四川省成都市樹德中學2024-2025學年高二下學期5月階段性檢測數(shù)

學試題

考試時間：120分鐘總分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合要求的.

1.某個彈簧振子在振動過程中的位移（單位：mm）與時間7（單位：s）之間的關系為

c2兀

y——18cos—t

3,則該彈簧振子在片=3s時的瞬時速度是（）mm/s

A.0B.6無C.12兀D.18兀

【答案】A

【解析】

【分析】由題及導數(shù)計算公式可得答案.

2兀

【詳解】由題可得位移y是關于時間/的函數(shù)，且滿足y=s（/）=-18cos號■/,

27r27r

則/=s'（f）=18x—sin—Z=12兀sin—f,則該彈簧振子在r=3s時的瞬時速度是

v'333

5'（3）=12TIsin271=0.

故選：A

2.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最

上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……，設各層球數(shù)構成一個數(shù)列，則第十一層有

（）個球

A.55B.66C.110D.136

【答案】B

【解析】

【分析】由條件觀察相鄰兩層球數(shù)的關系，即可求解.

【詳解】設“三角垛”每一層球的個數(shù)構成數(shù)列{4},

由題意可知，4=1,。2-。1=2,%一。2=3,。4一%=4,。11一。10=11,

、,H4,4+ZP,11x(1+11)

這11項加在一起，得=1+2+3+...+11=—----L=66.

112

故選：B

3.函數(shù)〃尤)的導函數(shù)y=/'(%)的圖象如圖所示，則函數(shù)“X)的極值點個數(shù)為()個

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由導函數(shù)圖象可判斷了'(%)的正負性，進而得出函數(shù)/(x)的單調(diào)性，即可判斷函數(shù)/(尤)的極值

點個數(shù).

【詳解】設y=f'(x)的零點從左到右依次為Xx,X2,X?X,,

則當或工3〈尤<X4時，/'(x)w。；當々或X〉》4時，/'(%)>0，

則/(￡)在(一8,%2)和(%，%4)上單調(diào)遞減，在(九2,%)和(%4,+°0)上單調(diào)遞增，

則/(%)的極小值點為了=々，尤=%,極大值點為X=W，

故函數(shù)/(%)的極值點個數(shù)為3.

故選：C

4.某班級舉行活動，同學們準備了四個節(jié)目：二胡、相聲、小品、舞蹈，現(xiàn)對這四個節(jié)目的出場先后進行

編排，要求相聲和小品相鄰，則不同的編排方式有()種

A.6B.12C.24D.32

【答案】B

【解析】

【分析】運用捆綁法即可求解.

【詳解】依題，可將相聲和小品節(jié)目看成一個節(jié)目，與二胡，舞蹈進行全排，再考慮這兩個節(jié)目的順序，

故不同的編排方式有A；A；=12種.

故選：B.

5.設數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，4=1,4%=36，則/￡=()

A.^3B.3C.6D.9

【答案】D

【解析】

【分析】設數(shù)列公比為q,根據(jù)題設列方程求出q的值，再利用等比數(shù)列通項的基本量運算即得答案.

【詳解】設等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由02a3=4^3=/=36，解得q=石，

則%+延_(4+42)4=g4=9

+a24+4'

故選：D.

6.若函數(shù)/(x)=e，-ax恰有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.I0,ijB.(0,e)C.(e,+co)D.(e2,+(?)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得/'(x)=e*—a,分得aWO和。>0,求得函數(shù)/(%)的單調(diào)性，以及最小值

/(x)min=。一aIna,結合/(x)^<0,即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=e'—ax,可得廣(x)=e、—a,

若aWO,r(%)>0,在R單調(diào)遞增，此時至多有一個零點，舍去；

若a>0,令/'(幻=0,解得x=lna,

當xe(—8,lna)時，fr(x)<0,/(九)在(—oo,lna)單調(diào)遞減；

當xe(lna,+co)時，f'(x)>0,/(%)在(111。,+8)單調(diào)遞增，

所以當x=lna時，函數(shù)取得極小值，也時最小值/(x)而n=/Qna)=a-alna,

又由xf-oo時，/(x)f+oo,且xf+co時，/(x)—+oo,

要使得函數(shù)/(x)=e*-ax恰有兩個零點，則滿足a-alna<0,即lna>l,

解得a〉e,所以實數(shù)a的取值范圍為(e,+co).

