專題30三角形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）

選擇題

1.如圖，在△ABC中，AO_L2C于點(diǎn)。，BF平分/ABC交AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)孔AC=13,A￡>=12,

BC=14,則AE的長(zhǎng)等于（）

15

A.5B.6C.7D.—

2

【分析】利用勾股定理可得。C和AB的長(zhǎng)，由角平分線定理可得EG=ED證明RtZXBDE絲Rt/XBGE

（HL）,可得BG=BO=9,設(shè)AE=無，則ED=12-x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解答】W：VAD±BC,

VAD=12,AC=13,

：.DC=^AC2-AD2=V132-122=5,

VBC=14,

.*.80=14-5=9,

由勾股定理得：AB=V92+122=15,

過點(diǎn)E作EG±AB于G,

:加'平分NABC,AD±BC,

：.EG=ED,

在RtABDE和RtABGE中，

EG=ED

BE=BE

.?.RtAB￡>E^RtABG￡(HL),

：.BG=BD=9,

：.AG=15-9=6,

設(shè)AE=尤，貝!|ED=12-尤，

：.EG=n-x,

RtZXAGE中，x1=6r+(12-x)2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC=1,E、尸為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且/ECP=45°,過點(diǎn)

E、產(chǎn)分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M,垂足分別為H、G.現(xiàn)有以下結(jié)論：①A8=V2；②當(dāng)點(diǎn)E

與點(diǎn)8重合時(shí)，MH=今?AF+BE=EF-,@MG-MH=其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】①由題意知，AABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；

②如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)2重合時(shí)，點(diǎn)X與點(diǎn)2重合，可得MG〃BC,四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得

到PG是△ACB的中位線，從而作出判斷；

③如圖2所示，S4S可證絲△自?,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；

④根據(jù)A4可證△ACEs/XMC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AF-BF=AC>BC=1,由題意知四邊形

CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG'MH=專AEx號(hào)BF=^AE-BF=^AC-BC=

依此即可作出判斷.

【解答】解：①由題意知，AABC是等腰直角三角形，

'.AB=yjAC2+BC2=V2,故①正確;

②如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)5重合時(shí)，點(diǎn)”與點(diǎn)5重合,

C.MBLBC,NMBC=9U°,

VMGXAC,

ZMGC=90°=ZC=ZMBC,

J.MG//BC,四邊形MGC3是矩形，

:?MH=MB=CG,

9：ZFCE=45°=AABC,ZA=ZACF=45°,

CF=AF=BF,

???bG是AACB的中位線，

GC=^AC=MH,故②正確；

圖2

VAC=BC,ZACB=90°,

???NA=N5=45°.

將△AC尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至XBCD,

貝!JCF=CO,Z1=Z4,ZA=Z6=45°；BD=AF；

VZ2=45°,

???N1+N3=N3+N4=45°,

：.ZDCE=Z2.

在尸和△EC。中，

CF=CD

Z.2=乙DCE,

CE=CE

:.△ECFQAECD(SAS),

：.EF=DE.

VZ5=45°,

AZDBE=90°,

121221

：.DE=BD+BE,BPEF=AF+BE9故③錯(cuò)誤；

④?.?N7=Nl+NA=Nl+45°=N1+N2=NACE,

VZA=Z5=45°,

AACEs△BFC,

.AEAC

??—,

BCBF

：.AE*BF=AC9BC=1,

由題意知四邊形CHMG是矩形，

：.MG//BC,MH=CG,

MG=CH,MH//AC,

.CHAECGBF

,?BC~AB；AC-AB"

MGAEMHBF

即丁=豆丁=/'

：.MG=^AE；MH=^BF,

MG?MH=芋AEx與BF=^AE'BF=^AC'BC=1,故④正確；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和

性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的

判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

3.如圖，△ABC和△4￡)￡都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,連接CE交于點(diǎn)R連接

BD交CE于點(diǎn)、G,連接BE.下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有()

①CE=BD；

②△ADC是等腰直角三角形;

@ZADB^ZAEB；

1

④S四邊形BCDE=^BD'CE;

（5）BC2+DE2=B￡2+C￡）2.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC,AD=AE,然后求出/54D=NC4E,再利用“邊

角邊”證明和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=2。，判斷①正確；根據(jù)全等

三角形對(duì)應(yīng)角相等可得NAB￡>=NACE,從而求出N8CG+NC3G=NAC8+/ABC=90°,再求出/

BGC=9Q°,從而得到BD±CE,根據(jù)四邊形的面積判斷出④正確；根據(jù)勾股定理表示出B^+DE1,

BE^+CD1,得到⑤正確；再求出人"〃。/)時(shí)，ZADC=90°,判斷出②錯(cuò)誤；NAEC與/BAE不一定

相等判斷出③錯(cuò)誤.

