11全等三角形公共邊（角）模型

一、單選題

1.如圖，AABC的面積為9cm2,BP平分NABC,APLBP于P,連接PC,則APBC的面積為（）

【答案】C

【詳解】延長(zhǎng)北交充于￡,

VBP平分NABC,

.\ZABP=ZEBP,

VAP±BP,

.\ZAPB=ZEPB=90°,

在4ABP和4EBP中，

ZABP=ZEBP

BP=BP

/APB=NEPB,

/.△ABP^AEBP(ASA),

；.AP=PE,

?"SAABP=SABBP>SAACP=SAECP,

11,

/.SAPBC=-SAABC=-x9=4.5cm2,

22

故答案選：C.

2.如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD,其中=BC=DC,將儀器上的點(diǎn)4與/尸尺。的頂點(diǎn)A

重合，調(diào)整和AD,使它們分別落在角的兩邊上，過(guò)點(diǎn)/、C畫(huà)一條射線AE,AE就是NPR。的平分線.此

角平分儀的畫(huà)圖原理是（）

w

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【詳解】解：在一ABC和△ADC中，

AB=AD

<BC=CD,

AC=AC

.ABC^ADC（SSS）,

：.ABAC=ADAC,

AE是NPR。角平分線，

故選：A.

3.如圖，已知AB=AC>,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定Z\ABC名△APC的是（）

A.CB=CDB.ABAC=ADACC.NBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

【答案】C

【詳解】解：A、已知AB=AD,AC是公共邊，添力口CB=CD,根據(jù)SSS,能判定八鉆（7四△ADC,故本

選項(xiàng)不符合題意；

B、已知AB=AD,AC是公共邊，添加NBAC=NOAC,根據(jù)SAS,能判定△ABC之△ADC,故本選項(xiàng)不

符合題意；

C、已知AB=AD,AC是公共邊，添加N3C4="C4時(shí)，不能判定zMSC取△ADC,故本選項(xiàng)符合題意；

D、已知=AC是公共邊，添力口ZB=ZD=90。，根據(jù)HL,能判定/XABC名△APC,故本選項(xiàng)不符

合題意.

故選：C.

4.如圖.在，ABC中，尸是BC上一點(diǎn)，/>D_LAB于點(diǎn)。，PE_LAC于點(diǎn)E,且=尸是AC上一

點(diǎn)，且NAPF=44F.下列結(jié)論：?AD=AE；?PF//AB；③aPEF'PEC,其中正確的是（）

A

A.①②③B.①②C.①③D.①

【答案】B

【詳解】解：VPDLAB,PELAC,PD=PE,

：.”平分NR4C,

：.ZBAP=ZCAP,

NAPF=NPAF

；./BAP=NAPF,

：.PF//AB,故②正確；

在.D4P和..E4P中，

ZDAP=NEAP

<ZADP=ZAEP=90°

AP=AP

.DAP^_EAP(AAS),

：.AE^AD,故①正確；

?.二PEF和CEP中,僅一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等,

.??現(xiàn)有條件不能夠證明—PEF&PEC,故③錯(cuò)誤；

綜上，正確的是①②.

故選：B.

5.如圖，已知NABC=NDCB,AC與3D交于點(diǎn)。，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件后，仍不能使得△ABC也△DCB

成立的是()

A.BD=ACB.AB=DCC.ZACB=ZDBCD.ZA=ZD

【答案】A

【詳解】解：A：BD^AC,ZABC=NDCB,BC=CB,ABC,有兩條邊和其中一邊的對(duì)角相等,

無(wú)法證全等.故A符合題意；

B：VAB=DC,BC=CB,ZABC=NDCB,；.△ABC也△OC8(SAS),故B不符合題意；

C：VZACB=ZDBC,ZABC=NDCB,BC=CB,：.AABC^A￡)CB(ASA),故C不符合題意；

D：VZA=Z.D,ZABC=NDCB,BC=CB,△ABC絲△OCB(AAS),故D不符合題意;

故選：A

6.如圖，腳為N欣的平分線，P為BN上一點(diǎn),且如，8。于點(diǎn)〃ZAPaZABC=180°,給出下列結(jié)論：

①/MAP=/BCP；②PA=PC：@AB+BC=2BD；④四邊形為尸。的面積是△加面積的2倍，其中結(jié)論正確的

個(gè)數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)尸作外工”，垂足為點(diǎn)（

?：PK1AB,PDIBC,/ABP=/CBP,

：.PK=PD,

在Rt△⑸%和Rt4BPD中,

fBP=BP

[PK=PD，

:?RtdBPK”Rt叢BPD(HL),

：.BK=BD,

\uZAPaZABC=180°,且N加3NA7Y?=180°,

???ZKPD=ZAPQ

:?/APK=/CPD,故①正確，

在△序4和刀中，

/AKP=ZPDC

<PK=PD,

/APK=/CPD

:.△PAKQXPCD(ASA)f

：.AK=CD,PA=PC,故②正確，

：.BK-AB=BC-BD,

：.BD-AB=BC-BD,

:?AB+BC=2BD,故③正確，

YRtABPgRtABPD,△PAK”XPCD(ASA),

：.SABPK^SABPD,SAAPK=SAPDC,

Saa?ABCP=S四四KBDP=2SAPBD.故④正確.

故選A.

二、填空題

7.如圖，ABC的面積為8,4?平分NB4C,且AD上班)于〃則△ADC的面積是

【答案】4

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)3￡＞交AC于點(diǎn)E,

AD平分NS4￡,ADVBD,

:.ZBAD=ZEAD,ZADB=ZADE,

在，ABD和板)中，

ABAD=ZEAD

<AD=AD,

ABDA=ZEDA

:.^ABD^_AED(ASA),

BD=DE,

一-0vABD—~UvAED，°qBDC~—0vCDE，

一"AABDT°4BDC~口△ADET口△C￡)E-°AAZ)C，

SABC=；S.MC=5X8=4.

故答案為：4.

8.如圖，AB^AC,下列條件①N3=NC；②/AEB=NADC；@AE^AD；④=中，若只添加

一個(gè)條件就可以證明.ABE2,ACD,則所有正確條件的序號(hào)是.

A.①②B.①③C.①②③D.②③④

BC

【答案】C

【詳解】解：A、已知AB=AC,/A公共角，添力口NB=NC,根據(jù)ASA,能判定二ABE1也AC。，故①

符合題意；已知AB=AC,—A公共角，添加NA￡B=NADC,根據(jù)AAS能判定,ABE均ACD,故②符合

題意；已知AB=AC,—A公共角，添加AE=A￡>,根據(jù)SAS能判定一,故③符合題意；已

知AB=AC,/A公共角，添加3E=CD,不判定11ABE之_ACD,故④不符合題意，

綜上所述：正確的條件有：①②③.

故選：C.

9.如圖，在，ABC和一AOC中，AB^AD,BC=DC,ZB=130°,則ND=°.

【答案】130

【詳解】解：V,在/ABC和ADC中，AB=AD,BC=DC,AC=AC

...一ABC^.ADC

'：ZS=130°,

ZD=4=130°

故答案為：130.

10.如圖，在ABC中，BC=AC,ZC=90°,AD平分AB=15cm,DELAB,垂足為點(diǎn)反那

么，BDE的周長(zhǎng)是cm.

【答案】15

【詳解】解：：平分NC4B,ZC=90°,DEVAB,

：.CD=DE,

*.*AD=AD,CD=DE,,

；.RtAACD^RtAAED(HL),

:.AC=AE,

,:BC=AC,

：.AC=AE=BC,

：.RDE的周長(zhǎng)=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=15cm,

故答案為：15.

11.如圖，已知￡為43上一點(diǎn)，BCLCA,ED_L/W,垂足分別為C、D,BD=BC,AE=8cm,DE=6cm,

貝AC等于cm.