故選：C

7.已知數(shù)列｛鞏｝為等差數(shù)列，且數(shù)列｛4｝的前〃項和S“有最大值，若.3+。1014<0，

。1013??1014<0，則S"取得最小正值時，n的值為()

A.1013B.1014C.2024D.2025

【答案】D

【解析】

【分析】由題可知數(shù)列｛%｝是遞減的等差數(shù)列，再由前"項和公式和下角標和的性質即可求解.

【詳解】因為數(shù)列｛&｝的前〃項和S“有最大值，所以數(shù)列｛4｝是遞減的等差數(shù)列，

又4013+“1014<°，a!013'“HH4<°，所以6013>°>%014,

即數(shù)列的前1013項為正數(shù)，從第1014項開始為負數(shù)，

由等差數(shù)列求和公式和性質可知，

_2025/

32025=2(%+%025)~2U23%0]3>。，

2026

q

02026―--(6+“2026)=1O13(4Z1O13+I014)＜。,

所以當s”取最小正值時，71=2025.

故選：D.

8.已知定義在（0,+8）的函數(shù)〃％）,其導函數(shù)為/（%）,（x）+2x2/（x）=Inx,且

/（血）=t，則/⑴（）

A.僅存在最小值B.僅存在最大值

C.既存在最小值，又存在最大值D.既無最小值又無最大值

【答案】D

【解析】

【分析】將題中等式變形為x2/'（X）+2對'（X）=?,可得出口2/四]'=[1112力

,設

x2f（x）=^ln2x+c,c為常數(shù),結合/（血）=（可得出/（尤）=411：+1,然后利用導數(shù)分析函數(shù)

〃力的單調(diào)性，即可得出結論.

【詳解】因為函數(shù)八％）的定義域為（0,+"）,在等式x7'a）+2x2"x）=inx兩邊同除x可得

引，（力+2”）="

叫小W，設心心小小為常數(shù),

因為/（血）=：，即e-7（VT）=e?：=：=；（ln7r）2+c="+c,故c=:,

4In2x+1

所以//(力=x+-故〃x)=

288九2-

4In2x-41nx+l（2比巳1）4o對任意的尤＞0恒成立,

則廣⑺=一

4?4尤3

所以，函數(shù)八力在（0,+。）上單調(diào)遞減，故函數(shù)八了）既無最大值，也無最小值，

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，有二個正確選項的，每個選項3分，有三個正確選項的，每個

選項2分，有選錯的得。分.

(1

9.2A/X--j=的展開式中，下列說法正確的是（)

、yx7

A.展開式共有6項B.各二項式系數(shù)之和為64

C.展開式中f項的系數(shù)為—192D.展開式中系數(shù)最大的項為70x

【答案】BC

【解析】

【分析】由二項展開式的性質可得AB,寫出通項，令廠=1可得C,舉反例令廠=2可判斷D.

【詳解】對于A,由二項式展開式的性質可得，展開式共有7項，故A錯誤；

對于B,各二項式系數(shù)之和為26=64,故B正確；

/

通項為晨（26廠1=(一1)'.晨26Tx3-

對于C,

一忑7

令3—r=2nr=l,代入可得展開式中/項系數(shù)為一或？,=一192,故C正確;

對于D,由通項可得，當廠=2時，C"24X=240X,故D錯誤;

