專(zhuān)題18.45正方形中的45度模型（鞏固篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，正方形42C。中，點(diǎn)E、尸分別在線段2C、CD上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足NEA尸=45。，

AE、分別與3。相交于點(diǎn)〃、N,下列說(shuō)法中：@BE+DF=EF；②點(diǎn)A到線段所的距

離一定等于正方形的邊長(zhǎng)；③BE=2,DF=3,貝|SAAEF=15；④若AB=6&，BM=3,

則MN=5.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

2.如圖，在正方形A8CD中，AB=6,點(diǎn)E在邊CD上，>CD=3DE,^AADE^AE

對(duì)折至4AFE,延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)、G,連結(jié)AG,CR下列結(jié)論:①ZABG^AAFG；②BG=CG；

@SAAGE=18；@^GAE=45°,其中正確的是（）

A.①②③B.②③④C.③④①D.①②④

3.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)0,將NCO3繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn),

設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0<?<90°）,角的兩邊分別與3C,A3交于點(diǎn)N,連接DM,CN,

MN,下列四個(gè)結(jié)論：①NCDM=NCOM；②CNLDM；③MNB%ADMC；④

AN2+CM2=MN2；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，在正方形ABCD內(nèi)作ZE4F=45。，AE交BC于點(diǎn)E,AF交8于點(diǎn)尸，連接

EF,過(guò)點(diǎn)A作"，垂足為點(diǎn)將△AD尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，ABG,若

8￡1=4,。尸=6,則以下結(jié)論：①△4r）尸三△A//F,②4^=跖，③延=述，④SCEF=24,

AF3

正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，在正方形ABC。中，AAEF的頂點(diǎn)E,尸分別在BC,C。邊上，高AG與正

方形的邊長(zhǎng)相等，連接8。分別交AE,AF于點(diǎn)N,下列說(shuō)法：①㈤F=45。；②連

接MG,NG,則AMGN為直角三角形；?MMN-AAFE；④若BE=2,FD=3,則MN

的長(zhǎng)為3拒，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.2D.1

6.如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC(BC>AD),ZB=90°,AB=BC=12,E是A3

上一點(diǎn)，S.ZDCE=45°,BE=4,貝|止=

7.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A,3重合），

ND4M=45。，點(diǎn)下在射線AM上，旦AF=^BE，C尸與AD相交于點(diǎn)G,連接EC、EF、

EG.則下列結(jié)論：①NECF=45。；②FE平分ZAFG；@BE+DG=EG；④△E4F的面

積的最大值是9；其中正確的結(jié)論是______.

6

8.如圖，在正方形ABCD中，E是線段C。上一點(diǎn)，連接AE,將，AOE沿AE翻折至▲

AEF,連接BF并延長(zhǎng)交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,當(dāng)尸尸=1g尸時(shí)，—=_____

2CD

9.如圖，已知正方形ABC。，P是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重臺(tái)），且4尸＜

AB,△CBE由_D4P平移得到，若過(guò)點(diǎn)E作EQLAC,點(diǎn)0為垂足，則有以下結(jié)論：①在

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PECO可能為菱形；②無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，都有。尸=血？0；

③若NOQC=60。，則有尸；④無(wú)論點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到何處，NC。尸一定大于135。.其中

正確結(jié)論的序號(hào)為.

10.如圖，已知E、尸是邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，且滿(mǎn)足

45°,若AAEP的面積為g,貝必8EC與的面積之和為.

11.如圖，△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為△ABC外一點(diǎn)，且NAPC=45。,

過(guò)B作BE〃AC分另U交PA、PC于點(diǎn)E、F,若BE=3EF=3,貝UAE=.

12.如圖，已知正方形A5CD的邊長(zhǎng)為3,E、尸分別是AB、8C邊上的點(diǎn)，且ZEDF=45。,

將AZME繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADCM.若AE=1,則E尸的長(zhǎng)為.

A_______________D

三、解答題

13.在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CZ）上，且/胡P=45。.EA交BD于M,

AF交BD于N.

(1)作(如圖①)，求證：AAPM^AANM；

(2)求證：MN2=BM2+DN2;

(3)矩形ABC。中，M、N分別在BC、CD上，/MAN=NCMN=45。,(如圖②)，請(qǐng)

你直接寫(xiě)出線段MN,BM,0V之間的數(shù)量關(guān)系.

14.將正方形ABC。放置在平面直角坐標(biāo)系中，2與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(40),并且實(shí)數(shù)。，6使式子6=J12-2a+V^^+3成立,

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)。、E的坐標(biāo)：D,E.

