14全等三角形一線(xiàn)三等角模型

一、單選題

1.如圖，在△45C中，AB=AC=9,點(diǎn)￡在邊AC上，絲的中垂線(xiàn)交比'于點(diǎn)2,若NADE=NB,CD=3BD,

則B等于()

99

A.3B.2C.—D.—

42

【答案】A

【詳解】解：???28=40=9,

:?/B=/C,

VZADE=ZB,ZBAD=180°-ZB-ZADB,ZCDE=180°-ZADE-AADB,

：.ZBAD=ZCDEf

???斯的中垂線(xiàn)交國(guó)于點(diǎn)〃

：.AD=ED,

在與△〃四中，

/BAD=ZCDE

<NB=NC,

AD=ED

:?&AB恒XDCE(AAS)f

：.CD=AB=^,BD=CE,

CD=3BD,

：.CE=BD=3

故選：A.

2.一天課間，頑皮的小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖

所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見(jiàn)了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度3=8cm,則龐的長(zhǎng)為

()

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

【答案】C

【詳解】解：由題意得/49。=/9=乙4%=90°,AC=CB,

：.ZACD=90°-/BCE=/CBE,

在和△鹿中，

NADC=/CEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

:.MAC恒XCBE(AAS),

CD=BE=3a,AD=CE=4a,

.*.DE=CI^-CE=3a^4：a=7a,

?<3—8cm,

二.7a=56cm,

.\DE=56cmf

故選C.

3.如圖，AC=CE,ZACE=90°，ABLBD,EDLBD,Z6=6cm,龐=2cm,則初等于(

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【答案】B

【詳詢(xún)軍】解：-ABLBD,EDLBD,

：.ZABC=ZCDE=90°,

*：ZACE=90°，

：.NACB+NDCE=90。，

ZACB-^-ZBAC=90°,

:?NBAC=NDCE,

在,.ABC和CDS中，

/ABC=ZCDE=90°

ABAC=ZDCE

<

AC=CE

ABC^CDE(AAS),

AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

BD=BC+CD=2+6=8cm,

故選：B.

4.課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，NACB=90：AC=BC,從三

角板的刻度可知4?=20cm,小聰想知道砌墻磚塊的厚度（每塊磚的厚度相等），下面為砌墻磚塊厚度的平方

的是（

DCE

A2002

A.---cmB.受與c.%D.留城

13131313

【答案】A

【詳解】解:設(shè)每塊磚的厚度為xcm,則AD=3xcm,BE=2xcm,

由題意得：ZACB=ZAD(=ZBE<=90o,

：.ZACD^ZDAl=ZACIKZBC^90Q,

ZDA(=ZECB,

又'：AC=CB,

△物隹△紀(jì)？（A4S）,

/.CIABE=2xcm,

VAC'+BC2=AB1,AD2+DC2=AC2,

2(3葉+2(2X『=2()2,

200

~Y3

故選A.

二、填空題

5.如圖，已知4%1是等腰直角三角形，ZACB=90°,ADLDE于點(diǎn)D,BE1DE千點(diǎn)、E,且點(diǎn)，在龍上,

若4?=5,BE=8,則如的長(zhǎng)為.

【答案】13

【詳解】解：■:ADLDE,BELDE,

：.ZAD(=ACEB=^°,

：.ZDAC+ZDCA=^°,

?.?△/回是等腰直角三角形，//匠90°,

:"DCA+/BC氏9Q°,At=CB

：.ADAOZECB,

:ZAgXECB(幽S),

:.C/A廬5,CD=BE=8,

：.DE=CD^C^13,

故答案為：13.

6.如圖，在四邊形AB防中，AB=4,EF=6,點(diǎn)C是班上一點(diǎn)，連接AC、CF,若AC=CF,

ZB=NE=ZACF,則BE的長(zhǎng)為.

【答案】10

【詳解】ZB+ZBAC=ZACE=NFCE+ZACF,

又ZB=ZACF,

:.NBAC=NFCE,

ZB=ZE,AC=CF,

/XABC^ACEF(AAS),

:.AB=CE,BC=EF,

AB=4,EF=6,

.-.BE=BC+CE=6+4=W,

故答案為：10.

7.如圖，一個(gè)等腰直角三角形/回物件斜靠在墻角處(/行90°),若如=50cm,如=28cm,則點(diǎn)。離

地面的距離是cm.