故選：BC

10.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且。2=3%〉0,則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列為等差數(shù)列B.數(shù)列｛點｝為等差數(shù)列

s

C.數(shù)列｛lgSn｝為等差數(shù)列D.數(shù)列1肅j的最小項為1

【答案】ABD

【解析】

【分析】設等差數(shù)列｛4｝公差為d,推理得到d=2%>0,從而求得a“=（2〃—1）%,S“=/q,利用

1

S2]]一

等差數(shù)列的定義對A,B,C項逐一判斷即可，對于D,求出，^二7三二二三⑺-二+上不+口后利用基本

a"2n-l22n—1

2

不等式推理求得數(shù)列的最小項為1即可.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由g=。1+2=3卬〉0,可得d=2q>0.

所以q=a1+(n-l)-(2<71)=(2H-l)(21,

(q+2〃〃]

S——=〃2〃[,

n22

“工AS“n2a

對于A,—=-----}二na，

nnx

ccijS]

由T—_^.=5+1)%—d為常數(shù)，故數(shù)列1為等差數(shù)列，即A正確;

n+1n2In\

對于B，#7二d幾2%二〃而"，

由A/其:一后=5+1)"一〃1=苑為常數(shù)，故數(shù)歹11｛底｝為等差數(shù)列，即B正確;

對于C,lgS,=lg("2al)=21g刀+lgq,

由lgS"+「lgS”=21g5+l)+lga「(21g〃+lg4)=21g(l+3不是常數(shù),

n

故數(shù)列{igSj不是等差數(shù)列，故C錯誤；

1

2

S,r^a.n114八

對于D,因L二^=------L=—(nz—+—v+1),

a(In-1)G2n-1221

nn—

2

11

因“21,n-->—,貝—>2(n--)—=1,即一^21,

2221121a

n——\n—n

212

1

當且僅當〃-二i=」—不時，即〃=1時，等號成立，即數(shù)列上s的最小項為1,故D正確.

2n--⑷

2

故選：ABD.

11.設函數(shù)/(x)=12(》—3),下列說法正確的是()

A.曲線y=/(x)為軸對稱圖形

B./(——1)+/(——2)+/(^3—)+?,+/(40^4^9)+/(2)=-8102

2025202520252025

C.當xe(—g,0)時，/(2-x)</(x)

-2

D.若不等式/(%)-依+4左<0恰有兩個正整數(shù)解，則實數(shù)上的取值范圍為0,j

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,利用對稱軸的定義計算判斷即可；對于B,根據(jù)解析式計算得了(2-%)+/(%)=-4,由

此對所求式進行并組求和，即得；對于C,作差/(2-x)-后利用因式分解和配方法，結合自變量范

圍可推得差小于0即可；對于D,代入左=2,將其分解因式后求出不等式解為％<3—屈或

33

l<x<3+叵因)<3+屈<3,即得此時不等式/(%)—丘+4上<0僅有1個正整數(shù)解，故左=2不

3333

符合要求，即D錯誤.

【詳解】對于A,不妨設曲線y=/(x)有一條對稱軸為直線x=a,

則f(2〃—x)=(2a—X)2(2〃—3—%)=—x3+(662—3)x2——l)x+8^z3—12ti2,

而/Q)=d—3/，顯然/(2〃—%)w/(x),故曲線y=/(x)不是軸對稱圖形，即A錯誤；

對于B,因/(2—%)+/(%)=(2—x)2(-x-l)+x2(x-3)=(x2-4x+4)(-%-1)+x3-3x2=-4,

1234049

則/(——)+/(——)+/(——)+'+/(--)+/(2)

2025202520252025

1404924048202420262025

=[/(——)+/(-^^)]+[/(——)+/(^^)]++[/(^^)+/(^-^)]++/(2)

2025202520252025202520252025

=-4x2024+(-2)+(-4)=-8102,故B正確；

對于C,由/(2—%)—/(%)=(2—x)2(-%-1)-X2(X-3)=-2X3+6X2-4=—2(%-l)[(x-I)2-3],

ii3

因一一”時'-KO,K(x-l)^3<(---l/-3=--<0,故小—故C正確;

228

對于D,不妨取左=§,則不等式為9―3f一§x+§<0,整理得：(%-1)(3/—6x—8)<0,

3+底

即(x_l)(x_3+『)(x_<0,解得》<3一尸或1<X<----------'

3

因§<3+733<3故此時不等式f(x)-依+4左<0恰有一個正整數(shù)解為2,不合題意,

33

-2

故實數(shù)左的取值范圍不可能是0,-,即D錯誤..