【解答】解：?；，△4BC和△AOE都是等腰直角三角形，

：.AB=AC,AD=AE,

VZBAD=ZBAC+ZCAD=90°+ZCAD,

ZCAE=ZDAE+ZCAD=90°+ZCAD,

:.NBAD=NCAE,

AB=AC

在AABD和△ACE中，\^.BAD=/.CAE,

AD=AE

：./\ABD^/\ACE(SAS),

：.CE=BD,故①正確；

ZABD=ZACE,

ZBCG+ZCBG=ZACB+ZABC=90°,

在ABCG中，ZBGC=180°-(NBCG+NCBG)=180°-90°=90°,

J.BDLCE,

S四邊形BCDE=]BD,CE,故④正確；

由勾股定理，在Rt2\BCG中，BC2=BG2+CG2,

在RtZXDEG中，OE2=OG2+EG2,

Bd+DE1=BG2+CG2+DG2+EG2,

在Rt/XBGE中，BE1=BG2+EG1,

在RtZ\C￡）G中，CD1=CG1+DG1,

：.BEr+CD1=BG2+CG1+DG1+EG1,

：.BC^+DE2=BE^+CD2,故⑤正確；

只有AE〃C。時(shí)，ZAEC=ZDCE,

ZADC=ZADB+ZBDC=9Q°,

無法說明AE〃CD,故②錯(cuò)誤；

^ABD^^ACE,

：./ADB=NAEC,

ZAEC與NAEB相等無法證明，

ZADB=ZAEB不一定成立，故③錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論有①④⑤共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理的應(yīng)用，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，ZkABC中，ZABC=45°,CO_LA8于。，BE平分/ABC,且BEJ_AC于E,與CD相交于點(diǎn)孔

X是8C邊的中點(diǎn)，連接。反與BE相交于點(diǎn)G,下列結(jié)論正確的有（）個(gè).

①5尸=4。②AE=渺；（3）ZA=67.5°；④△OGF是等腰三角形；⑤S四邊形ADGE=S四邊形GHCE.

A.5個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

【分析】只要證明ABZ加冬△CZM,ABAC是等腰三角形，ZDGF=ZDFG=61.5°,即可判斷

①②③④正確，作于M,只要證明G”<OG即可判斷⑤錯(cuò)誤.

【解答】解：VCDLAB,BE±AC,

???ZBDC=ZADC=NAEB=90°,

ZA+ZABE=90°,ZABE+ZDFB=90°,

???/A=/DFB,

VZABC=45°,/BDC=90°,

：.ZDCB=90°-45°=45°=/DBC,

：.BD=DC,

在△5。/和△CD4中

'/BDF=ZCDA

'5=乙DFB，

、BD=CD

：.ABDF^ACDA(A4S),

：.BF=AC,故①正確.

VZABE=ZEBC=22.5°,阻LAC,

AZA=ZBCA=67.5°,故③正確，

：.BA=BC,

'CBELAC,

：.AE=EC=1AC=^BF,故②正確，

??,5E平分NA3C,ZABC=45°,

AZABE=ZCBE=22.5°,

VZBZ)C=90°,BH=HC,

：.ZBHG=90°,

；?NBDF=/BHG=9U°,

AZBGH=ZBFD=67.5°,

:?4DGF=/DFG=675°,

:?DG=DF,故④正確.

作GMLAB于M.

?：/GBM=/GBH,GHLBC,

：.GH=GM<DG,

:?SADGB>SAGHB,

,:SAABE=SABCE，

??S四邊形ADGEVS四邊形G”CE.故⑤錯(cuò)誤，

.,.①②③④正確，

故選：c.

A

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判

定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第五個(gè)問題難度比較大，添加輔助線是解題關(guān)鍵，屬于中考選

擇題中的壓軸題.

