人教B版高二寒假作業(yè)2：平面解析幾何

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2024?山東省?月考試卷）若直線1的一個方向向量為（-2,2門），則它的傾斜角為（）

A.30°B.120°C.60°D.150°

2.（2024?江蘇省南通市?月考試卷）已知直線爪％+4?-2=0與2%-5丫+幾=0垂直，垂足為（l,p）,則m-

Ji+p的值為（）

A.24B.20C.0D.-10

3.（2024?江西省?同步練習）臺球運動中反彈球技法是常見的技巧，其中無旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡單的技法，主

球撞擊目標球后，目標球撞擊臺邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標球沿著理想的方向反彈，

就要事先根據(jù)需要確認臺邊的撞擊點，同時做到用力適當，方向精確，這樣才能通過反彈來將目標球成

功擊入袋中.如圖，現(xiàn)有一目標球從點4（-2,3）無旋轉(zhuǎn)射入，經(jīng)過直線y=1（桌邊）上的點P反彈后，經(jīng)過點

B（5,7）,則點尸的坐標為（）

4.（2024?江蘇省徐州市?調(diào)研試卷）瑞士數(shù)學家歐拉（LecmhardE〃er）1765年在其所著的七角形的幾何學

）一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.后人稱這條直線為歐拉線.已知AaBC

的頂點4（2,0）,8（0,2）,其歐拉線方程為2比一丫一2=0,則頂點C的坐標是（）

A（騁）B.（得）C層崔）D端塔）

5.（多選）（2024?廣西壯族自治區(qū)?模擬題）已知直線心for-y+4—4k=0與圓M：x2+y2-4x-4y+

4=0,則下列說法中正確的是（）

A.直線/與圓M一定相交

B.若k=0,則直線I與圓M相切

C.當k=1時，直線/被圓M截得的弦最長

D.圓心M到直線1的距離的最大值為2/1

6.（多選）（2024?湖南省株洲市?期中考試）已知曲線C的方程為cos。?x2+sin0-y2=sind-cosd,6e

（0,兀），則下列說法正確的是（）

A.當。=卯寸，曲線C為直線

B.當0e（0,臥寸，曲線C為焦點在y軸上的橢圓

C.當866兀）時，曲線C為焦點在x軸上的雙曲線

D.曲線C不可能是圓

7.（2024?浙江省泊主招生題）如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當杯中的水深為

2czn時，水面寬度為6czn,當水面再上升2czn時，水面寬度為cm.

v2

8.（2024?廣東省?單元測試）具有某種共同性質(zhì)的所有曲線的集合，稱為一個曲線系.已知雙曲線的：y-

9=1與雙曲線3有共同的漸近線，雙曲線。2的漸近線方程是，若雙曲線。2還經(jīng)過點M（C,4）,則

雙曲線的離心率為.

9.（2024?湖北省十堰市?聯(lián)考題）已知兩圓/+y2-2%-6y-1=0和/+y2-10x-12y+m=0.求：

（1）小取何值時兩圓外切？

（2）當m=45時，兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.

10.（2024?湖南省岳陽市?期中考試）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢

圓的面積除以圓周率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知在平面直角坐標系式0y中，橢圓C：

冒+，=l（a〉b>0）的面積為2門兀，兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.

（1）求橢圓C的標準方程；

⑵若直線l:y=kx+l與橢圓C交于M,N兩點，過點M作x軸的垂線分別與直線PO,N。交于4B兩點，其中

0為坐標原點，噌=L求k的值.