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若囚=2g,S5=—，則q=.

16

【答案】1

【解析】

【分析】由題可得公比“=；,然后由等比數(shù)列前〃項和公式可得答案.

【詳解】因等比數(shù)列中q=2%,則公比"=&=；,又S5=q=衛(wèi)%=衛(wèi)=4=1.

2Jbl1

q1616

-2

故答案為：1

13.五名志愿者全部去三個不同的鎮(zhèn)參加志愿活動，每個鎮(zhèn)至少去一名志愿者，則不同的方案有

_____________種.

【答案】150

【解析】

【分析】由題可得，可一鎮(zhèn)三人，另兩鎮(zhèn)各一人，也可兩鎮(zhèn)各兩人，剩下一鎮(zhèn)一人.據(jù)此可得不同方案數(shù).

【詳解】若一鎮(zhèn)三人，另兩鎮(zhèn)各一人，則先從5人中選3人去一小鎮(zhèn)，有C；C；=30種方法，

再安排剩下2人各去一小鎮(zhèn)，有2種方法，則此種安排方式下的方案數(shù)為30x2=60；

若兩鎮(zhèn)各兩人，剩下一鎮(zhèn)一人，則先從5人中選一人去一小鎮(zhèn)，有C；C；=15種方法，

再從剩下4人中選兩人去某一小鎮(zhèn)，則剩下兩人去另一小鎮(zhèn)，因兩組人安排先后順序對結果無影響，

C2cl

則有上=6種方法，則此種安排方式下的方案數(shù)為15x6=90.

2

則總方案數(shù)為150.

故答案為：150

14.已知數(shù)列｛4｝滿足4+。“+1=2”+1,且4=1,則數(shù)列｛“的通項公式為；記

b=Ja~,貝!]!+」++」的值為_____________（其中㈤為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如

b

[4249_

[1.1]=1).

【答案】①.a“=n②.18

【解析】

【分析】由題意。“+2-?！?2,分類討論即可得到,通過放縮得到

18<—+一++—<6A/TT-1<19即可得解

b、b2既

【詳解】因為4+。/1=2〃+1,

所以4+〃2=3,%+i+%+2=2（〃+1）+1=2〃+3,又%=1,

所以。2=2,?！?2-?〃=2,

所以當兒二2左一1,左￡N*時，an-a2k_r=4+2(左一1)二2左一1,

當〃=2k,kwN*時，an=ci2k=a2+2（左一1）=2k,

綜上所述，G〃=〃（〃￡N*）,

J==樂，

122（

注一至」y/ny/n+Gy/n++l=2+1

122

y/ny/n+y/ny/n+J〃+l

所以2（0—1+百—夜++V100-V99）=18<y+^-+

vl+2（0-&++M-項）=6血-1V19,

故—+—++-^—=18.

_仄b2與9_

故答案為：4=〃，18.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=x—alnx-a,aeR,且『'(1)=0.

(1)求”的值；

(2)求/(%)在區(qū)間-,e的值域.

_e_

【答案】(1)a=l

(2)[0,e-2]

【解析】

【分析】(1)利用/"(1)=。可得答案;

(2)利用導數(shù)判斷出了(%)在區(qū)間-,e上的單調(diào)性可得答案.

e

【小問1詳解】

X—n

/(%)的定義域為(0,+8),對/(%)求導，得尸(x)=——，

X

因為r(i)=o,所以。=1；

【小問2詳解】

由⑴知，y,(x)=——-(xe(0,+oo)),

當xe(0,1)時，/(x)<0"(x)單調(diào)遞減，

當xe(l,+oo)時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間-,e上，/(幻在x=l處取得極小值，

e

即極小值為/⑴=o,又

IeJe2

11

〃e)=e-27，所以求/⑴在區(qū)間”值域為[。所2].