5.如圖，射線〃射線CD/CAB與/AC。的平分線交于點(diǎn)E,AC=4,點(diǎn)尸是射線上的一動(dòng)點(diǎn)，

連接尸￡并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)。.給出下列結(jié)論：①△ACE是直角三角形；②S四邊形APQC=2SAACE；

③設(shè)AP=無，CQ=y,則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+4(0WxW4),其中正確的是()

A.①②③B.①②C.①③D.②③

11

【分析】①正確.由AB〃C。，推出N8AC+/DC4=180°,由/ACE—NDCA,ZCAE-^ZBAC,

即可推出NACE+/CAE=*(NDC4+NBAC)=90°,延長(zhǎng)即可解決問題.

②正確.首先證明AC=AK,再證明絲ZYPKE,即可解決問題.

③正確.只要證明AP+CQ=AC即可解決問題.

【解答】解：如圖延長(zhǎng)CE交48于K.

'：AB//CD,

：.ZBAC+ZDCA=ISO0,

11

VZACE=^ZDCA,ZCAE=^ZBAC,

ZACE+ZCAE=(ZPCA+ZBAC)=90°,

ZAEC=90°,

：.AELCK,/XAEC是直角三角形，故①正確，

???ZQCK=ZAKC=NACK,

：.AC=AKf

\9AE±CK,

：.CE=EK,

在△℃￡和△PKE中，

QCE=NPKE

EC=EK，

/CEQ=乙PEK

:.AQCEqAPKE,

'.CQ=PK,SAQCE=SAPEK,

?'?S四邊形APQC=SAACK=2SAACE，故②正確，

'：AP=x,CQ=y,AC=4,

：.AP+CQ=AP+PK=AK^AC,

；.x+y=4,

，y=-x+4(0WJCW4),故③正確，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

6.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE,

AD與BE交于點(diǎn)。，A。與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接尸。，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；

?PQ//AE-,@AP=BQ；@DE=DP；（5）ZDOE=60°,其中正確的結(jié)論數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】首先證明可得AD=BE；證明△COP名△CEQ可得CP=C。，然后可得NQPC

=/BCA,進(jìn)而可證明尸。〃AE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得。尸=QE,AD=BE,進(jìn)而可得AP=2。；

根據(jù)三角形大角對(duì)大邊可得。E>QE,進(jìn)而可得。E>OP；根據(jù)角之間的關(guān)系可得/4OB=/OCE=60°,

再由對(duì)頂角相等可得NDOE=60°.

【解答】解：①:△ABC和△CDE是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

ZACD=ZACB+ZBCD,ZBCE=NDCE+/BCD,

：.ZACD=/BCE,

BC=AC

在△ADC和△BEC中［NACD=乙BCE,

DC=CE

：.AADC^ABEC（SAS）,

：.AD=BE（故①正確）；

@VZBCA=ZZDCE=60°,

：.ZBCD=60°,

AADC^ABEC,

???ZADC=/BEC,

'NDCE=/DCP

在△CD尸和△CE。中，CD=CE，

"EQ=Z.CDP

:.XCDP經(jīng)XCEQ（ASA）.

:?CP=CQ,

：.ZCPQ=ZCQP=60°,

：.ZQPC=ZBCA,

：.PQ//AE,（故②正確）；

③?「△CQ尸也△CE。，

：.DP=QE,

'：AADC^ABEC

：.AD=BE,

：.AD-DP=BE-QE,

???AP=5Q,（故③正確）；

@\9DE>QE,^DP=QE,

：.DE>DP,（故④錯(cuò)誤）；

⑤ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=6Q°,

：.ZDOE=60°,（故⑤正確）.

正確的有：①②③⑤.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合，同學(xué)們要熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)；得到

三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角NEPF的頂點(diǎn)P是2C的中點(diǎn)，兩邊PE,尸尸分別

交AB,AC于點(diǎn)E,F,連接EF交AP于點(diǎn)G,給出以下五個(gè)結(jié)論：

?ZB=ZC=45°；

@AE=CF,

@AP^EF,

④是等腰直角三角形，

⑤四邊形AEPB的面積是△ABC面積的一半.

