絕密★考試結束前

2025屆濟寧市高三考前押題聯(lián)合檢測

數(shù)學

考試時間：120分鐘滿分：150分

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

己知集合"={°，2,4,6,8},N力卜-3日N

1.,則M=()

A.{2,4}B.{2,6}C.{0,2,4}D.{2,4,6}

rr

2.已知向量。=（九,2）,人=（百,一1）,若?！ㄘ?，則”b=()

A.373B.6C.9D.6A/3

/1、6

3.在展開式中，/的系數(shù)為（）

A.20B.10C.-10D.-20

4.在直角梯形ABCD中，AB//CD,ZABC=9Q°,AB=1，BC=2,CD=3,若將直角梯形

ABC。繞直線A3旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）

25兀26兀28兀29”

A——B.——C.——D.——

3333

2

5.已知函數(shù)/"（x）=——則下列是奇函數(shù)的是（）

3—3

/(x+2)+1B./(x+l)-1

A.

C./(x+2)+3D./(x+l)-3

X2,2

6.已知雙曲線C：匕=l（a〉O）的左、右焦點分別為《，區(qū),4為。上一點，C的兩條漸近線

16

4

方程為y=±§x,若|曬|=7,則|5|=()

A.1B.13C.1或13D.2或14

7.已知角a頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點人（機,3帆）（加字0）是角a終邊上一點,

則cost2a一：

)

A④11D.叵

A.--------B.------C.—

10101010

8.已知%>0,>0,且町+2>2-36=0,則犯之的最大值（）

A.12B.6?C.36D.24m

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)4=l+2i,Z2=—2+i,貝!]()

A.㈤玉1B.復數(shù)2理2在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限

C.Z]=iz2D.4的虛部與Z2的虛部之和為3

10.設函數(shù)/(%)=%3-3%+2,則()

A.了（九）有三個零點

B.了（%）在區(qū)間（—1,1）上單調(diào)遞減

點（0,/（0））為曲線y=/（x）的對稱中心

D.當x>l時，/(x+l)+/(x)>4

11.拋物線具有以下光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸.該性質(zhì)在實際生

產(chǎn)中應用非常廣泛.如圖，從拋物線V=8%的焦點p發(fā)出的兩條光線匕分別經(jīng)拋物線上的A,3兩點

反射，已知兩條入射光線與X軸所成銳角均為。，兩條反射光線"和〃之間的距離為d,則（）

JT

A.d隨e的增大而減小B.若d=8,則e=—

3

C.若三角形△腦尸面積為S,則S=2dD.無論夕取何值，直線恒過定點(—2,0)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，若4=2,%=44，則數(shù)列｛4｝的前9項和為.

3v,x<2

13.已知函數(shù)/(無)=<

/(x-2),x>2

14.己知銳角三角形中，內(nèi)角A3,C的對邊分別為a,b,c,若si/B+sin2c=

feinA=sinB+sinC,則實數(shù)k的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在三棱柱ABC—4與。1中，平面ACGA，AB=1,

(1)證明：\CLBC,；

(2)若幺AC=60。，求平面A3G與平面Bq4所成角的正弦值.

16.近年來，戶外運動越來越受到人們的重視，某市對高中學生是否喜歡戶外運動進行了一個隨機調(diào)查,

調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示：

喜歡不喜歡合計

男生75X80

女生2515y

合計10020120

(1)求x,y；

(2)依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認為該市高中學生是否喜歡戶外運動與性別有關？

(3)以樣本頻率估計概率，在全市高中學生中抽取10名同學，記其中不喜歡戶外運動的學生數(shù)為X.求

隨機變量X的數(shù)學期望E(X)和方差D(X).

n(ad-bc\

附：z2--------6二————乙丁----7，其中〃=+.

a=P^/'1>k)0.10.050.010.001

k2.7063.841663510.828

17.在平面直角坐標系xOv中，橢圓C：l(a〉6〉0)的右頂點為4(1,0),上頂點為B,離心

a2b2

率為二一.

3

(1)求C的方程；

(2)設M是曲線C上位于第一象限的任意點.

.一13

⑴若。一，求點”的坐標；

2

(II)記點河關于原點。的對稱點為河'，求四邊形的面積的最大值.

3

18.已知函數(shù)/(x)=lnjc+a?—x—Q的圖象在點(I"⑴)處的切線與直線/：x+y=0垂直，記

g(x)=eV(x).