【拓展提升】

11.（2024?福建省福州市?聯(lián)考題）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)

合百般好，隔離分家萬事休事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，歹牧口，與

J?！猘）2+（y-b）2相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點（x,y）與點（a,b）之間的距離的幾何問題,已知點

MCq,yi）在直線k：y=%+2，點NO2,%）在直線%：y=%上，且MNi4，結(jié)合上述觀點，

J*+31-4）2+J（工2-5）2+y22的最小值為（）

12.（多選）（2024?廣東省梅州市?期末考試）已知圓G：久2+y2=1,圓。2：（久一3）2+（y+4）2=產(chǎn)&>

0）,則（）

A.若圓G與圓無公共點，貝|0<r<4

B.當r=5時，兩圓公共弦所在直線方程為6比一8y-1=0

C.當丁=2時，P、Q分別是圓Cl與圓C2上的點，則|。、|的取值范圍為[2,8]

D.當?！磸S<4時，過直線6%-8y+產(chǎn)-26=0上任意一點分別作圓Ci、圓C2切線，則切線長相等

13.(2024?天津市市轄區(qū)?期中考試)己知&、尸2分別為當+與=l(a>b>0)橢圓的左、右焦點，過F2的直

。b

線與橢圓交于P、Q兩點，若Q&-QP=|PQ|,電=3碗，則N&PQ=,橢圓的離心率

為.

14.(2024?浙江省?單元測試)已知動圓P的圓心。在丫軸的右側(cè)，圓P與y軸相切且與圓C：x2+y2=2%外

切.

(1)求動圓圓心P的軌跡E方程；

(2)過圓心C作直線1與軌跡E和圓C交于四個點，自上而下依次為4MMB,若|4M|,|MN|,成等差數(shù)

列，求直線1的方程；

15.(2023?陜西省西安市?模擬題)如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為門，左、右頂點分

別為4、B.曲線C是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為g的橢圓，設P在第一象限且在雙曲

線上，直線8P交橢圓于點M,直線4P與橢圓交于另一點N.

(1)求橢圓及雙曲線的標準方程；

(2)設MN與x軸交于點T,是否存在點P使得益=2孫(其中孫，孫為點P,7的橫坐標)？若存在，求出P點

的坐標，若不存在，請說明理由.

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了直線的方向向量(平面)，直線的斜率和傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，求出直線的斜率，從而得出結(jié)果.

【解答】

解:依題意，(-2,2，耳)是直線/的一個方向向量，

所以直線1的斜率k=-^3,

所以直線I的傾斜角為120。.

故選艮

2.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查兩條直線垂直的判定，直線的交點等知識，屬于基礎(chǔ)題.

由互相垂直可知，兩直線斜率相乘為-1,由此可把ni求出(易知根不為0),再把點P代入直線，可把p值求

出，再把求出后的p點代入另一直線中，九也就求出了.

【解答】

解：因為直線：7nx+4y—2=0與直線：2x-5y+n=0互相垂直，

則mx2-4x5=0解之，得：m=10

又因兩直線垂足為P(l,p)則10+4p-2=0

解得：p——2

將P(l,-2)代入直線：2x-5y+n=0

則2+5x2+幾=0

解之得：n=-12

所以m—n+p=10—(-12)+(-2)=20

故答案為20.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查應用數(shù)學知識解決生活中問題的能力，學生應該根據(jù)題意聯(lián)系所學，運用相關(guān)的數(shù)學知識，合

理構(gòu)建數(shù)學模型.

求2點關(guān)于x軸的對稱點A,由題意可知4,B,P三點共線，利用斜率公式，即得解.

【解答】

解：設P(x,l),4點關(guān)于y=1對稱的點4(一2,-1),

1-(T)一27-(-1)_8

則心，px-(-2)-x+2'4%5-(-2)=7'

由題意，4,B,P三點共線,

'''kA'P=kA'B>即展=￡，解得％=I，

故P點的坐標為0).

故答案為：(-/,0)

4.【答案】a

【解析】【分析】

設出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出4B的垂直平分線，和歐拉線方

程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點C的坐標.

本題考查直線方程的求法，訓練了直線方程的點斜式，考查了方程組的解法，是基礎(chǔ)的計算題.

【解答】

解：設C(ni,?i),由重心坐標公式得，

三角形4BC的重心為(竽,竽)，

代入歐拉線方程得：2X——2=0,

整理得：2m-n-4=0①

AB的中點為(1,1),kAB==—1,

的中垂線方程為y-1=x-1,即丫=乂.