【答案】28

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作aa必于點(diǎn)。，如圖,

ZCDB=ZAOB=90°

,/AABC是等腰直角三角形

：.AB=CBfZABC=90°

：.ZABO-^-ZCBD=90°

又/CBD+NBCD=90。

：.ZABO=ZBCD

在AABO和ABCD中，

ZAOB=ZBDC

<ZABO=/BCD

AB=CB

；.AABO=ABCD(AAS)

：.CD=BO=28cm

故答案為：28.

8.已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)正方形/曲的頂點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)8和點(diǎn)〃分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)砌和如垂足分別為點(diǎn)火點(diǎn)

N,如果加f=5,DN=3,那么點(diǎn)〃和點(diǎn)兒之間的距離為.

【答案】8或2

圖1

\9ZNAD-^ZBAM=90°,?ABM?BAM90?,

ZNAD=ZMBA,

ZAMB=ZAND

??,在一ABM和-DA7V中，\^ABM=ANAD

AB=AD

:?AABM沿ADAN(A4S),

：?AM=DN=3,BM=AN=5f

：.MN=AMAN=3^5=8,

如圖2,在正方形/aZ?中，

?：ZDAN+ZBAM=90°,?ABM?BAM90?,

JZNAD=ZMBA,

ZAMB=ZDNA

??,在，ABM和二DA7V中，\^ABM=ANAD

AB=AD

:.AABM烏ADAN（血S）,

AM=DN=3,BM=AN=5,

：.MN=AN-AM=5-3=2,

綜上：肱V=8或2.

故答案為：8或2.

9.如圖所示，-1BC中，AB=AC,ZBAC=90°.直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)。作Cb_L/

于點(diǎn)兒若BE=2,CF=5,則跖=.

【答案】7

【詳解】'：BEVI,CFL1,

：.ZAEB=ZCFA=90°.

：.ZEAB+ZBBA=90°.

又二N物華90°,

：.ZEAB+ZCA/^90°.

：.ZEBA=ZCAF.

在△/旗和中

?：/AE氏NCFA,/EB斤/CAF,A片AC,

:■△AEB^ACFA.

：.AE=CF,BE=AF.

：.AE+AF^BE+CF.

:?EF^BE+CF.

,:BE=2,CF=5,

：.砂=2+5=7；

故答案為：7.

10.如圖，且人￡=人員5。，8,且3。=8,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算加的長(zhǎng)為

【答案】18

【詳解】解：-：AE±AB>AE=AB,EF±FH,BG±FHf

ZEAB=ZEFA=NBGA=90°,

ZEAF+ZBAG=90°=AABG+ABAG,

ZEAF=ZABG,

：.AE=AB,/EFA=ZAG3,ZEAF=ZABG,

.?..￡E4空.ABG(AAS),

AF=BG=3,AG=EF=8,

同理證得iBGC"DHC得GC=DH=4,CH=BG=3,

^77/=7T1+AG+GC+CH=3+8+4+3=18,

故答案為：18.

三、解答題

11.如圖，/氏/O/FD斤80°,D戶(hù)DE,止1.5cm,層2cm,求8。的長(zhǎng).

D

【答案】3.5

【詳解】解：ZB=Z(=ZFD^80°,

ZBDF+ZEDC=100°,ZBDF+ZBFD=100°

.\ZEDC=ZBFD

在△5FD與CDE中，

ZB=ZC

</EDC=/BFD

DE=DF

BFD=.CDE(AAS)

BF=CE>=1.5,BD=CE=2

BC=BD+DC=2+1.5=3.5.

12.已知：如圖，ABLBD,EDLBD,C是做上的一點(diǎn)，ACLCE,AB=CD,求證：BC=DE.

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：,：ABLBD,EDLBD,（已知）

:.NACE=/B=/D=9Q°（垂直的意義）

■:乙BCA+/DCE"ACE=\3Q°（平角的意義）

ZACE=90°（已證）

ZBCA+ZDCE=90°（等式性質(zhì)）

'：ZBCA+ZA+ZB=18Q°（三角形內(nèi)角和等于180°）

/8=90°（已證）

：.ZBCA+ZA^90°（等式性質(zhì)）

:"DCE=/A（同角的余角相等）

在△/比'和AC的中，

ZA=ZDCE

<AB=CD,

ZB=ZD

:.△ABg^CDE（ASA）

:.BC=DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

13.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,分別過(guò)點(diǎn)8C作過(guò)點(diǎn)"的直線(xiàn)的垂線(xiàn)劭，CE,垂足

為〃E.若瓦）=4cm,CE=3cm,求龐的長(zhǎng).