(2)ZA￡F=90°,且跖交正方形外角的平分線CP于點(diǎn)F,

①如圖①，求證AE=EP；

②如圖②，連接A尸交。C于點(diǎn)G,作GMAO交AE于點(diǎn)M,作ENA3交AF于點(diǎn)N,

連接MN,求四邊形MNGE的面積；

(3)如圖③，連接正方形A8CD的對(duì)角線AC,若點(diǎn)尸在AC上，點(diǎn)。在CD上，且AP

=CQ,求(3P+BQ)。的最小值.

15.己知四邊形ABC￡＞是正方形，一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，

將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線2C,CD于M,N.

(1)如圖1,當(dāng)N分別在邊BC,CD上時(shí)，求證：BM+DN=MN

(2)如圖2,當(dāng)M,N分別在邊8C,C。的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DN,MN

之間的數(shù)量關(guān)系

(3)如圖3,直線⑷V與BC交于尸點(diǎn)，MN=1Q,CN=6,MC=8,求CP的長(zhǎng).

16.綜合與實(shí)踐：如圖1,在正方形ABCD中，連接對(duì)角線AC,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

點(diǎn)￡是線段上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)4。重合)，連接DE,BE.過(guò)點(diǎn)E作交直

線于點(diǎn)F.

(1)試猜想線段。E與所的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)試猜想線段CE,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,當(dāng)E在線段CO上時(shí)(不與點(diǎn)C,。重合)，灰交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，保

持其余條件不變，直接寫(xiě)出線段CE,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

17.如圖.在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)尸在8延長(zhǎng)線上，BE=DF,連

接E尸交于點(diǎn)X,連接AH.

(1)求證HE=HF；

AU

(2)求黑的值；

EF

(3)探究AB、BE、3”三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

18.已知正方形ABC。，/M4N=45。，/M4N繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、

DC于點(diǎn)A/、N,AH1.MN于點(diǎn)、H.

(1)如圖①，當(dāng)=時(shí)，可以通過(guò)證明—ADNgASM,得到AH與AB的數(shù)量

關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖②，當(dāng)時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理

由；

(3)如圖③，已知；AMN中，NMAN=45°,AH工MN于點(diǎn),H,MH=3,NH=7,

求A"的長(zhǎng).

圖②圖③

19.如圖正方形A3CD的邊。4、0c在坐標(biāo)軸上，已知點(diǎn)3(3,3).將正方形A3co繞

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度(小于90。),得到正方形ADEF,區(qū)＞交線段0c于點(diǎn)G,ED

的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P,連接AP、AG.

(1)求4G的度數(shù).

(2)當(dāng)/Q4G=/CPG時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(3)在(2)的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形

是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.情景呈現(xiàn)：在正方形ABC。中，尸為射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，連

結(jié)AP,作AP的垂直平分線交線段8。于點(diǎn)E,連結(jié)AE,PE.

（I）提出問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，NAPE的度數(shù)，線段CP與。E的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生

改變？

（II）探究問(wèn)題：首先觀察點(diǎn)P的兩個(gè)特殊位置：

①當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，如圖1所示，NAPE=°,線段CP與DE之間的數(shù)量

關(guān)系：;

②當(dāng)時(shí)，如圖2所示，NAPE=°,線段CP與之間的數(shù)量關(guān)

系：;

（III）猜想并證明：

①然后觀察點(diǎn)P的一般位置：當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，結(jié)合圖3,通過(guò)觀察、測(cè)量、發(fā)

現(xiàn)：上述結(jié)論;（填“成立”或“不成立”）

②當(dāng)點(diǎn)P在射線CB上時(shí)，如圖4,上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖4進(jìn)行證明；

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（W）解決問(wèn)題：請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言概括你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：在正方形ABC。中，尸為射線

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連結(jié)AP,作AP的垂直平分線交線段于點(diǎn)E,連

結(jié)AE,PE.當(dāng)點(diǎn)尸在射線CB運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)C重合），.

圖3圖4

21.【問(wèn)題情境】

在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“正方形和直線的旋轉(zhuǎn)”為主題分組開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，已知

正方形ABCD,直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,并繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，作點(diǎn)8關(guān)于直線尸。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,直線DE

交直線PQ于點(diǎn)產(chǎn)，連結(jié)AE、BE.

【操作發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,若/R4B=20。.則NADb=°,ZBEF=°.

【拓展應(yīng)用】

(2)如圖2,當(dāng)直線PQ在正方形A3CD的外部時(shí)

①判斷ZBEF的度數(shù)是否為一個(gè)定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②線段AB、DF、E尸之間存在特殊的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這一關(guān)系式，并說(shuō)明理由.

