考點(diǎn)26.銳角三角函數(shù)（精講）

【命題趨勢】

銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學(xué)中考中比較重要的考點(diǎn)，主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角

函數(shù)，尤其是應(yīng)用主要在綜合題中考查，是考查重點(diǎn)，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，還常和四邊形、

圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型，分值為12分左右。預(yù)計2024年各地中考

還將以選填題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直

角三角形，是得分的關(guān)鍵。

【知識清單】

1：銳角三角函數(shù)（☆☆）

1）銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的銳角三角函數(shù).（其中：0<NA<90。）

2）正弦、余弦、正切的概念：如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b,

ZA的對邊aZA的鄰邊bNA的對邊a

正弦:sin>4=余弦:cosA=正切:tanZl=

ccb

3）特殊角的三角函數(shù)值

asinacosatana

￡縣

30°

223

y/2V2

45°~T~T1

V3j_

60°A/3

~T2

【補(bǔ)充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應(yīng)的銳角.

4）銳角三角函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)0。</4<90。時，sinA隨NA的增大而增大；cosA隨的增大而減??；5?A隨NA的增大而增大。

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.由直角三

角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形.

2）在解直角三角形的過程中，常用關(guān)系：

在Rt^ABC中，ZC=90°,貝U：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：Z/l+ZB=90°；

（3）邊與角關(guān)系：sin/i=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=—；4）sin24+cos24=l.

ccb~

3：解直角三角形的應(yīng)用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：

（1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角。

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰魚。

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角。

北省偏東30度

北偏西7哽\，,

西南方向?南偏東5。度

（2）方位角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角.

（3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度I的比叫做坡面的坡度（或坡比）,記作，=%.

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡第，記作a,i=tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡.

2）解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟：

（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；

（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；

（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解.

3）測量物體的高度（距離）的常見模型：

（1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）

解題方法：（已知條件：a,P，n,求高m）這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條

邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解。

（2）測量底部可以到達(dá)的物體高度

解題方法：1）已知測量儀高相，水平距離〃，角a,求高止2）已知水平距離"，角a,角￡,求高八斗^助2

這兩種模型種可結(jié)合水平距離和相應(yīng)角度，用正切值解題。

（3）測量底部不可到達(dá)的物體的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五個元素中，己知其中的兩個元素（至少有一條邊），可求出其余

的三個未知元素（知二求三）；2）已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相

似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定。

【易錯點(diǎn)歸納】

1.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習(xí)慣省略角

的符號“N"，如tanA,sina,cosA；若銳角是用三個大寫英文字母或一個數(shù)字表示的，則表示它的正弦、

余弦及正切時，不能省略角的符號$0sinAABC,cos/2,tan/1。

2.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的，而且由銳角三角函數(shù)的定義可知，其本質(zhì)特征是兩條

線段長的比。因此，銳角三角函數(shù)只有數(shù)值，沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形

的邊長無關(guān)。

3.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔

助線來構(gòu)造直角三角形。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.銳角三角函數(shù)

例1：（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）在"WC中，ZA./B、NC的對邊分別為a、b、c,且滿足

6Z2+|C-10|+Jb-8=12a-36,則sinB的值為

變式1.（2024?河北承德?九年級統(tǒng)考期末）在中，ZC=90°,若"LBC的三邊都擴(kuò)大5倍，貝”sinA

的值（）

A.放大5倍B.縮小5倍C.不能確定D.不變

變式2.（2023?廣東??？家荒＃┤鐖D，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3AC,貝haaB=（）

C

AL------------------

「回n3M

A..1D….JL.------

31010

變式3.（2023?陜西西安?統(tǒng)考二模）在RtZ\ABC中，ZC=90°,已知AC=2,BC=3,那么下列各式中,

正確的是（）

222D.tan匹一當(dāng)

A.sinB二一B.cosB=—C.tanB=—

333

例2：（2023年山東省威海市中考數(shù)學(xué)真題）如圖,某商場有一自動扶梯，其傾斜角為28。，高為7米.用

計算器求的長，下列按鍵順序正確的是（）

7Xsin28—74-sin28—74-tan28—

變式1.（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)8處，再

向正北方向走到C處，已知=則A,C兩處相距（）

YX

A.——米B.—:—米C.x-sina米D.x-cosa米

sinacosa

4

變式2.(2023?山東?九年級專題練習(xí))如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=8,貝

例3:（2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)真題）爬坡時坡角與水平面夾角為1,則每爬1m耗能（1.025-cose）J,

若某人爬了1000m,該坡角為30。，則他耗能（參考數(shù)據(jù):石al.732,正=1.414)()

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

變式1.（2023?廣東潮州?統(tǒng)考一模）3tan30。-1的值等于（）

A.73-1B.2-73C.2D.6

變式2.（2023?陜西西安??？家荒＃┯嬎?