【答案】7cm

【詳解】解：：在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ZDAB+ZEAC=90°,

'：BD±AD,CE.LAE,

：.ND=NE=90°,

ZDAB+ZDBA^9Q0,

，ZDBA=ZEAC,

AB=CA,

：.AASD^AC4￡'(AAS),

BD=AE=4cm,AD=CE=3cm,

DE—AD+AE=7cm.

14.如圖，ZABC=90°,于點(diǎn)4，是線(xiàn)段上的點(diǎn)，AD=BC,AF=BD.

圖1圖2

(1)判斷D尸與。C的數(shù)量關(guān)系為—，位置關(guān)系為

(2)如圖2,若點(diǎn)〃在線(xiàn)段A3的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)戶(hù)在點(diǎn)力的左側(cè)，其他條件不變，試說(shuō)明(1)中結(jié)論是否

成立，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)CD=DF,CD1DF；(2)成立，見(jiàn)解析

【詳解】⑴解：由題意，ZA=ZB=90°,

在與a班心中，

AF=BD

</A=NB

AD=BC

AFD烏BDC(SAS),

DF=DC,ZADF=ZBCD,

?在Rt_MC中，ZBDC+ZBCD=90°,

ZBDC+ZADF=90°,

NFDC=90°,

CD1DF,

綜上可知CD=/?,CD1DF；

(2)解：成立，理由如下：

AF±AB,

..ZDAF=90°,

在△AM和△BCD中，

AF=DB

■ZDAF=ZCBD,

AD=BC

ADF-BCD(SAS),

:.DF=DC,ZADF=ZBCD,

NBCD+NCDB=90°,

ZADF+ZCDB=90°,即ZCDF=90°,

CD±DF；

(1)中結(jié)論仍然成立.

15.如圖1,ZACB=90,AC=BC,ADLCE,BELCE,垂足分別為〃E.

(1)若AD=2.5cm,Z)E=1.7cm,求BE的長(zhǎng).

(2)在其它條件不變的前提下，將CE所在直線(xiàn)變換到ABC的外部(如圖2),請(qǐng)你猜想AD,DE,BE三者

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,將(1)中的條件改為：在ABC中，AC=BC,D,C,￡三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，并且有

NBEC=ZADC=NBCA=a,其中。為任意鈍角，那么(2)中你的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)0.8cm；(2)DE=BE+AD,證明見(jiàn)解析；(3)結(jié)論。七=m+4)成立，證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：VZACB=90,AD±CE,BELCE,

：.ZBCE+ZACD=90°,ZACD+ADAC=90°,

NBCE=NDAC,

在，BCE和.CW中，

ZBEC=ZCDA=9Q°

<ZBCE=ADAC,

AC=BC

.BEC^CDACAAS),

ABE=CD,AD=CE,

：.BE=CD=CE-ED=2.5-1.7=0.8(cm)；

(2)DE=BE+AD.

證明：VZACB=90°,

：.ZBCE+ZACD^90°,

,/BELCD,

：.NBCE+NEBC=90°,

ZEBC=ZACD,

在LACD和yBE中,

ZACD=/CBE

</ADC=/BEC,

AC=BC

：.NACD^VCBECAAS),

：.AD=CE,CD=BE,

：.DE=CD+CE=BE+AD；

(3)結(jié)論。石=5石+4)成立，

證明：ZBCE=180°=ZACB-ZACD,Z.BCE=1800-ZB-ZBEC,ZBEC=ZACBf

：.ZACD=NB,

在.ACD和ACBE中,

ZACD=ZCBE

</ADC=/BEC,

AC=BC

：.NACDACBE(AAS),

：.AD=CE,CD=BE,

：.DE=CD+CE=BE+AD；

即結(jié)論。石=6石+AZ)成立；

16.如圖，在中，AB=AC=2,N5=NC=40。，點(diǎn)〃在線(xiàn)段5C上運(yùn)動(dòng)(〃不與反。重合)，連

接AD,作ZADE=4O。，。石交線(xiàn)段AC于笈

（1）當(dāng)4八4=115。時(shí)，ZEDC=°,ZBAD=°,ZAED=°；點(diǎn)〃從￡向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，

N5/M逐漸變（填“大”或“小”）；

⑵當(dāng)小等于多少時(shí)，AABD沿乙DCE,請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶在點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AAD石的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)，若不

可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）25,25,65,??；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，AABDdDCE,理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)N3D4的度數(shù)為110。

或80。時(shí)，AADE的形狀是等腰三角形.