(1)求實數(shù)a值;

(2)證明：g(x)有兩個極值點;

1

⑶證明：當/(石)=_/(%2)，時，tan?-In(tan?)->0

2cos2f4

19.設加，〃為整數(shù)，且加之〃之4.已知集合S={1,2,.，m},集合A為S的一個含有〃個元素的子集.

(1)設爪=6,〃=4,寫出2個不同的A,使得A中任意2個元素之差都不等于另2個元素之差；

⑵設m=2"，A={G，4,3={4也，…，2}1S,且卬<4+1，bt>bM,

n

i=l,2,,77-1,證明：若AB=0,則用=心

?=1

%+3

(3)設集合。=亳4,證明：若2n<m<巴=,則A中存在4個元素4,出,%，為，且C中存在

4

a,+a,a3+%

4個元素q,C2,Q，。4,使得仁

q+Q

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合"={°24,6,8},N4卜-3區(qū)2},則知N=()

A{2,4}B.{2,6}C,{0,2,4}D,{2,4,6}

【答案】A

【解析】

【分析】通過解不等式化簡集合N,再進行集合的交運算.

【詳解】因|%-3|<2,所以—2Wx—3W2,解得

故N={x|lKx<5},

所以MN={2,4},

故選：A.

1r

2.已知向量a=(x,2),1>=(亞-1),若a〃b，貝U。一%=()

A.3GB.6C.9D.6A/3

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量共線求得X,進而由向量的坐標運算求得a的坐標，可求模.

x_2

【詳解】因為?！ㄘ?，所以7H解得x=—2月,

°式一26,2),所以a-b='3月,3),所以卜-6卜6.

故選：B.

/1、6

3.在x-爐的展開式中，力的系數(shù)為()

I)

A.20B.10C.-10D.-20

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)展開式的通項公式可求一的系數(shù).

(1丫6-2

【詳解】T.+1=Ct/「-X3=J(-I);'X丁，

I)

23

令6—§r=4,所以r=3,此時/的系數(shù)為c：(—1)=—20,

故選：D.

4.在直角梯形ABCD中，AB//CD,ZABC=9QP,AB=1，BC=2,CD=3,若將直角梯形

ABC。繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為()

25兀26兀28兀29n

A.-----B.-----C.-----D.-----

3333

【答案】C

【解析】

【分析】明確旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后根據(jù)體積公式計算即可.

【詳解】容易知道形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是一個底面半徑為r=2,高為4=3的圓柱的體積減去一個底面半

徑為r=2,高為a=2的圓錐的體積,

唳=7tr~hy=7ix4x3=127i,

兀產(chǎn)生=gx兀x4x(3—1)=F，

所以旋轉(zhuǎn)體的體積V=唳—腺=12?！?手

故選：c.

D

2

5.已知函數(shù)/(x)=,則下列是奇函數(shù)的是()

3—3”

A-f(x+2)+g，(x+i)T

B.

C./(x+2)+3D.+3

【答案】B

【解析】

【分析】分別求得定義域，由定義域不關于原點對稱,可判斷AC；BD定義域關于原點對稱，進而令

g(x)=/(x+l)-1,利用奇函數(shù)的定義計算可判斷B,2

令g(無)=-3,利用奇函數(shù)的定義計算可

3—36

判斷D.

2

【詳解】因/(%)=(xwl),

3—3、

1?1

對于A,f(x+2)+-=——+-(x^-V),定義域不關于原點對稱,

33—3T3

所以/'(x+2)+g不是奇函數(shù)，故A錯誤;

221if1+3]

對于B,所以/(x+l)=(xwO),則〃x+l)

313Al3(1333(1-3工

7

令g(x)=/(x+l)-：1門+3n

XHO),定義域關于原點對稱,

3311-3工

7

11+3,I

g（-x）=W1=-g（x），所以B正確；

-ly

2

對于c,/（x+2）+3=+3（x^-l）,定義域不關于原點對稱,

3—3

所以/■（九+2）+3不是奇函數(shù)，故C錯誤；

2

對于D,所以/(x+l)=「^(xwO),則/(x+1)—3=-----3

3—33—3A1

令定義域關于原點對稱,

3—3

g(r)=jx+i.2x3*°c6c6

-3=—-----3=2+—---3=—-1W_g(x)，

vvx

J—33-33-33-3

所以/（尤+1）—3不是奇函數(shù)，所以D不正確；

故選：B.

