考點(diǎn)10三角函數(shù)恒等變換（精講）【題型解讀】【知識(shí)必備】1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)3．公式的變形和逆用在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題：如公式的正用、逆用和變形用等．常見變形如下：降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).正切和差公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1.配方變形：1＋sinα＝(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))2，1－sinα＝(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))2.4．輔助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).【題型精講】【題型一兩角和與差公式】必備技巧兩角和差公式常見題型及解法(1)兩特殊角和差的題型，利用兩角和差公式直接展開求解．(2)含有常數(shù)的式子，先將系數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值，再利用兩角和差公式求解．(3)求非特殊角的三角函數(shù)值，把非特殊角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)特殊角的和差，然后利用兩角和差公式求解．例1（1）（2021·湖北十堰一中高三月考）的值為（）A． B． C． D．（2）（2021·海南楓葉國(guó)際學(xué)校高三期中）coscos=（）A．sin B．cos C． D．（3）（2021·四川成都·高三期末）求值：（）A． B． C．1 D．（4）（2021·山西應(yīng)縣一中高三期中）的值為（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D（3）D（4）A【解析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得所以選C（2）coscos=.故選：D（3）．故選：D．（4）由題意，得，故選A.例2（2021·江西省銅鼓中學(xué)高三期末）已知，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，.故選：B【跟蹤精練】1．（2021安徽蚌埠·高三期末）求值：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：，故選：C.2.(2021·廣西高三模擬)已知，，則＝______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，則，則.3．（2021·阜新市第二高級(jí)中學(xué)高三期末）已知，則__________．【答案】【解析】∵，∴,∴．又，∴．∴．答案：【題型二二倍角公式】必備技巧二倍角公式的應(yīng)用(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角．(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過(guò)程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問(wèn)題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式．例3（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）（多選）下列三角式中，值為1的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A選項(xiàng),，故正確.B選項(xiàng)，，故正確.C選項(xiàng)，，故正確.D選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤故選：ABC例4（2021·四川金?！こ啥纪鈬?guó)語(yǔ)學(xué)校高三開學(xué)考試）設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴，，，，故選：D.【跟蹤精練】1．（2021·吳起高級(jí)中學(xué)高三期末）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣3，1），則cos2α＝（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣3，1），∴cosα，則cos2α＝2cos2α﹣1＝21，故選：C.2.（2020?江蘇卷）已知=，則的值是____.【答案】【解析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.【詳解】,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.【題型三輔助角公式的應(yīng)用】例5（2021·上海高三課時(shí)練習(xí)）把化為的形式_________________.【答案】【解析】。故答案為：.【跟蹤精練】1.（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）把化成的形式是________．【答案】【解析】.故答案為：【題型四化簡(jiǎn)公式綜合應(yīng)用】方法技巧三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法：（1）異角化同角：善于發(fā)現(xiàn)角之間的差別與聯(lián)系，合理對(duì)角拆分，恰當(dāng)選擇三角公式，能求值的求出值，減少角的個(gè)數(shù)；（2）異名化同名：統(tǒng)一三角函數(shù)名稱，利用誘導(dǎo)公式切弦互化、二倍角公式等實(shí)現(xiàn)名稱的統(tǒng)一；（3）異次化同次：統(tǒng)一三角函數(shù)的次數(shù)，一般利用降冪公式化高次為低次例6（2021·綏德中學(xué)高三月考）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵，∴；（2）∵∴．【跟蹤精練】1.(2021·廣東高三模擬)已知tanα＝2.(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)求eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)的值．【解析】(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3；(2)eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα－（2cos2α－1）－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα