考點(diǎn)15空間幾何體表面積體積（精練）1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【解析】設(shè)米堆的底面半徑為r尺，則eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米約有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問(wèn)積幾何？“其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問(wèn)它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的體積為A．140立方尺 B．280立方尺 C．立方尺 D．立方尺【解析】：由題意可得：這個(gè)四棱錐的體積立方尺，故選：．3.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作九章算術(shù)注中，稱(chēng)一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為：若正方體的棱長(zhǎng)為2，則“牟合方蓋”的體積為A．16 B． C． D．【答案】C【解析】正方體的棱長(zhǎng)為2，則其內(nèi)切球的半徑，正方體的內(nèi)切球的體積，又由已知，。4.把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，當(dāng)直線和平面所成的角為時(shí)，三棱錐的體積為()A． B． C． D．【答案】C【解析】取AC的中點(diǎn)O，連接，作，，平面，平面平面又，平面，平面與平面所成角即為，則為等邊三角形。5.（2021?咸陽(yáng)二模）正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長(zhǎng)為，高為3，則它的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長(zhǎng)為，高為3，設(shè)它的外接球的半徑為，球心為，底面的中心為．設(shè)．則，．解得：．可得球的表面積為．故選：．6.(2021·江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)《算術(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長(zhǎng)l與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V＝eq\f(1,36)l2h，它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么，近似公式V≈eq\f(25,942)l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)【答案】C【解析】V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2h＝eq\f(1,12π)l2h，由eq\f(1,12π)≈eq\f(25,942)，得π≈eq\f(157,50)，故選C.7．已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積是（）A．64π B．48π C．32π D．16π【答案】C【分析】由題意可得，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，半徑為母線8，弧長(zhǎng)為圓錐底面周長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，圓錐底面直徑為，8半徑為4，母線長(zhǎng)為8，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，半徑為母線8，弧長(zhǎng)為圓錐底面周長(zhǎng)扇形面積為：故選：C8．（2021·湖南懷化市高三月考）已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意側(cè)棱長(zhǎng)為．所以表面積為：．故選：A.9．（2021·張家界市民族中學(xué)高三月考）棱長(zhǎng)為的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖由正四面體的概念可知，其四個(gè)面均是全等的等邊三角形，由其棱長(zhǎng)為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：A10．（2021·廣東惠州市·高三期末）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，∴該四棱錐的體積.故選：C.11．（2021·威海市教育教學(xué)研究中心高三期末）古代將圓臺(tái)稱(chēng)為“圓亭”，《九章算術(shù)》中“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問(wèn)積幾何？”即一圓臺(tái)形建筑物，下底周長(zhǎng)丈，上底周長(zhǎng)丈，高丈，則它的體積為（）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈【答案】B【解析】由題意得，下底半徑（丈），上底半徑（丈），高（丈），所以它的體積為所以(立方丈).故選：B.12．（2020·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A．10 B． C． D．【答案】B【解析】半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，所以底面圓的半徑為r=10，所以圓錐的高為.故選：B13．（2021·浙江杭州市·高三期末）將半徑為，圓心角為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由扇形弧長(zhǎng)公式可求得弧長(zhǎng)，圓錐底面周長(zhǎng)為，圓錐底面半徑，圓錐的高，圓錐的體積.故選：.14．（2021·天津和平區(qū)·耀華中學(xué)高三期末）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C15．（2021·山東菏澤市·菏澤一中高三月考）某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長(zhǎng)方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A16．【2019·天津卷】已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為．若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)____________．【答案】【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為.17.（2019江蘇9）如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是.【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積是120，E為的中