人教B版高二寒假作業(yè)4：概率與統(tǒng)計

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2024?甘肅省酒泉市?期末考試）質(zhì)數(shù)（primeTunnber）又稱素數(shù)，一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身

外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個數(shù)為質(zhì)數(shù).數(shù)學(xué)上把相差為2的兩個素數(shù)叫做“攣生素數(shù)”汝□:3和

5,5和7,…，那么，如果我們在不超過32的自然數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件2="這兩個數(shù)

都是素數(shù)"，事件B="這兩個數(shù)不是攣生素數(shù)”，則P（B|4）=（）

inQ1341

A.3D.昔

11111545

2.（2024?貴州省黔西南布依族苗族自治州?期末考試）已知PQ4）=I為='貝"（ZB）=（）

1311

A-8B§Cl2上

3.（2023?遼寧省沈陽市?月考試卷）已知PQ4）>0,P（B⑷+P（瓦）=1,則事件2與事件B（）

A.互斥B.對立C.獨立D.以上均不正確

4.已知隨機變量X的分布列如下表：

X1234

222

pm

33233

則實數(shù)小的值為（）

2211

A.fBqC.?

5.（2024?河北省?單元測試）已知f為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交

時，f=o；當(dāng)兩條棱平行時，f的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，f=1.則p（f=1）=（）

A.二B.±C.^rD.^；-

11111111

6.（多選）（2024?福建省?月考試卷）某人每次投籃投進的概率為揖他連續(xù)投籃6次，且每次投籃相互間沒有

影響，他投進的次數(shù)f服從參數(shù)為（6,|）的二項分布，記為f?貝ij（）

A.P（f=l）=+B.P（f=2）=為c.P（J=3）=券D.P（f=4）=果

7.（2024?江蘇省鎮(zhèn)江市?月考試卷）對一個物理量做n次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)

果.已知最后結(jié)果的誤差生?N（0,；）,為使誤差人在（-0.5。5）內(nèi)的概率不小于0.683,至少要測量次

.（附：若X?N（〃,02）,貝！JP（〃一）VX<4+（7）=0.683）

8.已知隨機變量f的分布列如下表所示，若E（f）=$則％+y=,D（8）=.

-1012

11

PX

36y

9.(2024?河北省唐山市?月考試卷)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素對本校學(xué)生

體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進行調(diào)查，得到下表:

性別

體育鍛煉合計

男生女生

喜歡280P280+p

不喜歡q120120+q

合計280+q120+p400+p+q

在本次調(diào)查中，男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的,，女生喜歡體育鍛煉的人數(shù)占女生人數(shù)的卷.

(1)求p,q的值；

(2)依據(jù)a=0.001的獨立性檢驗，能否認為學(xué)生的性別與喜歡體育鍛煉有關(guān)?

2

附?產(chǎn)=----n(ad-bc)--------n^a+b+c+d

叩,%(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'a十"c十a(chǎn)

a0.050.0250.0100.001

Xa3.8415.0246.63510.828

10.(2024?四川省成都市?期中考試)3月14日。perM/公司宣布正式發(fā)布為ChatGPT提供支持的更強大的下一

代人工智能技術(shù)GPT-4,科技產(chǎn)業(yè)的發(fā)展迎來新的格局，數(shù)據(jù)顯示，它在各種專業(yè)和學(xué)術(shù)基準(zhǔn)上與人類

水平相當(dāng)，優(yōu)秀到令人難以置信，雖然給各行業(yè)帶來了不同程度的挑戰(zhàn)，但是也孕育了新的發(fā)展機遇.下

表是某教育公司從2019年至2023年人工智能上的投入情況，其中無表示年份代碼（2019年用1表示，2020

年用2表示，以此類推），y表示投入資金（單位：百萬元）.

X12345

y3781012

（1）已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（若|r|>0.75,則線性相關(guān)程

度很高）（運算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（2）求y關(guān)于工的線性回歸方程夕=bx+a,并預(yù)測該公司2024年的投入資金.

參考公式與數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù)「=、之18-KQ「歷,7460、21.45.

工之回一丫合隔。「歹）2

回歸方程9=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計分別為:

U——7a=y-bx.