【詳解】（1）解：???"ZM=115。,

???ZAZ>C=180°-115o=65°,

?.?ZADE=40°,

:./EDC=ZADC-ZADE=25。，

■:ZADC=ZADE+NEDC=NB+/BAD,

，/BAD=NEDC=25°,

：.ZAED=ZEDC+ZC=65°；

?.?點(diǎn)〃從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸增大，而，3不變化，ZB+ABAD+ABDA=180°,

...點(diǎn)〃從方向。運(yùn)動(dòng)時(shí)，/3D4逐漸變小，

故答案為：25,25,65,小；

(2)解：當(dāng)￡>C=2時(shí)，△AB。絲△OCE,

理由：：/B=NC=40。，

NDEC+NEDC=140°,

又；ZADE=40°,

：.ZADB+ZEDC=140°,

ZADB=/DEC,

又：A5=AC=2,

△TWD絲△OCE(AAS)；

(3)解：當(dāng)N&M的度數(shù)為HO。或80°時(shí)，VADE的形狀是等腰三角形，

理由：VZC=ZADE=4O°,ZAED=NC+NEDC,

：.ZAED>ZADE,

當(dāng)VADE時(shí)等腰三角形，只存在AD=ED^AE=DE兩種情況，

當(dāng)AD=ED時(shí)，

?*.ZDAE=ZDEA,

'：ZA￡>E=40°,

ZDAE=ZDEA==,

27QO

ABDA=ADAC+ZC=110°；

當(dāng)=時(shí)，

ZEAD=ZEDA=40°,

ABDA=ADAC+ZC=80°,

綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為110?；?0。時(shí)，VADE的形狀是等腰三角形.

17.在“WC中，ZACB=90°,AC=BC,直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD_LMN于。，BELMN于E.

A/M

2

圖1圖2圖3

⑴當(dāng)直線(xiàn)肋V繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，求證:DE=AD+BE；

⑵當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試問(wèn):DE、AD,班有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)

系，并加以證明;

⑶當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，DE、AD.鴕之間的等量關(guān)系是—（直接寫(xiě)出答案）.

【答案】（1）見(jiàn)解析；⑵AD=BE+DE,證明見(jiàn)解析;（3）BE^AD+DE,證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）證明：由題意知，ZBC4=90°,ZADC=ZBEC=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

ZACD=ZCBE,

在△ADC和，C￡B中，

ZADC=NCEB=90°

?/ZACD=NCBE

AC=BC

：.Z\ADC^ACEB(AAS),

AAD=CE,BE=CD,

：.DE=DC+CE=BE+AD,

DE^AD+BE.

(2)解：AD=BE+DE.

證明：VADYMN,BELMN,

：.ZADC=ZBEC^90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

：.ZACD=ZCBE,

在△ABO和ZXACE中，

ZADC=ZCEB

,/ZACD-ZCBE,

AC^BC

ACDOOqCBE(AAS),

:.AD=CE,BE=CD,

又：CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

(3)解：BE=AD+DE.

證明：?.,AD_LMV于O,BE工MN于E,

：.ZADC=ZBEC=90°,

：.Z5CE+ZEBC=90°,ZACD+N5c石=90。，

：.ZACD=ZEBC,

在ACD和△CB5中，

NADC=NCEB

?：[ZACD=NCBE,

AC=BC

：.ACDcoCBE(AAS),

；.AD=CE,BE=CD,

又「CD=CE+DE=AD+DE,

：.BE=AD+DE.

18.如圖AB=AC,AB_LAC,DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,CE±DE,BD±DE.

(2)若ED=9,CE=6,求BD的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)3.

【詳解】解：(1)證明：AB上AC,CE上DE,BD上DE.

ZE=ZD=ZCAB=90.

/.Zl+Z2=180-ZCAB=180-90=90.

/.N2+N3=90.

.?.N1=NR

???在△AEC和ZkiSDA中，

21=NB

</E=/D

AC=AB,

AEC^.BDA(AAS).

⑵由⑴得：AEC”BDA,

AD=CE=6,BD=AE

AE=ED-AD=9-6=3,

BD=AE=3.

19.（1）如圖（1）,已知：在△48C中,/物C=90°,AB-AC,直線(xiàn)⑷經(jīng)過(guò)點(diǎn)4初，直線(xiàn)見(jiàn)血直線(xiàn)

m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明：D拄BACE.