其中正確的結(jié)論是()

A.只有①B.①②④C.①②③④D.①②④⑤

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：ZB=ZC=45°,AP±BC,AP-AP平分N8AC.所

以可證/C=NEAP；ZFPC=ZEPA；AP=PC.即證得AAPE與△CPF全等.根據(jù)全等三角形性質(zhì)判

斷結(jié)論是否正確，根據(jù)全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于尸的面積相等，然后求出四

邊形AEPF的面積等于AABC的面積的一半.

【解答】解：??,AB=AC,NBAC=90°,直角/EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，

11

/.?ZB=ZC=^X(180°-90°)=45°,AP±BC,AP=^BC=PC,ZBAP=ZCAP=45Q=ZC,

VZAPF+ZFPC=90°,ZAPF+ZAPE=90°,

：.ZFPC=ZEFA.

:.AAPE烏LCPF(ASA),

：.@AE=CF；@EP=PF,即△EPF是等腰直角三角形；同理可證得△APFg/XBPE,

二⑤四邊形AEPF的面積是AABC面積的一半，

：△ABC是等腰直角三角形，尸是BC的中點(diǎn)，

1

：.AP=扣C,

不是△ABC的中位線，

：.EF^AP,故③錯(cuò)誤；

?VZAGF=ZEGP=180°-AAPE-ZPEF=180°-NAPE-45。,

ZAEP=180°-ZAPE-Z￡AP=180°-NAPE-45°,

/./AEP=ZAGF.

故正確的有①、②、④、⑤，共四個(gè).

因此選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的

運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的

性質(zhì)求解是關(guān)鍵.

8.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=4,。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)

E不與點(diǎn)A、C重合)，且保持AE=CR連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：

①4DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置

的改變而發(fā)生變化；④點(diǎn)C、E、D、下四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且該圓的面積最小為4m其中錯(cuò)誤結(jié)論的

個(gè)數(shù)是()個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【分析】①正確.連接CD只要證明△4DE也△COF(SAS),即可解決問題.

②錯(cuò)誤.當(dāng)E、尸分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEL不為正方形.

③錯(cuò)誤.四邊形CEQF的面積=聶小=品品4乂4=4,為定值.

1

④錯(cuò)誤.以E尸為直徑的圓的面積的最小值=n?（--2V2）2=2m

【解答】解：連接CD,如圖1,

VZC=90°,AC=BC=4,

???AABC是等腰直角三角形，

???NA=N3=45°,

為A3的中點(diǎn)，

CDLAB,CD=AD=BD,

：.ZDCB=ZB=45°,

???ZA=ZDCF,

在△AOE和△口?尸中

AE=CF

=乙DCF,

AD=CD

：.△CDF(SAS),

：?ED=DF,NCDF=NADE,

VZADE+ZEDC=90°,

：.ZEDC+ZCDF=90°,即NEDb=90°,

莊是等腰直角三角形，所以①正確；

當(dāng)E、產(chǎn)分別為AC、3c中點(diǎn)時(shí)，如圖2,貝！JAE=CE="=5RDEAE=CE,

圖2

:.CE=CF=DE=DF,

而NECF=90°,

???四邊形COFE是正方形，所以②錯(cuò)誤;

AADE^ACDF,

S叢ADE=SACDF,

111

.'.S㈣邊形CEDF=S&CDE+SACDF=SACDE+S^ADE=S^ADC=2sAABC=2x2x4X4=4,所以③錯(cuò)誤；

?；△CEF和ADEF都為直角三角形，

...點(diǎn)C、。在以所為直徑的圓上，即點(diǎn)C、E、D、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

VADEF是等腰直角三角形，

；.EF=V2DE,

當(dāng)DE_LAC時(shí)，DE最短，此時(shí)￡>E=yC=2,

二跖的最小值為2V2,

...以EF為直徑的圓的面積的最小值=n?-?2V2）2=2n,所以④錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的綜合題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、全

等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中

考?jí)狠S題.

9.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊AD與

8E交于點(diǎn)。，與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接尸。，以下五個(gè)結(jié)論：?AD=BE；@PQ

//AE-,③CP=CQ；④BO=OE；⑤NAOB=60°,恒成立的結(jié)論有（）

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△ACD絲△BCE,即可得出AD=BE.