22

6.已知雙曲線C：二—2L=1.〉O）的左、右焦點分別為《，F(xiàn)2,M為C上一點，C的兩條漸近線

a16

方程為y=±gx,若|g|=7,則|M耳卜（）

A.1B.13C.1或13D.2或14

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件求出。的值，再利用雙曲線的定義可得.

4

【詳解】因為雙曲線的兩條漸近線方程為y=±gx,所以a=3,c=5,

根據(jù)雙曲線定義，|上明|—囚里|=±6,I"用=|加閭±6=7±6

解得|孫|=13或1,又a=2,所以|咋|=13.

故選：B.

7.已知角々的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點人（相,3皿）（機/0）是角a終邊上一點，

貝|cos12a一：卜（）

ii

_V2B.——C.—V2

"To-1010w-

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的定義可得tana=3,進而可求得sin2a,cos2a,利用兩角差的余弦公式可求得

cos1—：J的直

0tancy?x44

【詳解】由題意可得，tan6Z=—=3,所以sin2o=----j=--=

m1+tan。1+35

.1—tan2a1—324

cos2a=-------=---7-=——

1+tancc1+35

V2（nV2

（cos2i+sin2i）215廠10

故選：A.

8.已知%>0,y〉。，且盯+2>2-36=0,則孫之的最大值（）

A.12B.676C.36D.24指

【答案】D

【解析】

36

【分析】由條件盯+2/-36=0得%=亍-2y,代入孫?再運用均值不等式即可求出孫2的最大值.

【詳解】由盯+2/2—36=0,得y（x+2y）=36,則％=i_2,,

因為x>0,y>0,所以孫2=y2—~2y=y（36-2y2）=Jy2（36-2y2）（36-2y2）

=^x4/（36-2/）（36-2/）心=24^

八>

當且僅當y=?,x=4卡時等號成立,

所以孫2的最大值為24布，

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復數(shù)Z]=1+2i,z2=—2+i,則()

A.|zj=|z2|B.復數(shù)z-在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限

C.Z[=iz2D.Z]的虛部與z2的虛部之和為3

【答案】ABD

【解析】

【分析】計算|引團即可判斷A,計算Z]Z2即可判斷B,計算iZ2即可判斷C,根據(jù)題意得4的虛部與Z2的

虛部即可判斷D.

【詳解】由題意得，閔=，五7=石，㈤="斤=逐，所以團=岡，故A正確；

因為乎2=(1+2。(—2+i)=T—3i,其對應點(-4,—3)位于第三象限，故B正確；

因為iz2=i(-2+i)=—l—2i,故C錯誤；

2i的虛部為2,Z2的虛部為1,虛部和為3,故D正確；

故選：ABD.

10.設函數(shù)/(X)=丁一3X+2,則()

A.八%)有三個零點

B.〃力在區(qū)間(-U)上單調(diào)遞減

C.點(0,/(0))為曲線y=/(x)的對稱中心

D.當l>1時，/(x+l)+/(x)>4

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A選項：對函數(shù)因式分解，令其為0求根，確定零點個數(shù)；對于B選項：先求導，再令導數(shù)

小于0,解不等式得單調(diào)遞減區(qū)間；對于C選項：計算/(%)+/(-X),根據(jù)中心對稱性質(zhì)判斷；對于D選

項：令導數(shù)大于0,解不等式得單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷式子大小.

【詳解】對于A,因為/(%)=/一3%+2=/一兀一21+2=%(X+1)(%—1)一2(%—1)

=(x-l)^x2+x-2)=(x-l)(x+2),

令〃x)=0得：x=—2或x=l,〃x)有且僅有兩個零點，故A錯誤；

對于B,7'(x)=3(x?—1),由/'(x)<0得：xe(-l,l),

所以/(九)在區(qū)間(—1,1)上單調(diào)遞減，故B正確；

對于C,/(0)=2,因為/(%)=d一3九+2,/(-X)=-X3+3%+2,

所以〃x)+/(—九)=4,所以曲線y=/(x)關于點(0,2)中心對稱，故C正確；

對于D,r(x)=3(f_i),由r(%)>o得：X<—1或%>i,

所以/(龍)在區(qū)間°,+。)上單調(diào)遞增，

故當%>i時，y(x)>/(i)=o,

又x+l>2,所以/(x+l)>/(2)=23-3X2+2=4,

所以/(X+1)+/(X)>/(2)+/(1)=4,故D正確.

故選：BCD.