【答案】14

【詳解】'：BC±CA,ED工AB

在RtABDE和Rt_BCE中

jBD^BC

[BE^BE

：.RtVBDE^RtVBCE(HL)

/.DE=CE=6cm

,/AE=8cm

/.AC=AE+CE—14cm.

故答案為：14.

三、解答題

12.如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分/ABC,ZBAD+ZC=180°,求證：AD=CD.

BA=BE

證明：在邊8c上截取止胡，連接龍.：劭平分N/8GNAB廬/CBD.在叢ABD和叢EBD中，\/ABD=NEBD,

BD=BD

:.△ABHAEBD(SAS),：.AD^ED,AABED.'：ZA+Z0180°,,：.ZC=ZCED,

：.CD-ED,：.AD^CD.

13.如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分NABC,

求證：ZA+ZC=180°.

產(chǎn)----------------

證明：在線段6c上截取BE=BA,連接DE,如圖所示,

'：BD平分/ABC,

：./ABF/EBD,

在物和△的9中，

AB=EB

<ZABD=ZEBD,

BD=BD

：./\ABD^/\EBD(SAS),

:.AD=ED,/A=/BED.

'：AD=CD,

:.ED=CD,

：.ADEOAC.

，：/BEIh/DEO180°,

14.如圖，..ABC的—3和2C的平分線8。，CE相交于點(diǎn)凡ZA=60°.

⑴求,BbC的度數(shù).

(2)求證：BC=BE+CD.

(1)解：在_ABC中，

ZA=60°,

ZA8C+ZACB=180°—ZA=180°—60°=120°,

ZABC,NACB的平分線5。，CE相交于點(diǎn)凡

/.ZFBC=-ZABCZFCB=-ZACB,

292

ZFBC+ZFCB=1(ZABC+ZACB)=1xl20°=60°,

在△3CF中，

ZBFC=180°-(ZFBC+ZFCB)=180°-60°=120°.

(2)證明：在5C上取一點(diǎn)0,使得BO=BE,

平分/ABC,

:./FBE=/FBC,

在△BFE和VBFO,

BO=BE

<ZFBE=ZFBC,

BF=BF

BFE^BFO(SAS),

:.NBFE=/BFO,

由(1)知NBPC=120。，

??.ZBFE=180°-ZBFC=180°-120°=60°,ZCFD=180°-ZBFC=180°-120°60°,

:./BFO=NBFE=60。,

ZCFO=ZBFC-ZBFO=60°,

/./CFO=/CFD,

CE平分/ACS,

..ZFCD=ZFCO,

在△CFO和△CTO,

ZFCD=ZFCO

<CF=CF,

ZCFO=ZCFD

.「CFO空CFD(ASA),

CO=CD,

BC=BO+CO,BO=BE,

BC=BE+CD.

15.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,AB=CD.

(1)求證：ZBAD=ZDCB；

(2)求證：ABCD.

(1)證明：連接BD,

在△ABD和△CDS中，

AD=BC

<AB=CD

BD=BD

.?.一ABD區(qū)CDB(SSS)

ZBAD=ZDCB-

(2)AB*一CDB

.-.ZCDB=ZABD

AB//CD.

16.如圖，點(diǎn)￡)、E分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上，AB^AC,BD=CE,BE與CD交于點(diǎn)、F,連接AF,

求證：AF平分N7ME.

證明：AB^AC,BD=CE,

.-.AB+BD=AC+CE,即ADuAE1,

在./3￡；和_47。中，

AB=AC

<ZBAE=ACAD,

AE=AD

AABE^AACD(SAS),

?.ZADC=ZAEB,即NBDF=NCEF,

在V5D尸和△CEF中，

ZBFD=ZCFE

<ZBDF=NCEF,

BD=CE

BDF與CEF(AAS),

:.BF=CF,

在△AB歹和△ACT中，

AB=AC

<AF=AFf

BF=CF

.^ABF^ACF(SSS),

,\ZBAF=ZCAF,

AF平分/ZME.