③先證明△ACP也△BC。，即可判斷出CP=CQ,③正確；

②根據(jù)NPCQ=60°,可得△PC。為等邊三角形，證出/PQC=N￡）C￡=60°,得出尸Q〃AE,②正

確.

④沒有條件證出20=0E，得出④錯(cuò)誤；

@ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=6Q°,⑤正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：:△ABC和△CDE都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

，ZACD=ZBCE,

AC=BC

在△AC。和△BCE中，NACD=乙BCE，

.CD=CE

:.AACD沿ABCE（SAS）,

：.AD=BE,結(jié)論①正確.

AACD4ABCE,

：.ZCAD=ZCBE,

又；NACB=NDCE=60°,

：.ZBCD=180°-60°-60°=60°,

：.ZACP=ZBCQ=60°,

（ZACP=/BCQ

在△ACP和△BC0中，J^CAP=Z.CBQ，

UC=BC

：.AACP^ABCgCAAS）,

：.AP=BQ,CP=CQ,結(jié)論③正確；

又：/PCQ=60°,

...△PC。為等邊三角形，

：.ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ//AE,結(jié)論②正確.

4ACD冬ABCE,

：.ZADC=ZAEO,

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=NDCE=6Q°,

結(jié)論⑤正確.

沒有條件證出BO=OE,④錯(cuò)誤；

綜上，可得正確的結(jié)論有4個(gè)：①②③⑤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用、

平行線的判定；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

10.如圖所示，在RtaABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,A2上有一動(dòng)點(diǎn)。以每秒4個(gè)單位的速度從

點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)。作。E_LA8,垂足為點(diǎn)。，過點(diǎn)E作EF〃

AB交BC于點(diǎn)F,連接BE交DF于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,當(dāng)SMDG=42EFG時(shí),f的值為（）

c

ECEF

【分析】首先求出AB,由求出4石=5/,。￡1=3/,￡。=4-53再根據(jù)￡7"43,得一=—，

ACAB

S人z7rc*EF[

求出ER由EF〃O8,推出△石G尸6△3GO,得=(—)2=4，推出。3=2EF,列出方程即可

S^BDGDB

解決問題.

【解答】解：在RtZXABC中，VZC=90°,AC=4,BC=3,

：.AB='AC?+BC2=V42+32=5,

VZA=ZA,ZEDA=ZC=90°,

AADEs叢ACB,

ADDEAE

AC~CB~BC

A￡>=4/,

AE=5t,DE=3t,

EC=4-5b

EF//AB,

ECEF

AC~AB"

4-5tEF

45

EF=7(4-5力,

EF//DB.

△EGFs^BGD,

S〉EGF/EJ2

----------=(------)=

S&BDGDB

BD=2EF,

5-4t=1(4-5，),

故選：C.

C

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題-動(dòng)點(diǎn)問題、相似三角形的判定和性質(zhì).平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)，解決問題，學(xué)會(huì)利用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型.

11.如圖，O為等腰RtZkABC的斜邊AC的中點(diǎn)，E為8C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接瓦＞并延長(zhǎng)交54的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)R過。作DHLEF交AB于G,交CB的延長(zhǎng)線于H,則以下結(jié)論：①DE=DG；@BE=DG；③

=DH；@BG=CE.其中正確的是()

C.①③④D.①③

【分析】欲證線段相等，就證它們所在的三角形全等.證明△QCEgZXOBG,ADBHqADAF.

【解答】解：；AABC是等腰直角三角形，且。點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn),

:.CD=AD=DB,BDLAC,

：.ZCDE=ZBDG,NDCE=NDBG=45°,

NCDE=NBDG

.?.在△QCE與△DBG中，＜CD^BD

(NDCE=乙DBG=45°

:ADCE沿LDBG(ASA),

：.DE=DG,CE=BG.

故①④正確；

當(dāng)DEWBE時(shí)，2E=r)G不成立，故②錯(cuò)誤;

同理可證△OBHgZXDAF,：.DF=DH.

故③正確；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形綜合題，重點(diǎn)對(duì)三角形全等的判定定理和等腰直角三角形的理解和掌握，普

通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即A4S、ASA,SAS.SSS.