Q

圖1圖2

22.如圖1,在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)、(不與點(diǎn)3、C重合)，垂直于AE

的一條直線MN分別交A3、AE,8于點(diǎn)M、P、N.

(1)求證AE=MN；

(2)如圖2,若垂足尸恰好為AE的中點(diǎn)，連接3￡),交MN于點(diǎn)Q,連接E。，并延長(zhǎng)

交邊AD于點(diǎn)求NAEF的度數(shù);

(3)如圖3,若該正方形ABCD邊長(zhǎng)為11,將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對(duì)

應(yīng)邊8'C'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作AGLMN,垂足分別為G,若AC'=5,則AG=

圖1圖2圖3

參考答案

1.A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BH=DF,AH=AF,NBAH=/DAF,得到

=45。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到即=ERNAEB=NAEF,于是得到BE+BH=BE+DF

=EF,故①正確；過(guò)A作AG,跖于G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到A2=AG,于是得到

點(diǎn)A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長(zhǎng)，故②正確；求出EF=8E+OF=5,設(shè)BC=

CD=n,根據(jù)勾股定理即可得到S〃AEF=15,故③正確；把△AZW繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得至IUAB。，再證明△AM。名(SAS),從而得MQ=MV,再證明

ZABQ+ZABM^90°,設(shè)MN=x,再由勾股定理求出x即可.

解：如圖，把△AD尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BH=DF,AH=AF,ZBAH=ZDAF,

VZ￡AF=45°,

?.ZEAH=ZBAH+ZBAE=Z.DAF+ABAE=9G°-ZEAF=45°,

：.ZEAH=ZEAF=45°,

在△AEF和△AE〃中，

AH=AF

■ZEAH=ZEAF=45°,

AE=AE

：.^AEF^AAEH(SAS),

；.EH=EF,

：.ZAEB=ZAEF,

；.BE+BH=BE+DF=EF,故①正確；

過(guò)A作AG_LEF于G,

：.NAGE=/ABE=90°,

在△ABE與△AGE中,

NABE=/AGE

NAEB=/AEG,

AE=AE

：.AABE^AAGE(AAS),

：.AB=AG,

???點(diǎn)A到線段E/的距離一定等于正方形的邊長(zhǎng)；故②正確;

?：BE=2,DF=3,

：.EF=BE+DF=5f

設(shè)3C=CO=〃，

.9.CE=n-2,CF=n-3,

/.EF2=CE2+CF2,

???25=(n-2)2+(H-3)2,

.\n=6(負(fù)值舍去)，

：.AG=6,

如圖，把△ADV繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△A3Q,連接QM,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BQ=DN,AQ=AN,/BAQ=/DAN,ZADN=ZABQ=45%

???NEAF=45。,

J/MAQ=/BAQ+/BAE=/DAN+/BAE=90。-ZEAF=45°,

：.ZMAQ=NM4N=45。，

在△AMQ和△AMN中，

AQ=AN

<ZMAQ=/MAN,

AM=AM

\Z.尸

--'c

E

：.^AMQ^^AMN(SAS),

：.MQ=MN,

,：ZQBM=ZABQ+ZABM=90°,

:.BQ2+MB2=MQ2,

?：AB=6及,

：.BD=^2AB=n,

設(shè)MN=x,則ND=BD-BM-MN=9-x,

32+(9-x)2=/,

解得：x=5,

：.MN=5,故④正確，

故選A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股

定理等等，解題的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)三角形AD/和三角形

2.D

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出A8=A￡?=DC=6,ZB=ZD=90°,求出。￡=2,AF=AB,

根據(jù)乩推出RtXABG^RtAAFG,推出BG=FG,設(shè)BG=x,則CG=BC-BG=6-x,

GE=GF+EF=BG+DE=x+2,在RtAECG中，由勾股定理得出(6-無(wú))2+4?=(x+2)2,求出產(chǎn)3,

得出BG=G斤CG,由￡>E=2,得出GE=GF+EP=5,AF=AB=6,計(jì)算出SzAGE=15；根據(jù)全

等得出/ZME=N硼E,ZBAG=ZFAG,即可得出/G4E

解：：四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD=DC=6,ZB=ZD=9Q°,

:CD=3DE,

：.DE=2,

"：^ADE沿AE折疊得到^AFE,

：.DE=EF=2,AD=AF,ZD=ZAFE=ZAFG=90°,

：.AF=ABf

在Rt4ABG和Rt>AFG中

(AG=AG

[AB=AF'

，RtAABGQR於AFG(HL).