（2）如圖（2）,將（1）中的條件改為：在△/比?中，AB=AC,D、A,￡三點(diǎn)都在直線(xiàn)小上，并且有/94=

ZAE（=ZBA（=cx,其中。為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論處即CF是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3）,D、E是D、4￡三點(diǎn)所在直線(xiàn)加上的兩動(dòng)點(diǎn)（久爾￡三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)

分為N胡。平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且跖和均為等邊三角形，連接物、CE,若/BDQ/AEC=/BAC,試

判斷△好的形狀.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）成立，證明見(jiàn)解析（3）△頌為等邊三角形，證明見(jiàn)解析

【詳解】解：（1）證明：??,切，直線(xiàn)如QT直線(xiàn)出

：.ZBDA=ZCEA=90°.

ZBAC=90°,

：.ZBA^ZCA￡=90°.

9：ZBADvZABD^90°,

:?/CA斤/ABD.

又AB=AC,

,XAD噲XCEA(AAS).

J.AE^BD,A廬CE.

:.D斤AE+A廬BACE：

(2)成立.證明如下：

'：ABDA:/BAM,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°a.

：.ZDBA=ZCAE.

9：ZBDA=ZAEC=a,AB=AC,

???△/〃運(yùn)△儂(AAS).

:?A皆BD,A廬CE.

:?D±AE+AABaCE：

(3)△郎為等邊三角形.理由如下：

由(2)知，XM)噲ZCEA,B廬AE,/DBA;乙CAE,

???△/斯和均為等邊三角形,

：.ZAB/^ZCAJF^GO°.

：.ZDBA+ZABF=ZCAE-vZCAF.

:./DBQ/FAE.

9：BF^AF,

:.△DBF^XEAF(SAS).

C.DF^EF,/BFF/AFE.

:?/DF//DFA+/AF拄/DFA+/BFD6.

???△頌為等邊三角形.

7，。

DAEmDAE〃?DAEm

(圖1)(圖2)（圖3）

20.如圖，在△/8C中，/8=/C=2,N6=NC=40°,點(diǎn)〃在線(xiàn)段回上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)，不與點(diǎn)反C重合），

連接/〃，作/川陽(yáng)=40°,"'交線(xiàn)段4C于點(diǎn)反

(1)當(dāng)/皿=105°時(shí)，AEDC=J,/DEC=_°；點(diǎn)〃從點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，/放4逐漸變填“大”

或“小”)

(2)當(dāng)先等于多少時(shí)，XAB/XDC總請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△/龐的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以,請(qǐng)直接寫(xiě)出/94的度數(shù)；若不

可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.

A

BDC

【答案】(1)35。,105。，??；(2)2,理由見(jiàn)解析；(3)110?；?0°

【詳解】(1)ZB=ZC=40°,ZADE=40°,

.?.ABAC=180°-ZB-ZC=180°-40°-40°=100°,

ZADB+ZEDC=1800-ZADE=140°f

ZADB-^-ZBAD=1800-ZB=140°,

ZDEC+ZEDC=180°-ZC=140°,

:.ZBAD=ZEDC,ZADB=NDEC,

當(dāng)N應(yīng)M=105。時(shí)，

ZEDC=ABAD=180°-ZADB—ZB=180。一105。-40°=35°,

ZDEC=^ADB=105°；

當(dāng)點(diǎn)，從點(diǎn)6向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，,BAD逐漸變大，/6/皿=180。一/3-/54￡>=140。一/^4￡),貝4/薇4逐

漸變小，

故答案為：35°,105°,?。?/p>

(2)ZBAD=ZEDC,ZADB=ZDEC,

當(dāng)￡>C=AB=2時(shí)，

:..ABD^,DCE(AAS),

DC=2,

(3)龍的形狀可以是等腰三角形，或80。,

ZB=4=40。，

ABAC=180。—40°—40。=100。，

①當(dāng)ZM=。石時(shí)，/DAE=NDEA=1(180°-40°)=70°,

ZBAD=ZBAC-ZDAC=100°-70°=30°,

:.ZBDA=180o-ZB-ZBAD=180o-40o-30o=110°；

②當(dāng)出=ED時(shí)，ZADE=/DAE=40°,ZDEA=180°-40°-40°=100°,

二/BAD=ABAC-ZDAE=100°-40°=60°,

ABDA=1800-ZB-ZBAD=180。一40°-60°=80°,

③當(dāng)AE=AD時(shí)，NADE=NDEA=40°,/DAE=180°-40°-40°=100°,

NBA。=100。，

「?此時(shí)。點(diǎn)與3點(diǎn)重合，

由題意可知點(diǎn)〃不與點(diǎn)8、。重合，

,此種情況不存在，

綜上所述，當(dāng)△/應(yīng)是等腰三角形時(shí)，NBDA=110?；?0。.

