,Q分別是棱BC和64上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2,則PQ的中點(diǎn)E到CG的距離為（）

二、由空間向量研究空間角問(wèn)題

基礎(chǔ)知識(shí)

1.夾角問(wèn)題

(1)兩個(gè)平面的夾角：平面a與平面|3的夾角：平面a與平面［3相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面

角中不大于90°的二面角稱為平面a與平面p的夾角.

(2)空間角的向量法解法

角的分類向量求法范圍

兩條異面直設(shè)兩異面直線11,12所成的角為9,其方向向

(o,I

線所成的角量分別為U,V,則cosO=|cos〈U,V)|=|^|

設(shè)直線AB與平面a所成的角為0,直線AB的

直線與平面

方向向量為u,平面a的法向量為n,則sin0=3f

所成的角

|cos〈u,n)|-|u||n|

設(shè)平面a與平面P的夾角為仇平面a,0的法

兩個(gè)平面的

向量分別為nl,n2,則cos0=|cos(nl,n2〉|3f

夾角

|nl-n2|

-Inl||n2|

2.用向量法求異面直線所成角：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值;

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是''2」，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)

值.

3.向量法求直線與平面所成角：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；

(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就

是斜線和平面所成的角.

4.向量法求二面角：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個(gè)法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大

小.

考點(diǎn)4求異面直線所成的角

；工二常州叨中）已知四棱錐P—4BCD的底面為直角梯形，AB//DC,ADAB=90°

PA，底面4BCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,則異面直線2C與PB所成的角的余弦值為（）

A.更B.誓D.?

5

【例1.2]<23U如圖，ABC-aBQ是一個(gè)由棱長(zhǎng)為2a的正四面體沿中截面所截得的

幾何體，則異面直線&C與BBi夾角的余弦值為（）

【變式1.1]（23-24高二r東中山?期中）如圖,圓錐的軸截面4BC為等邊三角形，。為弧4B的中點(diǎn)，E,

F分別為母線BC、AC的中點(diǎn)，則異面直線BF和DE所成角的大小為（）

B,=C.5D.等

【變式1.2]高:如圖是棱長(zhǎng)均相等的多面體E4BCDF,其中四邊形力BCD是正

方形，點(diǎn)P，Q,M,N分別為DE,AB,AD,8P的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值為（）

[N:

考點(diǎn)5求線面角

在三棱錐P—4BC中，P4_L平面力BC,Z.BAC=90°,D,E,F分

別是棱AB,BC,CP的中點(diǎn)，AB=AC=2,PA=4,則直線P4與平面DEF所成角的余弦值為（）

【例2.2］（2023-pq；lI甘孜?一模）在長(zhǎng)方體ABC。-中，4B=板,BC=1,M,N分別是為4/和的必

的中點(diǎn)，MN與平面881GC所成的角為30。，則該長(zhǎng)方體的體積為（）

A.8V2C.2V6D.8V3

如圖，直棱柱4BCD—41B1GD1中，底面4BCD為梯形，AB//DC,且力B=

2DC,E,尸分別是棱4B,4D的中點(diǎn).

（1）證明：平面QEF〃平面GBD；

（2）已知力a=AD=DC=1,ADAB=60°,求直線DQ與平面&EF所成角的正弦值.

【變式2.2]（2024?河北秦基島模）如圖,在四棱錐P——BCD中,BA=BD=BP=V5,CD=1,PA=

PD=V2,PALPD,E是棱PA的中點(diǎn)，且BE〃平面PCD,點(diǎn)尸是棱P。上的一點(diǎn).

B

（1）求證：平面PCD，平面PAD；

（2）若直線PC與平面ABF所成角的正弦值為嗯，求DF的長(zhǎng)

考點(diǎn)6求二面角

在四棱錐P-ABCD中，P4_L平面4BCD,AB||CD,^ABC=p

?101055

【例3.2】（22-23高;上?山東煙臺(tái)?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-4BCD中，241平面/BCD,ABAD=90°,

-1

PA=AB=BC=^AD=1,BC//AD,已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角Q-PD-4的平面

角大小為30。，貝必4DQ面積的取值范圍是（）

A.（。,嚼B.（。君

c（。嚕D.（。，甥

【變式3.1]（23-24高;卜甘肅?期中）圖,在四棱錐P-4BCD中,PA1底面力BCD,底面4BCD為菱形,

AABC=60°,4P=48,E為CD的中點(diǎn).