11.拋物線具有以下光學性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸.該性質(zhì)在實際生

產(chǎn)中應用非常廣泛.如圖，從拋物線V=8%的焦點廠發(fā)出的兩條光線。，匕分別經(jīng)拋物線上的A,B兩點

反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為。，兩條反射光線a'和〃之間的距離為d,則()

OFX

兀

A.d隨6的增大而減小B.若d=8,則。=—

3

C.若三角形A4族的面積為S,則S=2dD.無論。取何值，直線恒過定點(-2,0)

【答案】ACD

【解析】

Q

【分析】根據(jù)拋物線的焦點弦性質(zhì)求得1=——，然后根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性判斷A,利用特殊角的正切

tan。

值計算判斷B,結合焦點弦性質(zhì)及二倍角正弦公式，利用三角形面積公式求得S.F=弋即可判斷C,

tan6*

11八

設直線A6的方程為尤=沖+/,與拋物線方程聯(lián)立，韋達定理，利用廠+二=0列式求得/=-2,即

KAFKBF

可求出直線恒過定點(-2,0)判斷D.

44

【詳解】對于A,由［4刊=,|叫=得,

1+COS。1-COS。

d=(\BF\-\AF\)sin08,因為tan6>0,在［o，T)內(nèi)是增函數(shù),

tan<9

Q在嗚

所以d=——內(nèi)減函數(shù)，故A正確;

tan。

8TT

對于B,由tan8=—=l得,。二，故B錯誤;

8

對于c,=||AF||BF|sin(n-23)=^\AF\\BF\sin23=

-X--—X---Xsin29=—

21+cos。1-cos。tan<9

Q

又4=——，所以S=2d,故C正確;

tan。

對于D,設直線AB的方程為1=沖+乙且B(x2,y2),

x=my+t。

由<2"得，y'-8my-8?=O,所以%+%=8根，%%=一次，

U=8%__

11_玉_2—2)(%+%)_c

乂-----r-----=----------1----------=------------------------------------=U,

kAFkBF%%X%

所以2機x(—8。+(/—2)*8%=0,解得：t=-2,所以直線A3的方程為％=陽一2,

其恒過定點(—2,0),故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設數(shù)列｛a,｝是等差數(shù)列，若q=2,%=44，則數(shù)列｛&｝的前9項和為.

【答案】126

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差，進而利用等差數(shù)列的前〃項和公式可求解.

【詳解】設公差為d,則4=2+（"—l）d,

因為。7=4。2，所以2+6d=4（2+d）,解得：d=3>

所以4=3〃—1,品=%…J=9(2+26)=

22

故答案為：126.

yx<2

13.已知函數(shù):2）,x〉2

【答案】3百

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出=百，再求出/（次）即可.

故答案為：3百

14.己知銳角三角形中，內(nèi)角A3,C的對邊分別為。，b,c,若sii?B+sin2c=4sin2A，

feinA=sinB+sinC,則實數(shù)上的取值范圍是.

【答案】［""2行

I2」

【解析】

【分析】利用正弦定理得鏟+02=4片，即A不是最大角，不妨設bNc,得52</+02,b<a+c,設

—=2cosO,—=2sin，，解得sin。的范圍，又左=2（sin6>+cos。），利用三角函數(shù)即可求解.

aa

【詳解】因為si/B+sin2c=4sin?A，由正弦定理得A+c?=44,

所以A不是最大角，不妨設62c,則b<a+c,

b

設一=2cos6,—=2sin6,

aa

cos3>sin?>0

2cos3>1解得逅

所以《<sin。<，

2cos。<l+2sin。2

4cos2。<l+4sin2^

假設sin4=手，所以

.sinBsinCbc々c。./八兀、

又因為k--------1--------——I——2(sin0+cos0j—2。2sin0H—,

sinAsinAaaI4J

(TTITIJTJT

又因為?！?,丁，所以e+丁￡4+了,力，

(4」4I42_

所以k=2jisin［，+：］在［為+［,方上單調(diào)遞增，所以ke墾普,2枝.

故答案為/"”2行.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在三棱柱ABC—A31cl中，AB1?平面ACCIA，AB=1,AC=AAl=43.

(1)證明：4c15Ci；

(2)若ZAAC=60。，求平面ABC1與平面3GA所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

V130

13

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)A3,平面ACC14,得出線線垂直再根據(jù)線面垂直判定定理得出4C，平面

ABC,,進而得出線線垂直；

(2)建立根據(jù)直角坐標系得出平面ABC1與平面8G4的法向量，再根據(jù)二面角余弦公式計算，最后應用

同角三角函數(shù)關系求正弦即可.