Eki（x「x）2

【拓展提升】

11.（2024?云南省?模擬題）某品牌手機商城統(tǒng)計了開業(yè)以來前5個月的手機銷量情況如下表所示:

時間X12345

銷售量y（千只）0.50.71.01.21.6

若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=0.27%+a,則下列說法不正確的是

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)

B.線性回歸方程y=0.27x+a中a=0.21

C.x=5時，殘差為0.06

D.可以預(yù)測x=6時，該商場手機銷量約為1.81（千只）

12.（多選）（2024?山東省?單元測試）已知§為隨機變量，則下列說法正確的是（）

B.D(f)=0(1-0

C.D&2)=D[(1—f)2]D.[￡(f)]2<F(f2)

13.(2024?遼寧省大連市?月考試卷)在研究兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一

條指數(shù)曲線y=e"+a的周圍，令z=lny,求得回歸直線方程2=0.25x-2.58,則該模型的回歸方程

為_____

14.(2024?江蘇省連云港市?月考試卷)為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷售新能源汽車，某4s店對近期購

車的男性與女性各100位進行問卷調(diào)查，并作為樣本進行統(tǒng)計分析，得到如下列聯(lián)表⑺<40,m￡N)：

購買新能源汽車(人數(shù))購買傳統(tǒng)燃油車(人數(shù))

男性80—m20+m

女性60+m40—m

(1)當(dāng)加=0時，將樣本中購買傳統(tǒng)燃油車的購車者按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨

機抽取3人調(diào)查購買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

2

(2)定義/=(2<i<3,2<;<3,i,j￡N),其中4.為列聯(lián)表中第i行第j列的實際數(shù)據(jù)，Bq為

列聯(lián)表中第i行與第j列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總頻數(shù)得到的理論頻數(shù).基于小概率值a的檢驗規(guī)則：

首先提出零假設(shè)仇(變量X,丫相互獨立)，然后計算f的值，當(dāng)/？力時，我們推斷為不成立，即認為X

和y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過a；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷H。不成立，可以認為x和y獨立,

根據(jù)f的計算公式，求解下面問題：

①當(dāng)爪=0時，依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，請分析性別與是否喜愛購買新能源汽車有關(guān)；

(ii)當(dāng)m<10時，依據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，若認為性別與是否喜愛購買新能源汽車有關(guān)，則

至少有多少名男性喜愛購買新能源汽車？

附:

a0.10.0250.005

2.7065.0247.879

15.（2024?遼寧省?月考試卷）某校20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績%（i=1,2,…,20）和知識競賽成績%（i=1,2,…,20）如

下表：

學(xué)生編號i12345678910

數(shù)學(xué)成績%100999693908885838077

知識競賽成績?yōu)?9016022020065709010060270

學(xué)生編號i11121314151617181920

數(shù)學(xué)成績%75747270686660503935

知識競賽成績?yōu)?535405025302015105

計算可得數(shù)學(xué)成績的平均值是元=75,知識競賽成績的平均值是歹=90,并且￡陽（%-君2=6464,

￡陷血—歹）2=149450,濯I?—君（％—歹）=21650.

（1）求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）.

（2）設(shè)N€N*,變量x和變量y的一組樣本數(shù)據(jù)為｛（%,%）|i=1,2,…,N｝,其中陽（i=1,2,…,N）兩兩不相

同，=1,2,…,N）兩兩不相同.記/在品忸=12…,N｝中的排名是第6位，％在｛%吊=12…,N｝中

的排名是第S/立，i=1,2,…,N.定義變量％和變量y的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（記為p）為變量》的排名和變量

y的排名的樣本相關(guān)系數(shù).

①記山=此一&，i=1,2,…,M證明：p=1-*.

3）用①的公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”（精確到0.01）.

（3）比較（1）和（2）陋）的計算結(jié)果，簡述“斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)”在分析線性相關(guān)性時的優(yōu)勢.

2?1（W+iW+1）

注：參考公式與參考數(shù)據(jù).r=?4（折辿「二；Efc-ife=y；V6464x149450?

心陶（須-鑄￡匕（無句2'

31000.

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了條件概率的概念與計算，屬于基礎(chǔ)題.

運用條件概率公式，結(jié)合列舉法求解即可.

【解答】

解:不超過32的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31共11個,

攣生素數(shù)有3和5,5和7,11和13,17和29,29和31,共5種情況,

所以71(4)=C/i=55,n(AB)=-5=50,

所以P(BM)=需=需=當(dāng)

故選：A.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查條件概率的乘法公式，對立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)條件概率公式式計算.

【解答】

111

X-

解：由PQ4)=J得PQ4)=pP(AB)=P(BM)P(4)2-4-8-

故選：A.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查事件的獨立性，屬于基礎(chǔ)題.

利用對立事件概率計算及條件概率公式推導(dǎo)出P(4B)=PQl)P(B)即可得解.

【解答】

解：依題意，P(5|4)+P(S)=P(5|4)+1-P(S)=1,

則P(B|4)=P(B),即鬻=P⑻,

于是得P(4B)=P(4)P(B),所以事件4與事件B獨立.