16.已知S“是數(shù)列｛叫的前〃項和，且多+年+今++守=2"—1.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)若b“[--------1---------,求數(shù)列也｝的前〃項和

vog,2an-log2tzn+1

【答案】(1)??=22^,neN*

?n

(2)T=------

"n2n+l

【解析】

【分析】(1)利用S,i可得最后一項，再檢驗首項，即可得通項公式;

(2)利用裂項相消法即可求和.

【小問1詳解】

由U%+…+”=2"—1,

2482"

當72=1時，—=2-1=1=>?,=2,

2

當〃22時，可得州+空+幺+…+&=2"T—1,

2482"-1

兩式相減得：*=2'—1—Qi—=所以有%=2?。

q=2也符合上式,

所以a“=22i,〃eN*；

【小問2詳解】

,111

當〃=時，有么==

1r3=

log2ax-log2%log22-log221x3

、,1_______1_______1

2,!-12n+1

當心2時，有"隰凡.12a“+ilog22-log22（2n-l）（2n+l）,

T,,,,1111

所以有4=bl+b2+^+---+^=——++——+_

1x33x55x7（2〃一+

￡111111n

??H--------

2335572n-l2〃+l

17.如圖，在三棱錐P—ABC中，VA3C為等腰直角三角形，△P5C為正三角形，AB=AC.

(2)若BC=J5PA，求二面角P—3C—A的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵國

3

【解析】

【分析】(1)取8c中點為。，求證平面？AO,即可得出；

(2)不妨設以=1,法一，以點A為原點建立空間直角坐標系，計算平面P5c的法向量為〃，再計算

卜os〈”,PA〉|即可求得；法二，易知ZP/M為二面角的P—3C—A的平面角，分別計算R4,PD的長度.

【小問1詳解】

取BC中點為。，連接A。、PD,

因為AB=AC,所以BCLA。，

又△PBC為正三角形,所以3CJ.OP,

又A。DP=D,AD,DPu平面？A。，所以平面B4D,

又？Au平面？AD，所以QAL3C；

【小問2詳解】

法一，不妨設叢=1,

由3C=J5pA，VABC為等腰直角三角形，得BC=PB=PC=e,AB=AC=l，

因為Afi2+Ap2=2=P_fi2，所以A5_LAP，同理，APLAC,

所以A3、AC、AP兩兩垂直，

以點A為原點，分別以A5ACAP所在直線為蒼y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A-孫z,

則A(0,0,0),B(1,O,O),C(O,1,O),P(O,O,1),

則網(wǎng)=(1,0,-1),3。=(-1,1,0)

設平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

PB-n=0fx—z=0

因為《，所以1c，

BC-n=0[t+y=0

不妨令x=l,則y=l,z=l,

所以〃=(1,1,1)為平面PBC的一個法向量,

又平面ABC的一個法向量為AP=(0,0,1),

則芯W(wǎng)'所以疝5,即1-用邛，

由原圖，知二面角P—J3C—A的平面角為銳角，

所以二面角P—3C—A的正弦值為好.

3

法二，由(1)知，NPD4為二面角的P—BC—A的平面角，

不妨設E4=l，

由BC=J5pA，VABC為等腰直角三角形，得BC=PB=PC=叵AB=AC=1，

則「。=走p5=如，可得sin/PZM=^="，

22PD3

故二面角尸—3C—A的正弦值為好.

3

18.己知橢圓rJ+/=1(。＞6＞。)，四點P，6，g)R(6,l)、T(2,0)中恰有三個點

在橢圓「上.