21.己知：切是經(jīng)過(guò)/居1的頂點(diǎn)C的一條直線(xiàn)，CA=CB,E、尸是直線(xiàn)切上兩點(diǎn)，/BEC=/CFA=/a.

(1)若直線(xiàn)切經(jīng)過(guò)窗的內(nèi)部，ABCD>AACD.

①如圖1,/小4=90°,Za=90°,寫(xiě)出龐，EF,4戶(hù)間的等量關(guān)系：.

②如圖2,/a與/方。具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出/a與/皿的數(shù)量關(guān)

系.

(2)如圖3.若直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)的外部，Na=NBCA,①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若

不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明.

圖1圖2圖3

【答案】(1)①距BEAR②NABCA=180°,理由見(jiàn)解析；(2)不成立，E六BE+AF,證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)QEF、BE、/尸的數(shù)量關(guān)系：E戶(hù)BEAF,

證明：當(dāng)。=90°時(shí)，/BEC=4CFA=90°,

VABCA=90°,

BCE+/AC290°,

9：ZBCE+ZCBE=90°,

AZACF=/CBE,

AC=BC,

:.XBC恒XCAF,

：.BE二CF,CE=AF,

?:CF;CE+EF,

:.E后CFC皆BEAF；

②N。與N8G4關(guān)系：Z□+ABCA=180°

當(dāng)N。+ABCA=180°時(shí)，①中結(jié)論仍然成立；

理由是：如題圖2,

VABEC=AGFA=/a,NCB石+ZBCE+ZB石。=180。，Na+NZW=180°,

ZACB=/CBE+ZBCE

又?:ZACB=ZACF+ZBCE

：.ZCBJE=ZACF,

在△坑石和尸中

ZBEC=ZCFA

<ZCBE=ZACF

BC=AC

:.△BCE^XCAF(AAS),

：.BE二CF,CE=AF,

:?E戶(hù)CFC*BEAF\

故答案為：/a+/BCA=180°；

(2)EF、BE、2分的數(shù)量關(guān)系:上應(yīng)3E理由如下

\uZBEC=ZCFA=Z/a=/BCA,

又.：/EBC+/BCE+/BEC=,ZBCE+ZACF^ZACB=180°,

AZEBC+/BCE=/BCE+/ACF

：.AEBC=ZACF,

在△應(yīng)T和AC砂中

ZEBC=ZFCA

</BEC=ZCFA

BC=CA

:?△ABE^ACFA(AAS)

：.AF=CE,BE;CF

,:E六CE+CF,

???上BE+AF.

22.如圖，線(xiàn)段Z戶(hù)6,射線(xiàn)加尸為射線(xiàn)比上一點(diǎn)，以北為邊做正方形加◎,且點(diǎn)C、〃與點(diǎn)6在

/尸兩側(cè)，在線(xiàn)段加上取一點(diǎn)E,使得NEA片NBAP,直線(xiàn)B與線(xiàn)段48相交于點(diǎn)分(點(diǎn)F與點(diǎn)、A.8不重合)，

(1)求證：△AEP^XCEP、,

(2)判斷6F與/8的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)△/鰭的周長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)CFLAB,理由見(jiàn)解析；(3)是，為16.

【詳解】解：(1)證明：??,四邊形加◎正方形，

：.DP平分/APC,POPA,NAP俏90°,

:./AP立/CP&45?,

在△/鰭與△儂中，

AP=CP

<NAPE=ZCPE,

PE=PE

:.△AE2XCEP(SAS)；

(2)CFLAB,理由如下:

,：△AEP^XCEP,

:./EAW/ECP,

/EA六/BAP,

：./BA片/FCP,

VZAP0900,

:?/FC丹/CM匕9?！?

■:/AM六/CMP,

:?/AMR/PA斤90°,

；,/4%90°,

CF.LAB；

(3)過(guò)點(diǎn)。作CN1PB.

