考點(diǎn)01解方程和不等式（精講）【知識(shí)必備】1.一元二次方程的相關(guān)概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．2.一元二次方程的解法(1)直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.(4)配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，也可以考慮用配方法．3．一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.4.解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對(duì)不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．5.解簡(jiǎn)單的分式不等式(1)對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．(2)對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．6.和型絕對(duì)值不等式的解法；【題型精講】【題型一解一元二次方程】例1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】解：（1），開平方，得，解得；（2），移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，即，開平方，得，解得；（3），，，即；（4），，分解因式，得，∴或，解得．例2解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【跟蹤精練】1.解下列方程(1)(2)(3)；(4)(5)(6)(7)(8)；(9)．(10)(11)(12)【答案】(1)或；(2)或(3)；(4)．(5)；(6)(7)，(8)，；(9)，(10)(11)，(12)，【解析】(1)由可知：∴即或．(2)由可知：從而可得：∴，．(3)，，∴，；(4)，，，，∴，．(5)解得：(6)或解得：．(7)(8)．．．．，；(9)∵，，，∴，∴．即，．(10)，解得：．(11)∴x+2=0或x-4=0∴，(12)∴x-2=0或2x-6=0，．【題型二解一元二次不等式】例3解下列不等式（1）﹣5x2+3x+14≤0；（2）（5﹣2x）（x+3）＞9．【答案】（1）（﹣∞，-75]∪[2，+∞）（2）（﹣2，【解析】（1）令﹣5x2+3x+14＝0，解得x=-75或x＝2所以不等式﹣5x2+3x+14≤0的解集為（﹣∞，-75]∪[2，+（2）由題意，不等式（5﹣2x）（x+3）＞9，可化為2x2+x﹣6＜0，令2x2+x﹣6＝0，解得x=32或x＝﹣2，所以2x2+x﹣6＜0的解集為（﹣2，3即（5﹣2x）（x+3）＞9的解集為（﹣2，32）．例4解下列不等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）或（2）或（3）（4）（5）{或}（6）【解析】（1），則或，解集為或.（2）∵，∴，解得或，故原不等式的解集為或．（3），無(wú)解，故解集為.（4）恒成立，故解集為R.（5）解：由得：，解得：或，所以不等式的解集為：{或}；（6）解：由，得，令，可知，則對(duì)應(yīng)拋物線開口向上，所以的解集為：.【跟蹤精練】1.解下列不等式：（1）2x2﹣5x+3＜0；（2）﹣3x2+x+4≤0．【答案】（1）（1，32）（2）（﹣∞，﹣1]∪[43，【解析】（1）不等式2x2﹣5x+3＜0可化為（x﹣1）（2x﹣3）＜0，解得1＜x＜32，所以不等式的解集為（1，32（2）不等式﹣3x2+x+4≤0可化為3x2﹣x﹣4≥0，即（x+1）（3x﹣4）≥0，解得x≤﹣1或x≥43，所以不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[43，+∞）．2.解下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】根據(jù)一元二次不等式得解法分別解不等式即可得出答案.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以原不等式的解集為；?）因?yàn)?，所以原不等式的解集為；?）原不等式可化為，因?yàn)?，所以方程無(wú)實(shí)根，又因?yàn)榈膱D像開口向上，所以原不等式的解集為；（4）原不等式可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)榉匠痰膬筛謩e為，，而的圖像開口向上，所以原不等式的解集為.3．解下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）或，（2）或，（3）或，（4）【分析】利用一元二次不等式的解法逐個(gè)求解即可【詳解】（1）由，得，解得或，所以不等式的解集為或，（2）由，得，，解得或，所以不等式的解集為或，（3）由，得，解得（舍去）或，得或，所以不等式的解集為或，（4）由，得，則，得或（舍去），所以，所以不等式的解集為【題型三解簡(jiǎn)單分式不等式】例5（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）解下列不等式：（1）x+1x-3≥0（2）5x+1x+1＜3【答案】（1）{x|x≤﹣1或x＞3}（2）{x|﹣1＜x＜1}【解析】（1）x+1x-3≥0可轉(zhuǎn)化為不等式組(x+1)(x-3)≥0解得x≤﹣1或x＞3所以原不等式的解集為{x|x≤﹣1或x＞3}（2）5x+1x+1＜3可改寫為5x+1x+1-3＜0，即2x-2x+1＜0，轉(zhuǎn)化為不等式組（2x﹣2解得﹣1＜x＜1，所以原不等式的解集為{x|﹣1＜x＜1}．例6解下列不等式：(1)；(2)(3).(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)(3).(4)(5)(6)【解析】(1)等價(jià)于，解得，∴原不等式的解集為.(2)由題意，不等式可轉(zhuǎn)化為或，解得或，所以不等式的解集為.(3)化為，即，，且，即(且)原不等式的解集為．(4)由得，即，即，解得，即不等式的解集為；(5)將原不等式轉(zhuǎn)化為同解的整式不等式，即，所以原不等式解集為．(6)移項(xiàng)、通分，得．轉(zhuǎn)化為整式不等式組或．解不等式組，得或．∴不等式的解集為．【跟蹤精練】1.（2021·山東月考）解下列不等式：（1）；（2）.（3）（3）（4）（5）【答案】（1）；（2）.（3）；（4）（5）.【解析】（1）由可得，解原不等式可得.因此，不等式的解集為；（2）由可得，變形得，解原不等式可得或.因此，不等式的解集為.(3)化為，，即，或，原不等式的解集為．(4)由得，即，解得：或，所以不等式的解集是，（5）化為，即，，且，即(且)原不等式的解集為．【題型四解絕對(duì)值不等式】例7（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）或；（3）.【詳解】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義可以將轉(zhuǎn)化為，即；（2）利用絕對(duì)值的幾何意義可以將轉(zhuǎn)化為或，解得或；（3）利用絕對(duì)值的幾何意義