?，?①正確；

":Rt>ABG^RtLAFG,

:?BG=FG,ZAGB=ZAGF,

設(shè)3G=x,貝！JCG=5C-3G=6-x,GE=GF+EF=BJDE=x+2.在放△ECG中，由勾股定理

得：CG2+CE2=EG2.

*.*CG=6-x,CE=4,EG=x+2,

/.(6-x)2+42=(x+2)2,解得：x=3.

：.BG=GF=CG=3.

???②正確；

?：BG=GF=CG=3,CD=3DE,AB=AD=DC=6,DE=EF=2,

:?GE=GF+EF=5,AF=AB=6f

SAAGE=—GExAF=-x5x6=15,

22

??.③錯(cuò)誤；

AADE沿AE折疊得到^AFE,

：.ADAE^AFAE.

：.ZDAE=ZFAE.

,/AABG^AAFG,

???ZBAG=ZFAG.

ZBAD=90°,

：.ZEAG=ZEAF+ZGAF=^x90°=45°.

...④正確.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的

性質(zhì)和判定，平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，依據(jù)翻折的性質(zhì)找出其中對(duì)應(yīng)相等的線段和對(duì)

應(yīng)相等的角是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】由“ASA”可證AOCM=AO8N,可得CM=BN,/CDM=NBCN,由余角的性

質(zhì)可判斷②，根據(jù)證4ONB之OMC,AMON=90°,得出Z.ONM=ZOMN=45。,易得

ZDMC=ZCNB,則ZDMO=ZONC<ZONM=45。,利用反證法假設(shè)ZCDM=ZCOM，推

出NDA〃?=NDCO=45。矛盾，即可判斷①，由“SAS”可證ADCNmACA?,由勾股定理可判

斷④.

解：四邊形ABCD是正方形

：.CD=BC,BO=CO,AC1BD,ZACB=NAB￡>=45。

將/COB繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

:.Z.COM=ZBON,且30=CO,NACB=NASD

AOCM^OBN(ASA)

CM=BN,

DC=CB,ZDCM=/CBN=90°,

DCM^_CBN(SAS),

.-.ZCDM=ZBCN,ZDMC=ZCNB

ZCDM+ZCMD=90°

:.ZBCN+ZCMD=90°

:.CN1.DM

故②正確

根據(jù)②中證出。NB0OMC,ZMON=90°,

ON=OM,ZOBN=40cM=45°,

OM±ON,

ZONM=ZOMN=45°,

ZDMC=NCNB,ZOMC+Z.OMB=180°=ZOMB+ZONB,

貝ZDMO=ZONC<ZONM=45°,

若假設(shè)ZCDM=Z.COM,

則ZDMO=ZDCO=45°,

矛盾，即假設(shè)不成立，

即①錯(cuò)誤，

QCM=BN,CD=BC,ZABC=/DCB=90。

NDCM^\CNB(SAS)

故③正確

AB=BC,BN=CM

:.AN=BM

BN2+BM2=MN2,

AN2+CM2=MN2;

故④正確

故選：c.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】利用正方形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明aE4瓦再證明一AmgAED,判

斷①，利用全等三角形的性質(zhì)與勾股定理先求解正方形的邊長(zhǎng)，再分別求解判斷

②，再利用勾股定理計(jì)算的,4尸，判斷③，通過(guò)計(jì)算S^co,判斷④.

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AF=AG,ZDAF=ZBAG.

?..四邊形ABCD為正方形，

...NBAD=90。.

又；/EAF=45°,

.,.ZBAE+ZDAF=45°.

.".ZBAG+ZBAE=45°.

ZGAE=ZFAE.

在小GAE和4FAE中

AG=AF

■ZGAE=ZFAE,

AE=AE

GAE緣FAE,

/G=ZAFE,

ZG=ZAFD,

ZAFE=ZAFD,

ZAHF=ZADF=90°,AF=AF,

空AFD,故①正確，

/.AH=AD,

.GAE^,FAE,

GE=FE,

BE=4,DF=6,GB=DF,

:.GE=EF=10,

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為％,則CE=x—4,CT=%-6,

由勾股定理得：(x-4)2+"—6)2=1()2,

解得：石=12,%2=-2（舍去）

：.AH=AD=BC=12,

，AH于EF,故②錯(cuò)誤，

AFH沿AFD,

.\FH=FD=6,EH=EB=4,

，變“6+加=尸"、悝=述,故③正確

AFSJAH2+FH2136+144V1803

CE=x-4=8,CF=x-6=6,

S=-CE?CF=-x8x6=24.故④正確.