故選：C

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查離散型隨機變量分布列的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)每個隨機變量取值的概率之和為1即可得到答案.

【解答】

解:由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知：山+|+芻+馬=1,

333

解得m=人=當(dāng)

273

故選C.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查幾次獨立重復(fù)試驗概率的計算，屬于中檔題.

【解答】

解：若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱,

所以共有瑪釐對相交棱，因此P(f=0)=歲=啰=!；

C]2。。

若兩條棱平行，則它們之間的距離為1或其中距離為，1的共有6對，故p(f=YZ=6_1

品=五'

于是P（f=1）=1_P（f=0）—P（f=VI）=1—白一白=白.

6.【答案】ABCD

【解析】【分析】

本題主要考查n次獨立重復(fù)試驗與二項分布，屬于基礎(chǔ)題.

利用二項分布概率公式計算即可求解.

【解答】

解：由題意，得P(f=k)=C^pfc(l-p)n-k,

所以P(§=D=C1|)G)5=2，

同理P管=2)=言，P(§=3)=粽，P(f=4)=果.

故選ABCD.

7.【答案】16

【解析】【分析】

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

依題意根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)(4-U(-0.5,0.5),即可得到不等式，解得即可.

【解答】

解：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性知：要使誤差￡?在(-0.5,0.5)內(nèi)的概率不小于0.683,

貝|](〃一<7,〃+(7)=(-0.5,0,5)且4=0,a=所以0.52J；,可得幾216.

故答案為：16.

8.【答案】

【解析】【分析】

本題考查離散型隨機變量及其分布列、期望和方差，考查推理能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.由分布列的

性質(zhì)得x+H+y=l，得x+y=)利用期望公式聯(lián)立得光=2/=需由方差公式即可求出0(。

oozioy

【解答】

11,1

解：由％+$+2+、=1得，%+y=-,

3。Z

111

又因為E(f)=-lxx+0x-+lx-+2xy=-,

1(X+y=5r2

所以2y—x='，聯(lián)立構(gòu)建方程組42解得x=^]

1

□I(o2y-x=6ioy

故"f)=(_i_》2x得+(0一界>3+(1_護*3+(2_9，|=*

故答案為3

280+q_4

4°p+p+%7,解得p=180,q=120.

{p+120—5

(2)零假設(shè)為為:學(xué)生的性別與喜歡體育鍛煉之間無關(guān)聯(lián)，

根據(jù)列聯(lián)表及(1)中數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到

2

2_700X(280X120-180x120)

7=460x240x400x300

x7.609<10.828=x0001,

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，我們推斷/成立，即學(xué)生的性別與喜歡體育鍛煉之間無關(guān)聯(lián).

【解析】本題主要考查獨立性檢驗，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)題設(shè)條件，建立p,q的方程組即可求出結(jié)果；

(2)通過計算出f=7.609<10.828即可判斷出結(jié)果.

f

1八..決■zj7YATJ，八111日百-rA*n—1+2+3+4+5c―3+7+8+10+12

10.【答案】解：(1)由題意可知久=---------=3,y=------------=8o,

又???￡乙(々-嗎(％-y)=21,第=式/一％)2=io,/=式％-y)2=46,

又r>0,75,

???線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系;

(2)由(1)知方=1(%-x)(%-y)=21,￡之式々一乂)2=10,

,21?,

???=五=2.1,

a=y—bx=8—2.1X3=1.7,

回歸方程為y=2,lx+1.7,

令x=6,得到了=14.3,

故預(yù)測該公司2024年的投入資金為14.3百萬元.

【解析】本題主要考查了相關(guān)系數(shù)的計算和性質(zhì)，考查了線性回歸方程的求解，屬于中檔題.

（1）利用相關(guān)系數(shù)r公式求出r的值，再根據(jù)若網(wǎng)＞0.75,則線性相關(guān)程度很高判斷即可；

（2）由題意求出￡二（%一萬）（%-y）=21,々一x）2=10,代入公式求值，從而得到回歸直線方

程，代入久=6計算即可.

11.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查線性回歸方程，考查殘差的計算，屬于中檔題.

對于4利用表中的數(shù)據(jù)分析即可求解；對于B,利用平均數(shù)及樣本中心的定義，結(jié)合樣本中心在回歸直

線上即可求解；對于C,利用預(yù)測值和殘差的定義即可求解；對于D,利用回歸方程即可求出預(yù)測值.