【小問1詳解】

因為A3,平面AC￡A，［Cu平面ACGA

所以A3,AC,

由4。=朋=也，四邊形為菱形，連接AC】，

所以A￡_L4C，又A3CAG=A,AB,AC}u平面ABC］，所以A。，平面ABC-BQu平面

ABCX,

所以AC，3cl.

【小問2詳解】

取線段AC的中點。，連接A。，因為AC=A4=g,△4AC為等邊三角形，

所以ADJ_AC,又因為A3,面AC￡A，所以A3,4。，

且ABcAC=A,所以4。，面ABC

故以A為坐標原點，AB,AC所在直線分別為x,y軸，過點A且平行于直線4。的直線為z軸建立如

圖所示的空間直角坐標系,

。，乎I；A[O,A/3、

所以A（0,0,0）,5（1,0,0）,C（0,A/3,0）,QJ

則叫=卜,先,叫=卜,手：,

/39、

由（1）知，平面ABC1的法向量々=A。=0,~~~，二，

22

7

設平面3G4的法向量%=（x2,j2,z2）,

3

-%2+%+5z?=0

BA^?%=02

則..即V

BC],%=0旦3八

_%2+%+-z2=0

2

取Z2=2,得巧=（3,0,2）.

-3

所以cos%,%=

,?、鑎/3xV1313'

設平面ABC,與平面5GA所成的角為6，所以sin，=Vl-cos2^=巫。

13

故平面ABC,與平面5GA所成角的正弦值為（p.

16.近年來，戶外運動越來越受到人們的重視，某市對高中學生是否喜歡戶外運動進行了一個隨機調(diào)查,

調(diào)查的數(shù)據(jù)如下表所示:

喜歡不喜歡合計

男生75X80

女生2515y

合計10020120

(1)求無，y；

(2)依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，能否有99.9%的把握認為該市高中學生是否喜歡戶外運動與性別有關？

(3)以樣本頻率估計概率，在全市高中學生中抽取10名同學，記其中不喜歡戶外運動的學生數(shù)為X.求

隨機變量X的數(shù)學期望E(X)和方差D(X).

n(ad—be7

附：Z2其中〃=a+〃+c+d.

(o+))(c+d)(o+c)(b+d)

a=P^x2>k)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

【答案】(1)x=5,y=40

(2)有99.9%的把握認為高中學生是否喜歡戶外運動與性別有關

⑶E(X)=g，D(X)=f|

【解析】

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表即可求解；

(2)計算/2,根據(jù)獨立性檢驗即可求解；

(3)由題意得不喜歡戶外運動的學生的概率P,根據(jù)二項分布即可求解.

【小問1詳解】

由題意知，75+x=80,25+15=y,所以x=5,y=4。；

【小問2詳解】

零假設“。：該市高中學生是否喜歡戶外運動與性別無關，

由(1)知，2x2列聯(lián)表如下:

喜不喜合

歡歡計

男

75580

生

女

251540

生

合

10020120

計

n(ad-bc)一120(75x15-25x5)2

/、/、/、/、-----------------乙=18.75〉10.828,

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)100x20x40x80

所以有99.9%的把握認為高中學生是否喜歡戶外運動與性別有關;

【小問3詳解】

由題意得，不喜歡戶外運動的學生的概率為p=^=g

所以

所以￡(X)=zzp=10x，=9,D(X)=np(l-/?)=10x—x—=—

636618

22

17.在平面直角坐標系尤2y中，橢圓C：4+三=1（?！怠贰?）的右頂點為4（1,0）,上頂點為B,離心

a2b2

率為二一.

3

（1）求C的方程;

（2）設河是曲線C上位于第一象限的任意點.

13

（I）若0M?〃〃=一,求點〃的坐標;

2

（II）記點M關于原點。的對稱點為AT,求四邊形的面積的最大值.

2

【答案】(1)x2+^=l

9

工巫

⑵(I)；(II)30.

2F

7

【解析】

分析】(1)由題意有Z?=l,根據(jù)離心率e=￡

a

一/、-------1313

(2)(I)設點M的坐標為(5,%)，其中％>0,%>0,由。用工/二耳得?-9一5+%9?彳，又

2

點〃在橢圓上，即片+吃=1,進而得解;

(H)在(I)的條件下，M'的坐標為(—/,—%),則S二^AM5WA+SAMM，B=2s△AOM+/^BOM=3%+Jo，

最后利用基本不等式即可求解.

【小問1詳解】

由題意知，b=l,因為e=￡=」1—與=述,

a\a23

2

所以〃=9,故C的方程為：/+二=1.