CcEF22

綜上：①③④正確，

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.A

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及HL定理求得RtAAEB0RSAEG.RtAAFD^RtAAFG,

從而求得/EAB=/EAG,NFAD=NFAG,然后求得2/EAG+2NFAG=90。，從而得到

ZEAF=45°,由此判斷①；

將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ABH位置，連接MH,MG,NG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

根據(jù)結(jié)合SAS定理求得小AHM^AANM,得到MN=MH,結(jié)合正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得

ZHBM=ZABH+ZABD=90°,從而可得MH2=HB2+BM2,然后根據(jù)SAS定理求得

△ABM烏△AGM,△AND^AAANG,從而得到BM=GM,DN=GN,從而求得

MN2=MG2+NG2,由此判斷②；

由垂直可得NAEG=90O-NEAG,然后結(jié)合①中已證

/EAG+NFAG=NEAG+NFAD=45。,可得NANM=9()o-/EAG,由此得到/AEG=/ANM,

然后根據(jù)AA定理求得三角形形式，由此判斷③；

旋轉(zhuǎn)△ABE至必ADH,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和SAS定理可得得△ABE^AADH,AAEF^AAHF,

設(shè)CF=a,在R3CEF中，根據(jù)勾股定理列方程求a,從而求得正方形的邊長(zhǎng)，設(shè)MN=x,

結(jié)合②中的結(jié)論列方程求x的值，從而判斷④.

解：如圖中，

BEC

四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZABC=ZADC=90°,

VAGXEF,

ZAGE=ZABC=90°,

\AE=AE

在RtAAEB和RtAAEG中，＜,…

[AS=AG

RtAAEB=RtAAEG,

???NEAB=NEAG,

同理可證RtAAFD^RtAAFG,

AZFAD=ZFAG,

2ZEAG+2ZFAG=90°,

ZEAG+ZFAG=45°,

ZEAF=45°,故①正確；

如圖②，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ABH位置，連接MH,MG,NG

由旋轉(zhuǎn)知：ZBAH=ZDAN,AH=AN,

:四邊形ABCD是正方形，

AZBAD=90°,

ZEAF=45°,

.,.ZBAM+ZDAN=45°,

?.ZHAM=ZBAM+ZBAH=45°,

AZHAM=ZNAM,又AM=AM,

.".△AHM^AANM,

.\MN=MH

:四邊形ABCD是正方形，

AZADB=ZABD=45°.

由旋轉(zhuǎn)知：ZABH=ZADB=45°,HB=ND,

ZHBM=ZABH+ZABD=90°,

.".MH2=HB2+BM2,

.".MN2=MB2+ND2.

又：AB=AG,ZEAB=ZEAG,AM=AM

...AABM^AAGM

；.BM=GM

同理可證：ZiAND也4AANG

.*.DN=GN

.*.MN2=MG2+NG2

即AMGN為直角三角形，故②正確；

AD

5E圖②

VAGXEF

ZAEG=90°-ZEAG

又：ZANM=ZBDA+ZDAF=45°+ZDAF

由①可知：ZEAG+ZFAG=ZEAG+ZFAD=45°

ZANM=90°-ZEAG

ZAEG=NANM

又：ZAMN=ZAFE

：.MMN~AAFE,故③正確；

如圖3中，

圖（3）

旋轉(zhuǎn)△ABE至必ADH,△ABE^AADH

，DH=BE=2,

同理②中可證：AAEF之△AHF,

；.FH=EF,設(shè)CF=a

；.CD=CF+DF=a+3,EF=FH=DF+DH=5,

?..四邊形ABCD是正方形，

；.BC=CD=a+3

CE=BC-BE=a+3-2=a+l,

在RtACEF中，根據(jù)勾股定理得，（a+1）2+32=25

a=3或a=-5（舍）,

；.CF=3,

；.CD=6,

.?.正方形的邊長(zhǎng)為6；

由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,

.?.BD=0CD=60,

圖（3）

由①可知小MAN=45°,

,/AB=AD,NBAD=90。，

由②得BM2+DN2=MN2,

設(shè)MN=x,

：BD=6形，BM=乎，

.?.DN=￡>N=60-3&-X=^-X

22

.?.￥r+殍-

解得x］正，

.,.MN=|A/2,故④正確

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題是四邊形綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等

三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三

角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用探究的結(jié)論解決新的問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

6.10

【分析】過(guò)C作CG1_A。，交AO延長(zhǎng)線于G,先證四邊形ABCG是正方形（有一組鄰

邊相等的矩形是正方形）.再設(shè)。E=x,在放即中利用勾股定理可求出QE.