聯(lián)立《二：-2=。,解得

???△48。的外心為(2,2).

貝U(zn-2)2+(n-2)2=4,

整理得：m2+n2—4m—4n+4=0②

聯(lián)立①②得：m=71=學或租=2,71=0.

當租=2,荏=0時4C重合，舍去.

???頂點C的坐標是售,引

故選：A.

5.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓中的最值問題，圓的弦長公式等知識，屬于中檔題.

A由直線I過(4,4),再判斷(4,4)與圓的位置關(guān)系即可；利用圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判斷；C.判

定直線/的方程是否過圓M的圓心即可；D.結(jié)合圓的性質(zhì)分析出何時取得最大值，再結(jié)合兩點間的距離公

式即可求出結(jié)果.

【解答】

解：M：x2+y2—4%—4y+4=0,§P(x—2)2+(y-2)2=4,

是以(2,2)為圓心，以2為半徑的圓，

A因為直線1：kx—y+4—4k=0,直線1過(4,4),+4之—4x4—4x4+4＞0,

則(4,4)在圓外，所以直線2與圓M不一定相交，故A錯誤；

B.若k=0,則直線小y=4,直線］與圓M相切，故B正確；

C.當k=l時，直線［的方程為x-y=0,過圓M的圓心，

即直線/是直徑所在直線，故C正確；

。由圓的性質(zhì)可知當過圓心(2,2)和點(4,4)的直線與直線I垂直時，圓心M到直線I的距離最大，

此時最大值為，(2-4尸+(2-4尸=2/2故D正確，

故選：BCD.

6.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題主要考查圓的方程，雙曲線方程，橢圓方程，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圓的方程，雙曲線方程，橢圓方程的特點，逐項判斷即可.

【解答】

解：A選項：當0=1時，曲線C的方程為必=0,即y=0,故曲線C為直線，正確；

B選項：當86(0,J)時，方程可化為+"亳=1,

由cos。＞sin。＞0,可知曲線為焦點在y軸上的橢圓，正確；

C選項：當?！?號,71)時，方程可化為二-萬+=1,

由sin。＞0,cos0＜0,可知曲線為焦點在K軸上的雙曲線，正確；

D選項：當e=J時，方程可化為三+三=1,

4sin0cos0

由sin。=cos。=苧，可知曲線為以原點為圓心，以44為半徑的圓，。錯誤.

故選ABC.

7.［答案］6/2

【解析】【分析】

本題主要考查拋物線應用，屬于基礎(chǔ)題.

建立平面直角坐標系，設出拋物線方程，由題意求出拋物線方程，即可求解.

【解答】

解：如圖建立平面直角坐標系，讓拋物線的頂點與坐標原點重合，

則由題意可設拋物線的方程為/=2py(p>0),

由題意可知點(3,2)在拋物線上，

則32=2px2,

所以p=p

所以拋物線的方程為/=

當水面再上升2c?n時，y=4,此時有/=|義4=18,

解得x=±/18=±3/2-

所以此時的水面寬度為6/^(cm).

8.【答案】y=±苧￡；2

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

由題設可得漸近線為李土意=0,即丫=士等X,再根據(jù)漸近線設雙曲線方程，點代入，利用離心率得

解.

【解答】

解：由題設G看Y=1的漸近線為讓者=0,即丫=土?久.

設C2片Yr

將M(y34)代入得4=—5,此時。2卷一條=1,

a2=15,b2=45,c2=60,

2c260〃

e=滔=云=%

解得e—2.

故答案為：y=+^-x,2.

9.【答案】解：(1)由已知化簡兩圓的方程為標準方程分別為：

(%—I)2+(y—3>=11,

(%—5)2+(y-6)2=61—m(m<61),

則圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為/五和，61-zn,

當兩圓外切時，滿足J(5—1尸+(6—3尸=711+V61-m,

解得m=25+10AA1T；

(2)當m=45時，有161—m=4,

則4一E<J(5—1尸+(6—3尸<4+7TL所以兩圓相交，

則兩圓的公共弦所在直線的方程為：%2+y2-2x-6y—1—(x2+y2-10%—12y+45)=0,即4x+

3y-23=0,

圓心M(l,3)到直線4x+3y-23=0的距離d=畢芻!=2,

j42+32

所以公共弦長2=2Vli-4=2^7.