°卜GJ，⑵比-2tan60°+tai?60°-tan60°?

(I)2cos60°+|l-2sin45

例4：（2023?安徽?統(tǒng)考一模）在△ABC中，（2cosA-四『+|1-tan兇=0,則AA3C一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

變式1.（2023?廣東?統(tǒng)考二模）在從LBC中，若COSA=3,則/A的度數(shù)是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.75°

變式2.（2023?廣東??？级＃┰?LBC中，sinA=cos（90°-C）=^,則AABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

例5：（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若0。<a<90。，則下列說法不正確的是（）

A.sina隨a的增大而增大B.cos。隨a的減小而減小C.tana隨a的增大而增大D.0<sin?<1

變式1.（2023?湖北恩施,校考模擬預(yù)測）已知銳角A的正弦sinA是一元二次方程2尤2-3尤+1=0的一個根,

貝UsinA=.

變式2.（2023?浙江?統(tǒng)考一模）已知AABC是銳角三角形，若AB>AC,則（）

A.sinA<sinBB.sinB<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sinA

變式3.（2023?上海??？寄M預(yù)測）如果銳角A的度數(shù)是25。，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.0<sinA<gB.0<cosA<C.<tanA<1D.1<cotA<y/3

223

核心考點(diǎn)2.解直角三角形

例6：（2023年江蘇省宿遷市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，貝Isin/ABC=

變式1.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）如圖，在4x3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)A、B、C、。都在小正方形的頂點(diǎn)上,

AB.CD相交于點(diǎn)P,則tan/APC的值是

變式2.（2023?河北邯鄲?校考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,。。是"SC的

外接圓，點(diǎn)AB,O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，貝Ucos/ACB的值是（）

3M

AB.2A/5c

-T-￥10

變式3.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考模擬預(yù)測）由小正方形組成的網(wǎng)格如圖，A,B,C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則/ABC

的正切值為（）.

c

-I2

例7：（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中

國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE,AABFABCGACDH）和中間

一個小正方形EFG/f拼成的大正方形ABCD中，ZABF>ZBAF,連接BE.沒/BAF=a,/BEF=/3,若正

方形EFG”與正方形ABCD的面積之比為l:〃,tana=tan2",則"=（）

C.3D.2

變式L（2023?陜西西安?校考模擬預(yù)測）國際數(shù)學(xué)大會是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會.如圖是某次大會的會徽,

選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚(yáng)了我

國古代的數(shù)學(xué)文化.如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果

大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,直角三角形中較小的銳角為仇那么cos。的值等

變式2.（2023?浙江紹興?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，用4個全等的直角三角形拼成正方形，并用它證明了勾股

定理，這個圖被稱為"弦圖若"弦圖"中大正方形面積為20,tana=2,則小正方形的面積為.

例8：（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4（1,0）,點(diǎn)8（0,-3）,

點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接A3,BC,若tanNABC=；,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

變式1.（2023?浙江??？级＃┤鐖D，。。的半徑03，AB于點(diǎn)C,連接AO并延長交。。于點(diǎn)E,連接EC.若

AB=8,CD=2,則1311/0￡C為（）

3V1322屈

C.

1713313

變式2.（2023?浙江杭州??？级＃c(diǎn)E為正方形A3C。的邊A3上一點(diǎn)，連接OE,AC,且DE與AC相

交于點(diǎn)林若含1

—,貝!Jsin/CDE=

10

變式3.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合"思想的重要方法,在計算tanl5。時，

如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,延長CB,使=連接AD,使得"=15。，所以

…AC12-6°

tan15FGTa=2-6類比這種方法，計算的22.5。=—,

A

例9：（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中,

給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的AABC的面積為-[上常^]?AABC的

邊。、b、c所對的角分別是0A、回8、EIC,則以ABC=；a6sinC=；acsin8=：6csinA.下列結(jié)論中正確的是

()

A.cosC=—+b~CB.cosC^-a+b~CC.

cosC=2id.cose1'片Y

2ab2ablac2bc

NC=90。，cosA=|,貝l|sinB=

變式1.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）在放&4BC中,

變式2.（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果:

sin27°+sin283°?0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°a0.372+0.932=1.0018,

sin29°+sin261°?0.482+0.872=0.9873,

sin37°+sin253°?0.602+0.802=1.0000,

\2嚴(yán)2

sin245°+sin245=■+=1.

2J

據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角a,P,若a+尸=90。，均有sin2a+sin2￡=l.

⑴當(dāng)】=30。，6=60。時，驗證sin,a+sin?分=1是否成立?