⑴求證:CD1平面PAE；

（2）求平面PAE與平面PBC所成二面角的余弦值.

心圖，四棱臺(tái)4BCD-&當(dāng)前。1中，BCIIAD,CQ_L平面ABCD,

2AB=2BC.

（1）證明：CD1AC1；

(2)若CG=2,CD=3,BC=4i￡)i=|,求二面角4一48-C的余弦值.

考點(diǎn)7由空間向量研究存在性問(wèn)題

【例4.1】（23-24高鼠湖南?期中）如圖，直四棱柱2BCD—2/iC也的底面是菱形，乙4BC=120%B=2,

且直線BO】與平面BCC/i所成角為30。.

(1)求直四棱柱ABC。—的高;

(2)在棱上是否能找到一點(diǎn)M,使得平面C%M與平面BCG4的夾角為30。？若能，求出等的值；若不能,

說(shuō)明理由.

【例4.2](23U高如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體286-4/1的。1中，E為棱BC的中點(diǎn),

F為棱CD上一點(diǎn).

(1)求直線4G與平面4EC1所成角的正弦值；

(2)求二面角A-Aig-E的正弦值；

(3)是否存在點(diǎn)F,使D#〃平面A1ECJ若存在，求出DF的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4.1](23-24高江蘇?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是正三角形，AABC=

90°MB||CDMB=2CD=2BC=4,平面PAD1平面力BCD,M是棱PC上動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面MBD_L平面PAD；

(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得直線4P與平面MBD所成角為30。？若存在，求出獸的值；若不存在，說(shuō)

明理由.

【變式4.2](23-24高二下?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P—4BCD中，平面PDC，平面ABC。，4。1

DC.ABWC,AB=|CD=AD1,M為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明：〃平面E4。；

(2)若PC=y[S,PD=1,

(i)求二面角P-DM—B的余弦值；

(ii)在線段PA上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是等？若存在，求出PQ的值；若不存在,

說(shuō)明理由.

三、課后作業(yè)

單選題

1.（23-24高二下?浙江?期中）空間點(diǎn)4（一1,1,1）,3）（（1,2,4）,則點(diǎn)力到直線BC的距離d=（）

A.延B.V5C豆D.叵

555

如圖，正三棱錐M—4BC的高為2,AB=6,E,尸分別為MB,MC的

中點(diǎn)，則異面直線AE與8尸所成角的余弦值為（）

期中）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條

直線距離的最小值.在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-&B1C1D1中，直線&Q與之間的距離是（）

-4（23-24高F1蘇淮安?階段級(jí)J）如圖，在多面體&B1GD1A8C中，側(cè)面四邊形a/iGA，44//,

BBiGC是三個(gè)全等且兩兩垂直的正方形，平面&B1C1D//平面力BC,E是棱力&的中點(diǎn)，則直線EQ與平面

4CD1所成角的余弦值為（）

：H；葉）已知棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-&B1C1D1中，E,M,N分別是&國(guó)4￡?,CC】的

中點(diǎn)，則直線力C與平面EMN之間的距離為（）

A.1B.—C.—D.V3

32

6.（2023-占M：汕化模）已知四棱錐P—4BCD的底面為平行四邊形，AD=2,DC=4,4BAD=60",PD1

平面ABC。，直線產(chǎn)。與平面B4C所成角為30。，貝/D=（）

A.2V2B.—C.—D.V7

57

7.（23-24高三上?河北邢臺(tái)?開(kāi)學(xué)考試）三棱錐A-BCD中，已知NBAC=60°,ACAD=30°,ABAD=45°,

則平面與平面BAD所成的銳二面角的余弦值為（）

A.V3-V2B.C.與D.V2-1

如圖，在幾何體ABC-中，四邊形兒相當(dāng)是矩形，XACB三X

A/iG，且平面2C8//平面A/iG，AAtLAB,AB=8C==1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AC1//BB1B.異面直線BB＞《C所成的角為g

c.幾何體ABC-a/iG的體積為3D.平面a//與平面4G。間的距離為日

多選題

,如圖，AE_L平面力BCD,CF//AE,AD//BC,AD1AB,AE=BC=2,AB=

A.BD1CE

B.BF〃平面ADE

C.二面角E—BD-尸的余弦值為:

D.直線CE與平面BDE所成角的正弦值為|

10.（23-24高匕山東聊城?