解：過(guò)C作CG_LAD于G,并延長(zhǎng)DG,GF=BE,

在直角梯形ABC。中，'：AD//BC,NA=NB=90。，NCG4=90。，AB=BC,

四邊形ABCG為正方形,

：.AG=BC=GC=U,

VZDCE=45°,

：.ZECB+ZGCD=45°,

?；BE=GF,/B=/FGC=9。。,BC=GC,

:.AEBC咨AFGC,

；?/ECB=/FCG,

：.NFCG+/GCD=NDCF=45。=/DCE,

?；CE=CF,ZDCF=ZDCE,DC=DC,

???△ECD咨AFCD,

；.ED=DF,

：.DE=GF+DG=BE+GD,

設(shè)。E=x,則。G=x-4,

.\AD=I6-x,

在放△AEO中，VDE^AZ^+AE2,

.,?/=(16-x)2+82,

.mo,

即DE=1O.

故答案為：10

【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握三角形全等的

判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

7.①③

【分析】①正確，如圖1中，在BC上截取9=BE,連接￡W.證明△引比△￡WC(S4S)

即可解決問(wèn)題；

②錯(cuò)誤，由(1)可得NEFC=45。，ZEFA=ZCEH<45°,由此即可判定FE不平分ZAfU；

③正確，如圖2中，延長(zhǎng)AD到H,使得。H,連接CH,則△CB￡0ACDH(超S),

再證明AGCE烏LGCH(SAS)即可解決問(wèn)題.

④錯(cuò)誤，如圖1,設(shè)BE=BH=x,則AE=CH=l-x,利用三角形的面積公式構(gòu)建二次函

數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題.

解：如圖1中，在8C上截取=連接EH.

:.EH=y/2BE,ZBEH=45°,

AF=歷BE，

:.AF=EH,

ZDAM=ZEHB=45°,ZBAD=90°,

:.AFAE=AEHC=135°,

BA=BC,BE=BH,

:.AE=HC,

AFAE^AEHC(SAS),

：.EF=EC,ZAEF=ZECB,

NECH+NCEB=90°,

,\ZAEF+ZCEB=90°,

.\ZFEC=90°,

'.ZECF=ZEFC=45°,故①正確；

???在RtZXBEC中，?B90?,

AZBEC<90°,

/.ZBEH+ZCEH<90°,

45°+ZCEH<90°,

即NCEH<45。,

/\FAF^/\FHC,

ZEFA=ZCEH<45°,

又???/EFC=45。，

NEFA手/EFC,

JFE不平分ZAFG,故②錯(cuò)誤；

如圖2中，延長(zhǎng)AO到H,使得DH=BE,連接CH,

又「BC=DC,ZB=ZHDC=90°,

/\CBE冬ACDH(SAS),

:"ECB=NDCH,CE=CH,

:.ZECH=ZBCD=90°,

:.NECG=NGCH=45。,

又'CG=CG,CE=CH,

:.4GCEGCH(SAS),

:.EG=GH,

GH=DG+DH,

:.EG=BE+DG,故③正確;

如圖1,設(shè)BE=BH=x,則AE=CH=1—%，

-CHBE

2

=1(l-x)-x

12.1

—X—X

22

=(X2-X+—

24

--<0,

2

當(dāng)x時(shí)，△3的面積取得最大值，最大值為:，故④錯(cuò)誤,

28

故答案為：①③.

【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

8.V2-1

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)4作4〃，82于過(guò)點(diǎn)E作尸于M首先證明AAM尸是

等腰直角三角形，設(shè)2F=2a,則PF=^BF=g,BM=MF=a,利用相似三角形的性

質(zhì)求出F7V：EN=\+正,再想辦法求出EN（用〃表示），即可解決問(wèn)題.

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于過(guò)點(diǎn)￡作EN_LB尸于N.

???四邊形A8CO是正方形，

：.AD=AB,NRW=90。，

由翻折的性質(zhì)可知，AD=AFfZDAE=ZEAF,

：.AB=AF,

VAMXBF,

；.BM=FM,ZBAM=ZFAM,

：.ZPAM=ZPAF-^-ZFAM=/BAD=45。,

*/ZAMP=90°,

：.ZP=ZPAM=45°,

：.AM=MPf

B

設(shè)BF=2a,貝UP尸==3b=0〃，BM=MF=a,

2

AM=PM=FM+PF=a+^2a,

*/ZAMF=ZAFE=NENF=9。。,

：.ZAFM+ZEFN=9009ZEFN+ZFEN=90°,

：.NAFM=/FEN,

：.叢AMFs叢FNE,

.AMFNa+s/la/

??麗一麗--a—-‘

設(shè)EN=PN=x,則尸N=(1+72)x,

(1+V2)x+x=y[2a,

?\x=(0-1)a,

:?EN=(V2-1)x,

.EF=EN_(6-Da_5_]

"AFFMa7，

CD^AD^AF,DE=EF,

—=V2-1.