【解答】

解：對于4,從數(shù)據(jù)看y隨x的增加而增加，所以變量y與x正相關(guān)，故4正確;

—1+2+3+4+5—0.5+0.7+1+1.2+1.6

對于B,由表中數(shù)據(jù)知,X=-------=------=3,y=------------=----------=14,

所以樣本中心點為（3,1）,將樣本中心點（3,1）代入y=0.27%+@中得@=l-3x0.27=0.19,

故B錯誤；

對于C,線性回歸方程為y=0.27久+0.19,所以當(dāng)c=5時,口=0.27x5+0.19=1.54,e=1.6-

1.54=0.06,故C正確.

對于D,當(dāng)尤=6時該商場手機銷量約為9=0.27x6+0.19=1.81（千只），故。正確.

故選B.

12.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查了離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量的期望與方差.

利用離散型隨機變量的概率對a進行判斷，再利用離散型隨機變量的方差對B與c進行判斷，再利用離散

型隨機變量方差與期望的關(guān)系對D進行判斷，從而得結(jié)論.

【解答】

解:對于4P(|f|<1)=P(-1<f<|)<P?2<1)=因此A正確；

對于B,D(l—f)=(—1)20(。=0(f),因此B正確；

對于C,D[(—。(產(chǎn)—2§+1)=。(產(chǎn))+4。(”。(產(chǎn)),因此C不正確；

對于。，因為。管)=石(產(chǎn))—山(9]220,所以[E(f)]2《石(產(chǎn))，因此。正確.

故選ABD.

13.【答案】y=e°25>2,58

【解析】【分析】

本題考查了非線性回歸分析，線性回歸方程的應(yīng)用問題，熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合題意，求出院a的值即可.

【解答】

解：???y=e/cv+。，

兩邊取對數(shù)，可得必y=ln(ekx+a)=(fcx+a)Ine=kx+a,

令z=Iny,可得z=kx+a,

z—0.25%—2.58,

k=0.25,a=-2.58,

,.?y_-cQ0.25%—2.58.

故答案為y=e°-25x-2-58.

14.【答案】解：(1)當(dāng)m=0時，用分層抽樣的方法抽取購買傳統(tǒng)燃油車的6人中，男性有2人，女性有4

人，由題意可知，X的可能取值為1,2,3,

P(X=1)=罟=/p(x=2)=胃=|,p(x=3)嗎/

X的分布列如下表：

X123

131

p

555

131

E(X)=lx1+2x|+3x|=2.

(2)(i)零假設(shè)為“0日生別與是否購買新能源汽車獨立，即性別與是否購買新能源汽車無關(guān)聯(lián),

當(dāng)m=0時，A22=80,B22=70,A2^=20,B2s=0?5x0,3x200=30,

A32=60,B32=0.5x0.7x200=70,A33=40,B33=0.5x0.3x200=30,

2—(”22-822)2.(，23-%3)2,(，32-%)、,(，33-%3)2_(8。-70)2(20-30)、(60-7。).(40-30)、

4一^22十礫h豆h屈——70h-30h-70h-30―

?9.524>7.879=%0005,

所以根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷％不成立，即認為性別與是否購買新能源汽

車有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.005.

(、2_(80-6-70)2(20+771-30)2(60+m-70)2(40-m-30)2_2x(10-m)2

⑺1-75H30H70H30—21，

由題意可知不嗤黨>2,706,

整理得(10-爪)2>28.413,

又meN,m<10,m<4,

所以小的最大值為4,

又80-4=76,

至少有76名男性購買新能源汽車.

【解析】本題考查離散型隨機變量的期望，考查獨立性檢驗，是較難題.

(1)用分層抽樣的方法抽取的購買傳統(tǒng)燃油車的6人中，男生有2人，女生有4人，由題意可知X的可能取值

為1,2,3,求出對應(yīng)的概率，得到X的分布列，進而求出E(X)；

(2)(。根據(jù)題中數(shù)據(jù)及所給公式計算公，與參考數(shù)據(jù)比較即可得出結(jié)論；

(ii)根據(jù)基于小概率值a的檢驗規(guī)則及f的計算公式得到關(guān)于小的不等式，再根據(jù)機的取值范圍以及實際

意義即可得解.

15.【答案】解：(1)由題意，這組學(xué)生數(shù)學(xué)成績和知識競賽成績的樣本相關(guān)系數(shù)為

X售(石一初%一日=2165021650

r=濯伸-兩濯心-才一,6464X1495。?詢?'

(2)①證明:因為｛4｝和｛SJ都是1,2,…，N的一個排列，所以

港1&=￡/￡=也沖

從而｛&｝和｛1｝的平均數(shù)都是R=片=等

_2__7_2N(N+1)(2N