9

【小問2詳解】

(I)設點〃的坐標為(％,%),其中天〉。，%>°，且A。,。)，5(0,3),

因為所?13以％02-%+%20=135，

2

因為x；+母=1,所以16君+2%-5=0,

解得/=工(/=—*舍去)，此時為=還，

2802

故點M的坐標為

(II)在⑴的條件下，M'的坐標為(一毛,一%),記四邊形AMBM'的面積為S,則

=

S+S^MM'B=2sAAOM+2sABOM=2x—x3x0+2x—xlxy0=3x0+y0,

由基本不等式得：+6/為+y；W,2(y；+9x；),

V2

當且3%"=%"不

時等號成立,

3A/2

故四邊形的面積的最大值為3五?

18.己知函數(shù)/'(工)=1皿+以2—X—|的圖象在點(1,/。))處的切線與直線/：x+y=0垂直，記

g(x)=el/(x).

(1)求實數(shù)。的值;

(2)證明：g(x)有兩個極值點;

證明：當/(%)=-/(%2)，’e，：］時，tan△In(tan/)-1

(3)+A±^>0

2cos)4

【答案】(1)a=—.

2

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出導數(shù)，利用垂直關系可得答案;

(2)求出g(x),利用導數(shù)判斷單調(diào)性，結合零點存在定理可證明;

(3)先根據(jù)/(%)=—/(9)求出入+々24,再利用換元法結合函數(shù)最值可證結論.

【小問1詳解】

因為/'(X)=—+lax-1,

且曲線/(%)的圖象在點(L/(1))處的切線與直線x+y=o垂直,

所以/'(l)=2a=l,解得a=g.

【小問2詳解】

13所以g(x)=e"/(x)=]lnx+；x2_x__|

因為/(%)-1nx十萬爐-X-—ex

所以/'(%)-\iwc+—x2-\----

令丸(％)=1皿+；工2+工一_|,1⑴=x+：T

令〃(尤)=%3+%—1,y(x)=3x2+1>0,所以P(X)單調(diào)遞增,

又因為p(l)=l,P

—，所以3x0￡

當xe(O,%)時，2(％)<0,//(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減,

當xe(%o，+oo)時，p(x)>0,”(x)>0,人(尤)單調(diào)遞增,

又因為九(1)=—1，/z(2)=ln2>0,h—+—--31n2>0,

2128

所以.?0,%)，x2e(x0,+(x>),使得人(石)=/7(七)=°，

此時人(力有兩個變號零點，所以g(x)有兩個極值點.

【小問3詳解】

因為/(%)=—/(%2)，

所以/(芯)+/(%2)=1叫+萬工；一演一萬+1噸+]考-X2-

J2

=ln(x1x2)+—(xj+x2)-xrx2_(玉+x2)-3=0,

_

所以玉+%)2—(尤1+々)-3=玉%2ln(x1x2).

設‘⑺=x-lnx,“(%)=1-4,

X

當xe(0,1)時,“(x)<0,。⑺單調(diào)遞減,

當X￡（l,+8）時，。（同單調(diào)遞增,

所以。⑴=1,即x-lnx?l，

2

所以g(X]+X2)-(Xj+工2)-3=%/2—111(玉馬)之1,解得X]+x2>4,

1

要證tanr?In(tan%)-+±±玉>0成立,

2cos?4

只需證tan/In（tan。-?」）+l>0,

☆%=tanfe(O,l),所以以%2，=——-——=——

tan/+1x+1

丫+]r2-1

只需證x\wc----------F1=x\wc--------->0

22

￡

即證加(％)=llLX-x-1>0在（0,1）內(nèi)恒成立

2X

因為加（%）=—D<o,所以聯(lián)龍）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減,

\J2尤2

故加(%)>根(1)=0,所以加(x)=ln%-；

>0在（0,1）內(nèi)恒成立,

X

2

r_|_1丫2_]

所以xlnx----------F1=x\nx--------->0,

22

1+%+%

故tan%?In(tan%)一>0

2cos之％4

19.設加，〃為整數(shù)，且加.已知集合S={1,2,.，m},集合A為S的一個含有〃個元素的子集.

（1）設機=6,n=4,寫出2個不同的A,使得A中任意2個元素之差都不等于另2個元素之差;

(2)設m=2”,A={al,a2,---,an},亡=他也,…也}>at<aM,bt>bM,

n

7=1,2,,77-1,證明：若AB=