CD7

故答案為：V2-1.

【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相

似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

9.②③④

【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊大于直角邊，判定。P>PE,可判斷①是錯(cuò)誤的；利用

△PQEmADQA,證明&DPQ是等腰直角三角形即可；延長(zhǎng)班到M,使EB=BM,證明△CEM

是等邊三角形即可；利用/C0尸=180。-/尸。4,ZQAE=45°>ZPQA,根據(jù)不等式的性質(zhì)推

理判斷即可

解：由,.A4P平移得到,

4DAP咨KCBE,

：.PA=EB,

：.PA+AE=EB+AE,

：.PE=AB,

?..四邊形ABC。是正方形，

：.DC=DA=AB,DC〃AB,ZDAP=90°,

：.DC=PE,DC〃PE,

/.四邊形PEC。是平行四邊形，

在直角三角形D4P中，

\"DP>DA,

：.DP>PE,

???①是錯(cuò)誤的；

:四邊形ABC。是正方形，AC是對(duì)角線,

ZDAQ=ZQAE=45°,

CQLAE,

：.ZQEA=ZQAE=45°,

：.ZPEQ=ZDAQ,AQ=EQ,

■:PE=DA,

???△尸。摩△OQ4,

：.PQ=DQ,ZDQA=ZPQE,

：.ZDQP=ZAQE=90°,

???LDPQ是等腰直角三角形,

：.DP=42PQ;

???②正確；

延長(zhǎng)EB到使EB=BM,

VZQCD=45°fZDQC=60°f

：.ZQDC=75°,

：.ZADQ=150,

丁/PDQ=45。,

???ZPDA=30°f

,/ADAP注ACBE,

：.NEC5=30。，

???ZCEB=60°,

?；EB=BM,CBLEM,

：.CE=CM,

△CEM是等邊三角形，

；?DP=CE=EB=2EB

???③正確；

???/。。尸=180。-/尸。4ZQAE=45°>ZPQAf

J180。-450Vl800-NPQA,,

AZCQP>135°,

???④正確；

故答案為：②③④.

【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定

和性質(zhì)，三角形的全等和性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)，三角形的全等，

判定兩個(gè)核心三角形的形狀是解題的關(guān)鍵.

io.A

10

【分析】將△?；?。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CD與CB重合，得ACBF],且4

CBI^=ACDF,將4相D繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AD與AB重合，得AABF2f且4

ABF23AAFD，再證明△CEF=ACEF1,△AF2E=AAFE,△BEFi=\BEF2,根據(jù)S^EC+S如FC

二S四邊形明CE=SbCEF\+S&BEF1求解即可.

解:將△。回。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CD與CB重合，得△。56，且4CB耳二AC。尸，

將44山繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AD與AB重合，得^ABF2,且^ABF23AAFD,

.?.DF=BF]=BF2

連接班，理

VZECF=45°,

：?NDCF+NBCE=45。,

：.ZBCE+ZFiCB=45\

即：ZFiCE=ZFCE=45°,

?.?CF、=CF,CE=CE,

:.△CEF=ACEFi(SAS),

：.EF=EFl

同理可得：△AF?E=\AFE(SAS),

：.EF=EF2,

：.EF2=EF、,

*.*BF、=BF2,BE=BE,

：./\BEFX=ABEF2(SSS),

,?S2EC+^ADFC，

-q

一口四邊形8號(hào)CE

-aV+V

一\CEFx丁^\BEF}

二萬(wàn)［(SACEF+SACER)+(SABE/^+^ABEF2)J

=2(S五邊形-S四邊形4%所)

二耳(S正方形ABC￡>_ZS^AEF)

=-(12-2X-)

25

3

10

故答案是：京3

【點(diǎn)撥】本題考查了運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì),

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

11.36

【分析】延長(zhǎng)BE,過(guò)點(diǎn)A作AO垂直于BE的延長(zhǎng)線，在A。上截取AO=DE,通過(guò)證

明可得ZOCP=45°,利用半角模型可得OF=OA+BF,在RtAODF中應(yīng)

用勾股定理可得。尸2=。尸2+“2,設(shè)4。=。￡=無(wú)，利用方程思想即可求解.