【解析】本題考查圓的公共弦、公切線，圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用配方法，結(jié)合兩圓外切的性質(zhì)進行求解即可；

(2)根據(jù)兩圓公共弦的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式、圓的垂徑定理進行求解即可.

10.【答案】解：(1)依題意有a=2c，解得］扃

所以橢圓C的標準方程是9+號=1.

(2)設+1),NQx2,kx2+1),

由P(l,|),。(0,0)可得直線OP的方程為y=|x.

由點a在直線OP上可設a(刈,|%!),

由N(%2，kx2+1)，。(0,0)可得直線。N的方程為y=紗出x.

由點B在直線ON上可設B(%i，生*!).

y=kx+1

由1?7消去y并整理得(41+3)/+8日—8=0,

正+乃=1

143

ni||,8k—8

則的+"2=一訴'X62=W'

???盟=1,.?.?!為線段BM的中點，

3%!=kX1+l+.1犯+”,

x2

???3xrx2=fcXi%2+12+kX1X2+%i，

即(2k—3)X1X2+%I+x2=0,

,-8(2/c-3)-8k_0

4k'+34k'+3

-24k=-24,解得k=1.

【解析】本題考查橢圓的標準方程，橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，屬于中檔

題.

(1)根據(jù)題意，利用橢圓面積公式及a=2c,a2^b2+c2,即可求得a和6的值，求得橢圓方程；

(2)設時(久1，-1+1),NQx2,kx2+1),由點A在直線。P上可設4(的弓右)，由點8在直線ON上可設

BQ1，依1：；瑪)，將直線I與橢圓聯(lián)立，由搗=1，得4為線段BM的中點，所以3/=k/+1+

把絲母，結(jié)合韋達定理可得k的值.

久2

11.【答案】D

【解析】【分析】

本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進一步結(jié)合圖形將問題

轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題.

根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為點M(x1)yi)到點2(0,4)的距離與點NCx2ly2)到點B(5,0)的距離

和，過點4作4C11］，垂足為C,證明|4M|=|CN|,由|CN|+|NB|2|C8|求目標函數(shù)最小值.

【解答】

解：由已知J*+Qi-鏟表示點到點4(0,4)的距離,

J(久2-5尸+y"表示點NG；2,%)到點B(5,0)的距離，

22

所以J*+(1—41+7(x2-5)+y2=\MA\+\NB\,

過點4作AC14，垂足為C,

因為直線h的方程為x—y+2=0,71(0,4),

所以|"|=w芾

又直線l1.y=x+2與直線l2,.y=x平行，MN1I1，

所以|MN|=禺=2，

所以MN//AC,\MN\=\AC\,

所以四邊形AMNC為平行四邊形,

所以\AM\=\CN\,

2

所以J籽+-4尸+V(x2-5)+y22=\CN\+\NB\,

又\CN\+\NB\>\CB\,

當且僅當C,N,B三點共線時等號成立，

所以當點N為線段CB與直線12的交點時，

22

J比+(%一4尸+V(%2-5)+y2取最小值，最小值為\CB\,

因為過點2(0,4)與直線卜垂直的直線的方程為y=-x+4,

聯(lián)立，廠二可得片=1

(y=X+Z(y=3

所以點C的坐標為(1,3),所以|CB|=J(5—1)2+(0—3)2=5,

22

所以J*+01—4)2+yj(x2-5)+y2的最小值為5,

故選：D.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查與圓相關(guān)的軌跡問題，考查圓與圓位置關(guān)系中的最值問題，考查圓的公共弦、切線長，屬于難

題.