17.如圖，AB=AD.DC=BC,求證：AABC^AADC.

D

證明：根據(jù)題意可得，

在4ABe和八位）。中,

AB=AD

<BC=DC,

AC=AC

：.AABC^AAr>C(SSS).

18.如圖，AD.5c相交于點(diǎn)O,AD=BC,AC=BD.求證：ZC=ZD；

在LACB和BZM中,

AB=BA

<AD=BC,

AC=BD

：.ACBsBZM(SSS)

???NC=/D.

19.如圖，于￡,DF_LAC千F,若BD=CD,BE=CF,

⑴求證：AO平分/B4C；

(2)已知AC=16,DE=4,BE=2,求四邊形AFDB的面積.

(1)證明：

■:DELAB,DF1AC,

ZE=ZDFC=90°,

在RtADEB和RtADFC中

[BD=CD

\BE=CF9

Rt_DEBgRt一。尸C(HL),

:.DE=DF,

：.A。平分/A4c.

(2)???在Rt/XAOE和Rt-AD尸中

AD=AD,DE=DF,

RtADE義RtADF(HL),

二?S四邊形AQB—S皿6+S—SBDE~乙uADFuBDE?

Rt^DEB^RtDFC,

/.DF=DE=4,CF=BE=2,

AF=AC-CF=16-2=14f

S=—?AF-DF=—x14x4=28,

RAnF22

S=--BEDE=-x2x4=4,

,BRDnEF22

'''S四邊形AFDB=2x28-4=52.

20.如圖，AC=AB,/C=/B

(1)求證：AE=AD；

(2)求證：OE=OD-

【詳解】(1)在和中，

ZA=ZA

\AB=AC

NB=NC

：.AABE^AACD(ASA),

***AE=AD；

u

(2)：AE=AD,AC=ABf

：.AC-AE=AB-AD

即CE=5。，

在一COE和50。中，

ZCOE=ZBOD

<ZC=ZB

CE=BD

：..COE^BOD(AAS),

：.OE=OD.

21.如圖，在中，8E是角平分線，AD±BE,垂足為D.求證：Z2=Z1+ZC.

證明：如圖，延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)石

：BE是一ABC的角平分線，AD±BE,

：.ZABD=ZFBD,ZADB=ZFDB=90°,DB=DB,

/.涇△EftD(ASA),

Z2=ZAFB,

'：ZAFB=Z1+ZC,

：.Z2=Z1+ZC.

22.如圖，點(diǎn)、D,￡分別在A3,AC上，且=ZADC=ZAEB.求證：BE=CD.

ZA=ZA

<AD=AE

ZADC=ZAEB

：..ADCA￡B(ASA),

BE=CD.

23.如圖，已知四邊形ABC。中，對(duì)角線3。平分/ABC,且NBA。與/BCD互補(bǔ).

⑴點(diǎn)〃到/ABC兩邊的距離是否相等？如果相等，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)求證：AD=CD.

【詳解】(1)解：點(diǎn)，到/ABC兩邊的距離相等，

理由：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

(2)在BC上截取=連接OE,

,?平分/ABC,

ZABD=ZEBD,

,/BD=BD,

/.Z\ABD^Z\EBD（SAS）,

；?ZA=NBED,AD=DE,

,：ZA+ZC=180°,/BED+/DEC=180°,

ZC=ZDEC,

：.DE=DC,

：.AD=CD.

24.在①AC=80,@ZCAB^ZDBA,③C。=這三個(gè)條件中，選擇其中兩個(gè)作為條件，一個(gè)作為結(jié)

論補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成解答.（只填序號(hào)）

問(wèn)題：已知：如圖，AD>8C相交于點(diǎn)0.且,,求證：.

【詳解】解：己知：如圖，AD,8C相交于點(diǎn)。.且①AC=B。，?AC=BD,求證ABC法BAD.

,/?AC=BD,②ZCAB=NDBA,AB=AB,

：.AABC^ABAD（SAS）.（答案不唯一）

25.如圖，在11ABe中，CD±BD,