1

12.在等腰RtA42C中，ZA=90°,AC=AB=2,。是8C邊上的點(diǎn)且式。，連接ADAD±AE,

AE=AD,連接BE.下列結(jié)論：

@BE±CB；

③點(diǎn)B到直線AD的距離為當(dāng)；

④四邊形AEBC的周長(zhǎng)是7迎:同+2；

⑤S四邊形AOBE=2-

其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】用同角的余角相等即可得出NA4E=/C4。，進(jìn)而判斷出得出①正確；用全

等三角形的性質(zhì)得出ZACD,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出ZABC=ZACB=45°

即可得出②正確；先求出B。，AD,再用等面積法求出8M即可得出③正確；用四邊形的周長(zhǎng)的計(jì)算

方法即可得出④正確；用全等三角形的面積相等轉(zhuǎn)化即可得出⑤正確.

【解答】解：

：.ZDAE=ZBAC=90°,

：.ZBAE=ZCAD,

AD=AE

在和△AEB中，hCAD=/.BAE,

AC=AB

：.△ADC之AAEB故①正確；

△ADC/AEB,

ZABE=ZACD,

;在等腰RtZXABC中，ZBAC=90°,AC=AB=2,

AZACS=ZABC=45°,

NCBE=ZABC+ZABE=90°,

：.BE±BC,故②正確；

如圖，作AALLBC于N,2M_LA￡)于M.

：A2=AC=2,ZBAC=90°,

：.BC=2y[2,AN=BN=NC=V2,

1

?；BD=與CD,

：.BD=DN=^-,AD=>JAN2+DN2=

11

?:一BD?AN=^AD-BM,

22

:.絲?丘=期?BM,

22

故③正確；

??AADC^AAEB,

：.AE=AD^BE=CD=3BD=^,

：.四邊形AEBC的周長(zhǎng)是AE+EB+BC+AC^孚+挈+2夜+2=，”同+2,故④正確;

,?ZxADCdAEB,

SAADC=SAAEB,

??S四邊形ADBfuSzvlBD+SzvlBEuSzvlBD+SzvlCDuSzvlBCuZ,故正確；

即：正確的有①②③④⑤共五個(gè)，

故選：。.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，四邊形的面積計(jì)算和周長(zhǎng)的計(jì)算；解本題的關(guān)鍵是求出的長(zhǎng)度.

二.填空題

13.如圖，在△ABC中，BA=BC,ZABC=90°,BN平分/ABC,AE平分N2AC,AE交BN于G,EF

J_AC于尸，連接GF.①AAEB出AAEF；②/EFG=/AFG；③圖中有3對(duì)全等三角形；④EF=GF；

⑤SAAEF=2S^AGN.上述結(jié)論正確的序號(hào)有①②⑷⑸.

【分析】首先證明再證明/8GE=/BEG=67.5°,推出四邊形BGFE是菱形，由此

即可判斷①②③④正確，由NG〃EF,得到△ANGS/VVFE,所以迎竺位=(―)2=1即可判斷⑤

S“EFEFZ

正確.

【解答】解：'：EF±AC,ZABC=90°,

AZABE=ZAFE^9Q°,

平分NBA-

ZEAB=ZEAF,

在△AEB和△AEF中，

'/ABE=ZAFE

-乙BAE=AFAE'

、4E=AE

：.AABE^AAFE,故①正確，

：.BE=EF,

VZBGE^ZGAB+ZABG^22.5°+45°=67.5°,

ZBEA=ZC+ZEAC=450+22.5°=67.5°,

ZBGE-ZBEG,

:.BG=BE=EF,

'CBNLAC,EFLAC,

J.BG//EF,

四邊形BGFE是平行四邊形，

;BG=BE,

四邊形BGFE是菱形，

：.EF=EG,故④正確，/EFG=NEBG=45°,

,：ZEFA=90°,

：.ZGFE=ZGFN=45°,故②正確,

/\AGB^/\AGF,AEGB出AEGF,AABN二ACBN,故③錯(cuò)誤,

'：ZNGF=ZNFG=45°,

:.NG=NF,

：.EF=GF=鼻NG,

?：NG//EF,

：./\ANG^/\AFE,

.S^ANG,GN、21

SAAEFEF2

.".SAAEF=2SAANG.故⑤正確，

.?.①②④⑤正確，

故答案為①②④⑤.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和

性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直線知識(shí)問題，最后有關(guān)結(jié)論的判斷有點(diǎn)難度，

用了相似三角形的面積比等于相似比的平方，屬于中考填空題中的壓軸題.