解：如圖，延長(zhǎng)BE過(guò)點(diǎn)A作A。垂直于BE的延長(zhǎng)線，在AO上截取AO=。石,

VZACB=90°,AC=BC,

???四邊形AC8D是正方形，

AAC=AD,/OAC=/EDA,

???AO=DE9

???AOAC^EDA，

：.ZDAE=ZACO,

：.ZDAE+ZAOC=AACO+AAOC=90°,

???APLOC,

???ZAPC=45°,

???NOCP=45。，

將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到△O5C,則fFCdOFC,

：?OF=OA+BF,

設(shè)AO=DE=x,

在RtaODb中，OF2=DF2+OD1,

即(尤+1)2+32=(%+2)2,解得了=3,

,,AE=VDE2+AZ)2=A/32+62=3A/5,

故答案為：3行.

【點(diǎn)撥】本題考查正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，合理

應(yīng)用半角模型和方程思想是解題的關(guān)鍵

12.-

2

【分析】由旋轉(zhuǎn)可得=/EDM為直角,可得出/￡叱+44。尸=90。，由

ZEDF=45°,得到NMD廠為45。，可得出NED尸=4/DF,再由利用SAS可得

出三角形。跖與三角形地/全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出￡F=叱；則可得

到AE=CM=1,正方形的邊長(zhǎng)為3,用AB-AE求出EB的長(zhǎng),再由3C+CM求出BM的長(zhǎng)，

設(shè)EF=MF=x,可得出班在直角三角形BEF中，利用勾股

定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為灰的長(zhǎng).

解：ADAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCM,

ZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,

:.F,C、M三點(diǎn)共線，

:.DE=DM,ZEDM=90°,

:.ZEDF+ZFDM=90P,

ZEDF=45°,

:.ZFDM=ZEDF=45。,

在ADEF和ADMF中，

DE=DM

■ZEDF=ZFDM,

DF=DF

:.\DEF=\DMF(SAS),

:.EF=MF,

設(shè)砂=MF=x,

AE=CM=1,且BC=3,

.?.3M=5C+CM=3+1=4,

:.BF=BM-MF=BM-EF=4-x,

EB=AB-AE=3-1=2,

在RtAEBF中，由勾股定理得=EF2，

即22+(4-x)2=x2,

解得：尤=J

2

LL5

EF=—.

2

故答案為：g.

【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股

定理.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

13.(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)MN?=2BM?+2DN?,理由見(jiàn)分析

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)和2及4沏，推出NB4M=NM4M=45。，利用SAS

即可證明△之2ANM；

(2)由正方形的性質(zhì)和絲母4凡。，推出N3PM=NABP+NA8O=90。，再由(1)

的結(jié)論得到PM=MN,根據(jù)勾股定理即可證明MN?=9〃+/2；

(3)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到則也△AMR,利用全等

三角形的性質(zhì)可得出由NC=90。，NCMN=45?？傻贸鯟M=CN,設(shè)3M=〃，DN=b,

CM=c,貝ljAD=i+c,CD=b+c,進(jìn)而可得出M戶(hù)=。-人，NF=b+a,在RtAM'FN中,利用勾股

定理可求出MN2=2a2+2b2，進(jìn)而可得出MN2=2BM2+2DN2.

解：(1)證明：???四邊形A3CO是正方形，

???ZBAD=90°,

???ZEAF=45°.

/BAM+/NAD=45。,

???4APB2AND,

：.PA=NAf/叢B=/NAD,

JZPAB+ZBAM=45°,

：.ZPAM=ZNAM=45°,

.PA=NA

在“PM和△⑷VM中，|ZPAM=/NAM,

AM二AM

：.XAPM經(jīng)AAW(SAS)；

(2)證明：???四邊形A5CO是正方形，

：.AB=AD,ZABD=ZADB=45°,

???&APB空XAND,

：.PB=ND,ZABP=ZADB=45°,

：.ZBPM=ZABP+ZABD=90°,

PM2=BM2+PB2,

4APM卷4ANM,

：.PM=MN,

：.MN2=BM2+DN2;

（3）解：MN2^2BM2+2DN2.理由如下：

將△4BM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△AB4r.如圖:

過(guò)點(diǎn)AT作M戶(hù)，CO于尸，連接

同(1)可證AAA/N名△,

MN=MN.

VZC=90°,ZCMN=45°,

：.CM=CN.

設(shè)BM=a,DN=b,CM=c,則AD=a+c,CD=b+c,

M'F=AD-AB'=AD-AB=a+c-(6+c)=a-b,

NF=DN+DF=DN+B'M'=DN+BM=b+a.

在.RtAM'FN中,MN2=M'F2+NF2=(a-b)2+(a+b)2=2a