根據(jù)兩圓無公共點可得，圓內(nèi)含或外離，從而求出r的范圍，判斷4錯；

由兩圓的方程作差，即可得出公共弦所在直線方程，判斷8正確；

由r=2,先判斷兩圓位置關(guān)系，進而可得|PQ|范圍，判斷C正確；

求出到兩圓切線長相等的點的軌跡即可判斷。正確.

【解答】解：由題意，圓。1：/+3/2=1的圓心為&(0,0),半徑為1,

圓C2：(%—3)2+(y+4)2=r2(r>0)的圓心為3(3,—4),半徑為r,

則圓心距為IGC2I=J(0—3尸+(0+4尸=5,

4選項，若圓Q與圓。2無公共點，則只需IGC2I>7+1或1661<卜―II，

解得r>6或0<r<4,故A錯；

B選項，若r=5,則圓。2：0—3)2+(y+4)2=25,

由久2+y2—1與(久—3)2+(y+4)2=25兩式作差，

可得兩圓公共弦所在直線方程為6久-8y-1=0,故B正確；

C選項，若r=2,則C2：(x-3/+(y+4)2=4,此時IQC2I=5>2+1=3,

所以圓G與圓相離；

又P、Q分別是圓G與圓上的點，

所以IGC2I—(1+2)W\PQ\<1631+1+2,

即2<\PQ\<8,故C選項正確；

。選項，當0<r<4時，記直線6比一8y+產(chǎn)-26=0上任意一點為PQo，yo),

過P引兩圓Q,C2的切線分別為PA,PB,

由|P4|=|PB|,得|PG|2-1=|pc2『—產(chǎn)，

2222

BPxo+yg—1=s(x0—3)+(y0+4)—r,整理得：6x0-8y0+r-26=0,

可得過直線6x-8丫+產(chǎn)—26=0上任意一點分別作圓G、圓C2切線，則切線長相等，故D正確.

故選BCD.

13.【答案】90°；苧

【解析】【分析】

本題考查橢圓的離心率，考查向量的數(shù)量積求夾角問題，屬于綜合題.

由甌?評=|而|2,得出COSN&QP=禺，即可求出N&PQ=90。；設IF2QI=m,|PF2l=3|尸2(?|=

3m,得出I&F2I=V^|PFi|,即2c=由此即可求出離心率.

【解答】

解：因為甌?評=|而產(chǎn)，

所以|西1|評IcosN&QP=\PQ\2,

所以I祠|cosdiQP=\PQ\,

所以COSN&QP=

所以N&PQ=90°,

因為兩=3碗，

所以設嗎。=m,\PF2\=3\F2Q\=3m,

所以|PF1|=2a—3m,IQF/=2a—m,|PQ|=4m,

在RtAP5Q中，|PFi『+|PQ/=|FIQ|2,

所以(2a-3m)2+(4m)2=(2a—m)2,

所以m=I，

所以|P6|==a,\PF1\=a,

所以△P&F2為等腰直角三角形，

所以|&尸21=即2c=/2a,

所以e=￡=W

a2

故答案為90。；浮

14.【答案】解:(1)設動圓P的半徑為r,圓C：(%—1)2+/=1,圓心為C(l,0),半徑為1,

貝|J|PC|=r+1,又圓心P到y(tǒng)軸的距離為r,則圓心P到直線x=—1的距離為r+1,

由拋物線的定義得圓心P的軌跡E方程為拋物線，且§=1，P=2,

故軌跡方程為：y2=4x(%>0).

(2)由圓C的半徑為1可得|MN|=2,|力成等差數(shù)列，

故+\NB\=2\MN\=4,又|力M|+\NB\=\AB\-\MN\,\AB\=6,

若直線l垂直于x軸,則|2B|=4,不滿足題意，

故直線/的斜率存在且不為0,

設直線/x=my+l(mK0),4(%力),股孫玉2)，

24

聯(lián)立｛；2==7+1，Wy-4my-4=0,由韋達定理有%二1M

所以=J1+nt2J(%+丫2)？_4yly2—V1+m2-V16m2+16=6,

解得病=i,m=土苧，此時/>0成立，

所以直線/的方程為x=±苧丫