14.如圖，△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P,且點(diǎn)。，E,尸是點(diǎn)尸分別以AB,BC,AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).若4

A8C的內(nèi)角/BAC=70°,ZABC=60°,ZACB=50°,PD、PE恰好分別為邊A3、BC的中垂線,

則下列命題中正確的是⑴⑵⑶⑷.

(1)A,C兩點(diǎn)關(guān)于直線尸尸對(duì)稱；

(2)PF=BE；

(3)ZADB+ZBEC+ZCM=360°；

(4)ZDBA+ZFAC^ZBAC.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理判斷(1);根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理、

等腰三角形的性質(zhì)判斷(2)；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和周角的概念判斷(3)；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、

軸對(duì)稱的性質(zhì)判斷(4).

【解答】解：連接出、PB、PC,

,:PD、尸E分別為邊A3、8。的中垂線，

：.PA=PB,PC=PB,

.\B4=PC,

???PE為AC的垂直平分線，

AA,。兩點(diǎn)關(guān)于直線尸方對(duì)稱，A命題正確；

VZABC=60°,

：.ZBAC+ZBCA=120°,

'：PA=PB,PB=PC,

：.ZPAB=ZPBA,/PCB=/PBC,

：.ZB4B+ZPCB=ZPBA+ZPBC=60°,

：.ZPAC+ZPCA=60°,

'：PA=PC,

：.ZPCA=30°,

：.ZCPF=60°,

°：CF=PC,

???△Pb為等邊三角形，

:?PF=PC,

?：PC=PB=BE,

:?BE=PF,5命題正確；

??,點(diǎn)P、。關(guān)于A3對(duì)稱，

工ZADB=/APB,

同理可得，/BEC=/BPC,ZAFC=ZAPC,

：.ZADB-^ZBEC+ZCFA=ZAPB+ZBPC+ZCPA=360o,。命題正確；

,:PD是AB的垂直平分線，

:?DB=DA,

：.ZDBA=ZDAB,

??,點(diǎn)尸、。關(guān)于AB對(duì)稱，

：.ADAB=ZPAB,

同理，ZFAC=ZPAC,

：.ZDBA+ZFAC=ZPAB+ZPAC=ABAC,。命題正確;

故答案為：(1)(2)(3)(4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分

線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

15.如圖所示，已知△ABC中，ZB=90°,BC=16cm,AC^20cm,點(diǎn)尸是△ABC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

P從點(diǎn)A開始沿A-B-C-A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒4cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為f(s),當(dāng)點(diǎn)P在邊CA

4219

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若為等腰三角形，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間看寄或9或萬.

【分析】分三種情形：AB=AP,AB=BP,PA=PB,畫出圖形分別求解即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)8作8//LAC于H.

：.AB=y/AC2-BC2=V202-162=12,

?：BH±AC,

11

：.S^ABC=寧AC?BH=

.Ru12x1648

<AB2-BH2=J122-(等尸=爭(zhēng),

當(dāng)時(shí)，AH^HPi=

AB+BC+APi=20+16+12--y=芋，

此時(shí)t—等,

當(dāng)AB=AP2時(shí)，AB+BC+CP2=20+16+12-12=36,

此時(shí)t=9,

當(dāng)AP3=BP3時(shí)，AB+BC+CP3=20+16+12-10=38,

此時(shí)t=學(xué)，

4219

綜上所述，滿足條件的t的值為三或9或萬.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論

的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

16.如圖，ZABC=90°,尸為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P和點(diǎn)2不重合），分別以AB,AP為邊在NABC

內(nèi)部作等邊△ABE和等邊△AP。，連接QE并延長(zhǎng)交8尸于點(diǎn)R連接EP,若A￡=45/3,則

EP=_V13_.

【分析】連接EP,過點(diǎn)E作EM±BC,由題意可得△AE。絲/XABP,可得QE=BP,ZAEQ=ZABC

=90°,可求NE2P=/BEF=30°,根據(jù)勾股定理可求BE=2￡M=4v”,BM=V3EM,EF=BF=2FM,

EM=yf3FM,可求8/=EF=4,EM=2^/3,FM=2,由QF=11,EF=4,可得8P=EQ=7,可求MP

的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求EP的長(zhǎng).