（2）嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示給予證明，其中NA所對的邊為“，N3所對

的邊為6,斜邊為。；若不成立，請舉出一個反例；

⑶利用上面的證明方法，直接寫出tane與sina,cosa之間的關(guān)系.

變式3.（2023?湖南??？家荒＃┩瑢W(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式:

sin（?-=sin?cos-costzsin,sin（?+y0）=sin?cosf}+cosasin（3；

cos(a-y0)=cosacos/?+sincrsinj3,cos(cr+尸)=cosarcos/—sinasin?.

r7_B

例：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=71.

⑴試仿照例題，求出cos75。的值；(2)若已知銳角a滿足條件sina=；,求sin2(z的值.

核心考點(diǎn)3.解直角三角形的應(yīng)用

例10：（2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已

知=BC=0.6m,ZABC=123。，該車的高度AO=L7m.如圖2,打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'

處，AQ與水平面的夾角N3'AD=27。.

⑴求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面I的距離;

（2）若小琳爸爸的身高為L8m,他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險?請說明理由.

（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：sin27°?0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510,73?1.732）

變式L（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)

節(jié)桿BC=0a，AB=b,A3的最大仰角為當(dāng)NC=45。時，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是（）

bb...

A.a+------B.a-\--------C.a+bcosaD.a+bsma

cosasina

變式2.（2023年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)真題）小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一

個端點(diǎn)固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點(diǎn)分別固定在門框和門的頂部.

如圖1是俯視圖，OA,03分別表示門框和門所在位置，M,N分別是。4上的定點(diǎn)，

ON=27cm,ON=36cm,MF,NF的長度固定，NMRV的大小可變.

門框所在位置

門框所在烏置

門所在位置

圖1

⑴圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，OAYOB,ZMFN=180°,求NM2VB的度數(shù).

（2）圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點(diǎn)P的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置.

（用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑶在門開合的過程中，sin/OMW的最大值為.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75）

例11：（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）鄂州市蓮花山是國家4A級風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花

山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國各地旅游愛好者的青睞.今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶祝

活動.如圖2,景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)

行實地測量，從元明塔底部歹點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測得條幅下端

E的仰角為30。；接著他沿自動扶梯AD到達(dá)扶梯頂端。點(diǎn)，測得點(diǎn)A和點(diǎn)。的水平距離為15米，且

4

tanZDAB=-；然后他從D點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得條幅上端G的仰角為45。.（圖

上各點(diǎn)均在同一個平面內(nèi)，且G,C,B共線，F(xiàn),A,B共線，G、E、尸共線，CD//AB,GF1FB）.

⑴求自動扶梯AD的長度；（2）求大型條幅GE的長度.（結(jié)果保留根號）

變式1.（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，從航拍無人機(jī)A看一棟樓頂部8的仰角。為30。，看這

棟樓底部C的俯角夕為60。，無人機(jī)與樓的水平距離為120m,則這棟樓的高度為（）

A.140A/3mB.160晶C.180鬲D.200鬲

變式2.（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測到某地面目標(biāo)在點(diǎn)8處，此時

飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)8的俯角為37。飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條

平行直線上同向運(yùn)動.當(dāng)飛機(jī)飛行943米到達(dá)點(diǎn)。時，地面目標(biāo)此時運(yùn)動到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)D的仰角

310

為474。,則地面目標(biāo)運(yùn)動的距離座約為一米.（參考數(shù)據(jù)：tan3r=，tan474§）

變式3.（2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實踐.如圖,

無人機(jī)從地面8的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)8處，測得博雅樓頂部E的俯角為45。，尚美樓頂部尸的

俯角為30。，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓高度。尸為米.（結(jié)果保留根號）

F

博

雅

樓

CAD

例12：（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，/是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米,

海島C位于碼頭A北偏東60。方向.一艘勘測船從海島C沿北偏西30。方向往燈塔3行駛，沿線勘測石油資

源，勘測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15。方向的。處石油資源豐富.若規(guī)劃修建從。處到海岸線的輸油管道，則

輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號）

變式1.（2023年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)真題）一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60。方向，漁船

向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)8處，測得燈塔C在它的北偏東45。方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則

漁船與燈塔C的最短距離是海里.

變式2.（2023年海南省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30。方向上，輪

船沿著正北方向航行20海里到達(dá)8處，測得燈塔M位于B的北偏東60。方向上，測得港口C位于8的北偏

東45。方向上.已知港口C在燈塔Af的正北方向上.⑴填空：ZAMB=一度，ZBCM=度；⑵求燈塔

M到輪船航線A2的距離（結(jié)果保留根號）；⑶求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）.

例13:（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動河湖名單（2022—2025

年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選.在推進(jìn)實施母親河復(fù)蘇行

動中，需要砌