*：CFLAB,BGLAB,

：.ZPNC=ZB=90°,FC//BN,

：./CPI^/PC2/EA片/PAB,

又A"CP,

:ZCN空XAPB(AAS),

：.C^PB^BF,P牛AB,

Y△AEP^XCEP,

:?A良CE,

：.XAEF的周長(zhǎng)二Z4所/尸

二CE+EF+AF

:BN^AF

二P2PB+AF

:AB+CN^AF

=AB+BF^-A^2AB=16.

故△力斯的周長(zhǎng)是否為定值，為16.

23.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1,ZABC=a,將邊AC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。得到線(xiàn)段CE,在射線(xiàn)5C上取點(diǎn)〃，

使得NCD￡=a.請(qǐng)求出線(xiàn)段BC與。石的數(shù)量關(guān)系；

(2)類(lèi)比探究：如圖2,若a=90。，作NACE=90。，＞CE=1AC,其他條件不變，則線(xiàn)段BC與。石的

數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)拓展延伸：如圖3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)￡是邊A。上一點(diǎn)，且AE=2,把線(xiàn)段CE逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。得到線(xiàn)段E尸，連接所，直接寫(xiě)出線(xiàn)段跳■的長(zhǎng).

【答案】(1)BC=DE；⑵發(fā)生變化，BC=2DE,證明見(jiàn)解析；(3)2兩

【詳解】(1)解：ZABC=ZCDE=ZACE=a,

：.ZA=ZECD.

在,ASC和CDE中，

ZABC=ZCDE

<ZA=ZDCE

AC=CE

：.AABC^ACDE(AAS),

BC=DE.

(2)發(fā)生變化，BC=2DE.

證明：由(1)得，ZA=ZECD,ZABC=ZCDE,

AABC^ACDE,

.BCAC.

??一—2,

DECE

：.BC=2DE.

(3)如圖所示，作小，54延長(zhǎng)線(xiàn)于//點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作GT,加，交8C于G點(diǎn)，交FH于T點(diǎn),

則m=BG=AE=2,EG=AB=6,AH=TE,

由(1)同理可證，F(xiàn)TE.EGC(AAS),

:.FT=EG=6,AH=TE=GC=6—2=4,

:.FH=FT+TH=6+2=8,BH=BA+AH=6+4=10,

BF=ylFH2+BH2=48?+1()2=2a-

24.(1)如圖①.已知：在中，/ft4c=90。，AB^AC,直線(xiàn)加經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,網(wǎng)(1直線(xiàn)加，CEL直

線(xiàn)"z,垂足分別為點(diǎn)。、E.則線(xiàn)段DE、3。與CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

ccF

(2)如圖②，將(1)中的條件改為：在一ABC中，AB^AC,D,A,￡三點(diǎn)都在直線(xiàn)0上，并且有

NBDA=ZAEC=NBAC=a,其中&為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)：(1)中的結(jié)論是還否成立？如成立，請(qǐng)你

給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)拓展與應(yīng)用：如圖③，D,E是D,A,￡三點(diǎn)所在直線(xiàn)⑷上的兩動(dòng)點(diǎn)(〃A,￡三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)尸

為ZBAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn)，且AABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE.若ZBDA=ZAEC=ZBAC,

試判斷防的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)DE=BD+CE；(2)成立，證明見(jiàn)解析；(3)等邊三角形，理由見(jiàn)解析

【詳解】解：(1)DE=BD+CE.理由：如圖1,

8￡>_L直線(xiàn)m,CE_1_直線(xiàn)加，

ZBDA^ZCEA=90°,

ABAC=90°,

:.ZBAD+ZCAE=90°,

ZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE=ZABD,

在和_CE4中，

AABD=ZCAE

<ZADB=ACEA=90°,

BA=AC

AAD胎△g(AAS),

:.AE=BD,AD=CE,

DE=AE+AD=BD+CE；

(2)(1)中結(jié)論成立，

理由如下：如圖2,Z.BDA=ZBAC=a,

NDBA+ABAD=ABAD+ZCAE=180°-?,

:.ZDBA=ZCAE,

在11ADB和CEA中，

ZDBA=ZCAE

<ZBDA=ZAEC,

BA=AC

△C￡4(AAS),

;.AE=BD,AD=CE,

DE=AE+AD=BD+CE；

(3)結(jié)論：山即是等邊三角形.