【解答】解：如圖：連接EP,過點(diǎn)E作EM，8C

■：/\AEB,△AP。是等邊三角形

：.AB=AE=BE=4y/3,AQ=AP,ZABE=ZBAE=ZQAP=60°=NAEB

：.ZBAP=ZQAE>AQ=AP,AB=AE

：.AABP咨AAEQ

：.QE=BP,ZAEQ=ZABC^90°

'：ZAEQ^ZABC^9Q°,ZABE^ZAEB^60°

；./BEF=/EBF=3Q°

：.BF=EF,ZEFM=6Q°

\'EM±BC

:.NFEM=30°

：.EF=2FM=BF,EM=^FM

'：ZEBM=3QO,EMVBC

:.BE=2EM,BM=WEM

VEB=4V3

：.EM=2y/3,BM=6

:BF+FM=BM

；.FM=2,BF=EF=4

QF=EQ+EF

.'.￡2=11-4=7

:.BP=7

；.MP=BP-BM=1

在RtAEMP中，EP=TEM2+MP?=V13

故答案為舊

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造直角三角形用勾股定理

求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在RtZkACB中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,8重合），連接

CD,將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接。E,DE與AC相交于點(diǎn)R連接AE.下列結(jié)論：

①△ACEdSCZ）；

②若NBO）=25°,則NAED=65°；

③D戌=2CF?CA；

④若AB=3或，AD=2BD,則AF=|.

其中正確的結(jié)論是①②⑶.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

A

「E

DA

BC

【分析】先判斷出N3CQ=NACE,即可判斷出①正確；

先求出N5DC=nO°,進(jìn)而得出NAEC=nO°,即可判斷出②正確；

先判斷出NCAE=NCER進(jìn)而得出△CEFs^cAE,即可得出。片=。尸乂°,最后用勾股定理即可得

出③正確；

先求出3C=AC=3,再求出魚，進(jìn)而求出CE=CQ=遮，求出。尸=今即可判斷出④錯(cuò)誤.

【解答】解：???NAC3=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，CD=CE,ZDCE=90°=ZACB,

：.ZBCD=NACE,

BC=AC

在△3CO和△ACE1中，UBCD=/-ACE,

CD=CE

：./\BCD^AACE,故①正確；

VZACB=90°,BC=AC,

：.ZB=45°

9：ZBCD=25°,

：.ZBDC=180°-45°-25°=110°,

?:△BCDQ/\ACE,

：.ZAEC=ZBDC=U0°,

VZZ)CE=90°,CD=CE,

；?NCED=45°,

則NAEO=NAEC-NCEZ)=65°,故②正確;

?:△BCD/AACE,

：.ZCAE=ZCBD=45°=NCEF,

'：ZECF=ZACE,

:.XCEFsXCAE,

?CECF

??—,

ACCE

：.CE1=CF-AC,

在等腰直角三角形CQE中，OE2=2CE2=2C尸AC,故③正確;

如圖，過點(diǎn)。作。G_L5C于G,

VAB=3V2,

.,.AC=BC=3,

'：AD=2BD,

：.BD=^AB=V2,

：.DG=BG=1,

：.CG=BC-BG=3-1=2,

在RtZXCDG中，根據(jù)勾股定理得，CD=VW+DG2=4,

.\CE=V5,

\'CE1=CF-AC,

CE25

4

：-

.AF=AC-CF=3-^3

故答案為：①②③.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△BCD四/XACE是解本題的關(guān)鍵.

18.如圖，在RtZ\ABC中，BC=2,ZBAC=30°,斜邊A8的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線。M、ON

上滑動(dòng)，下列結(jié)論：

①若C、。兩點(diǎn)關(guān)于48對(duì)稱，則。4=2百；

②C、。兩點(diǎn)距離的最大值為4；

③若A8平分CO,貝ijAB_LCO；

7T

④斜邊A3的中點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為5；

其中正確的是①②（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）.

C

B

J

oAM

【分析】①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求AC和AB,由對(duì)稱的性質(zhì)可知：AB是OC

的垂直平分線，所以。A=AC；

②當(dāng)OC經(jīng)過A8的中點(diǎn)E時(shí)，OC最大，則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；

③如