(1)求橢圓「的方程；

(2)過點41,0)作兩條互相垂直的直線小12,直線4交橢圓「于3、C兩點，直線4交橢圓「于。、石兩

點；

(i)設BC中點為M,DE中點為N,證明：直線過定點；

(ii)求一AACV面積的最大值.

【答案】(1)—+/=1

4

(2)(i)證明見解析；(ii)—

25

【解析】

【分析】(1)由對稱性可得R(6,1)不在橢圓上，后由點在橢圓上可得橢圓方程；

(2)(i)若直線h“中任意一條斜率為零時，直線MN的方程為＞=0；若直線紙。的斜率都不為零時，

設直線4的方程為工=沖+1,直線［的方程為％=-工丁+1，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得

m

4m

M27，

m+4m2+4N[E,EJ'據(jù)此可得所過定點…i)由(1)可得

A19

SAMN=~G-\yM-yN\=-然后由f(x)=4x+-(xe[2,+8))單調(diào)性可得最值.

4|機+1]+9x

Im）

m+—

m

【小問1詳解】

由橢圓的對稱性，知R(若,1)不在橢圓上，故P-

代入橢圓方程，貝,可解得a=2力=1,所以橢圓「的方程為二+/=1.

44

b=1

【小問2詳解】

(i)若直線卜4中任意一條斜率為零時，直線的方程為y=0；

若直線八，2的斜率都不為零時，

設直線4的方程為x=my+l(直線4的方程為x=—工y+1),

m

x=my+1

爐聯(lián)立，消去x,得（4+加2）/+2畋—3=0,

—+y=1、'

[4'

A=4m2+12（m2+4）>0

—2m

設8、C兩點的坐標分別為5(%,%),C(9,%)，由韋達定理,得《

進而有二m

m2+4

將「=—以代入直線4的方程為戶沖+1,得x=mA±2i+]=—

2m2+4

4m（4Am2m、

即M,同理，N

m2+4m2+4J+4加2'1+4"，,

44m2

當時，即m2=1，直線軸，直線MN與無軸的交點坐標為,

m2+41+4m2

5m

k

當m2w1時，直線MN的斜率存在，MN=4(”-11

m5m4m25m

直線wv的方程為y-ex----------,整理,得戶而工

4(加之一］)、1+4m,

所以直線MN恒過點］1,0),又直線MN斜率不存在時，直線也經(jīng)過4點,

5

綜上所述，直線"N恒過點

(ii)直線hA的斜率顯然都不為零，設直線經(jīng)過的定點為

m^m2+1)

_19I_11m—m，整理，得S,N=；

Q.AMN251+4m24+m24m4+17m2+4

1

m-\——

mq]

即SAMN=2、2'°.AMN

24|m+^-|+9

4|m+I+9-T

mImm+—

m

9(2%—3)(2X+3)

引入函數(shù)〃％)=)

4%+—(%￡[2,+8),廣(力=2

XX

25

易知/⑴在工￡［2,e)單調(diào)遞增，所以/(%)在］￡［2,+O))的最小值為"2)=1,

11

所以S-AMN<——(等號當且僅當加2=i時成立)，所以的最大值為

21}9~25

~47m-\---H-------

7

I、m)m+,1-

m

1

25

【點睛】關鍵點睛：對于定點問題，?？衫眯甭氏嗟然蛳蛄抗簿€來處理.對于最值問題，常利用適當參數(shù)

表示相關求最值對象，然后由函數(shù)知識，不等式，代數(shù)恒等變形等知識求解最值.

19.已知函數(shù)/(%)=斑"18。)=疣-，+2-其中6為自然對數(shù)的底數(shù)，tzeR.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若不等式/(x)>g(x)在xe(O,+s)上成立，求實數(shù)。的取值范圍;

*[++2)Q2

(3)設〃wN，證明：In-----------<2L/T

2MJk?+2k

【答案】(1)答案見詳解

(2)[l,+oo)

(