理由：如圖3,由(2)可知，-ADB空CE4,

:.BD=AE,ZDBA=ZCAE,

AB尸和AAC廠(chǎng)均為等邊三角形，

:.ZABF=ZCAF=60°,BF=AF,

ZDBA-^-ZABF=ZCAE+ZCAFf即/DRF=/FAF,

在DM和廠(chǎng)中，

FB=FA

</DBF=ZEAF,

BD=AE

■.Ar)BF^AEAF(SAS),

：.DF=EF,ZBFD=ZAFE,

.ZDFE=ZDFA+ZAFE=NDFA+NBFD=60。,

.'DEF為等邊三角形.

25.已知，在ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線(xiàn)加上，且。片二9皿ZBDA=ZAEC=ZBAC.

⑴如圖①，若AB1AC,則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為,CE與AD的數(shù)量關(guān)系為；

⑵如圖②，判斷并說(shuō)明線(xiàn)段30,CE與DE的數(shù)量關(guān)系；

⑶如圖③，若只保持/B/M=NA￡C,3D=EF=7c〃z,點(diǎn)/在線(xiàn)段上以2cm/s的速度由點(diǎn)Z?向點(diǎn)￡運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)C在線(xiàn)段E廠(chǎng)上以xcm/s的速度由點(diǎn)￡向點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為Ks).是否存在x,

使得△ABD與，E4C全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

928

【答案】(1)BD=AE,CE=AD；⑵DE=BD+CE；(3)%=L無(wú)=2或，

49

【詳解】(1)解：*.*ZBDA=ZAEC=ABAC,

:.NBAD+NCAE=NBAD+ZABD,

：.NCAE=ZABD,

VZBDA^ZAEC,BA=CA,

：.ABD^CAE(AAS),

：.BD=AE9CE=AD,

故答案為：BD=AE,CE=AD；

(2)DE=BD+CE,

由(1)同理可得二AaD會(huì)4c4EG4AS),

BD=AE,CE=AD,

：.DE=BD-hCE；

(3)存在，當(dāng)_時(shí)，

AD=CE=2cm,BD=AE=7cm,

t=1j此時(shí)x=2；

當(dāng)時(shí)，

AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,

.AD9-928

..t==—,X=7T—=—,

2449

綜上」=1,x=2或，專(zhuān)，戶(hù)空?

26.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“4字”模型或“一線(xiàn)三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題:

證：BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,且=BCLCD且BC=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線(xiàn)

所圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE9連接5C,DE,且BCLAF于點(diǎn)孔DE

與直線(xiàn)AF交于點(diǎn)C.若5C=21,AF=12,則△ADG的面積為.

【答案】［模型呈現(xiàn)］見(jiàn)解析；［模型應(yīng)用］50；［深入探究］63

【詳解】［模型呈現(xiàn)］證明：???NB4D=90。，

：.ZBAC-^-ZDAE=90°,

?.?BC±AC,DE±AC,

：.ZACB=ZDEA=90°f

：.ZBAC+ZABC=90°,

ZABC=ZDAEf

在，,ABC和一ZME中，

/ABC=ZDAE

<ZACB=/DAE,

BA=AD

；.ABC^DAE(AAS)f

：.BC=AE；

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，..AEP組.B4G,.C3G空。CH,

AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

貝?。軸立緯國(guó)點(diǎn)的岡刑——(4+6)x(3+6+4+3)—x3x6—x3x6—x3x4—x3x4=50,

八y頭致國(guó)以刖囹形2、‘、，2222

［深入探究］過(guò)點(diǎn)〃作QP!_AG于P,過(guò)點(diǎn)￡作EQ，AG交AG的延長(zhǎng)線(xiàn)于Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，AFB絲DPA,AFC^EQA,

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,

在△DPG和二EQG中，

ZDPG=ZEQG

<ZDGP=NEGQ,

DP=EQ

.?._DPG且qEQG(AAS),

???PG=GQ,

???BC=2l,

：.AQ+AP=21,

：.AP+AP+PG+PG=21,

???AG="+PG=10.5,

S=gx10.5x12=63,

故答案為：63.

27.(1)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,己知：在11ABe中，

4c=90。，AB=AC,直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)43D工直線(xiàn)1,CEL直線(xiàn)垂足分別為點(diǎn)4￡.求證：DE^BD+CE.

(2)組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2,將(1)中的條件改為：在ABC

中，AB=AC,D,A,￡三點(diǎn)都在直線(xiàn)，上，并且有N3/M=NAEC=NR4C=a,其中a為任意銳角或鈍

角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=9+CE是否成立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3,過(guò)一ABC的邊Z8,

向外作正方形力應(yīng)應(yīng)和正方形〃FG,力〃是回