線面、面面垂直必刷題型（6大題型44題）

線面、面面垂直必刷題型

一、解答題

1.（23-24高一下?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，已知44口平面NBC,BB^AAj,AB=AC=3,BC=2y/5,AA；=

療，BBi=2百，點(diǎn)E和尸分別為2c和N/C的中點(diǎn).

（1）求證：￡尸||平面////；

（2）求證：直線NE1平面5C5/；

2.（2024高一下?全國?專題練習(xí)）如圖，在圓錐尸。中，己知「。=后，。。的直徑48=2,點(diǎn)C在蕊上,

且/C1B=3O°,點(diǎn)。為/C的中點(diǎn).證明：平面POD

3.（23-24高一下?吉林長春?期中）如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面48CD是正方形，尸/,平面48CD,

且尸/=/。=2,點(diǎn)E為線段PZ）的中點(diǎn).

⑴求證：P8〃平面NEC；

（2）求證：/E_L平面PC。；

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）正四棱柱/BCD-44cB的底面邊長為1,高為2,點(diǎn)M是棱CQ上一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)〃與c，G均不重合）.當(dāng)點(diǎn)M是棱CG的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面片加2；

5.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱48C-481G中，AAl=6,BC=4,

N48C=N/C8,。為棱8c的中點(diǎn)，E為棱期上靠近用的三等分點(diǎn)，尸為線段上的動(dòng)點(diǎn).求證：CtE1

平面DEF.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐4-8。中，點(diǎn)￡為棱2C的中點(diǎn)，點(diǎn)。為?！甑闹悬c(diǎn)，“BC,

ABCD,A/即都是正三角形.

A

⑴求證：NO_L平面3cD；

9

(2)若三棱錐/-2co的體積為Q,求三棱錐A-BDE的表面積.

7.(23-24高一下?貴州黔西?期末)如圖，在正方體/8。。-4呂62中.

(1)求證：C7)iII平面48cl；

⑵求證：4。，平面4BG.

8.(23-24高一下?山東威海?期末)在正三棱柱/8C-4耳G中，M,。分別為四，的中點(diǎn).

4G

B

（1）證明：MO〃平面/BC；

（2）證明：MO,平面

9.（23-24高一下?湖南株洲?期末）如圖，在三棱柱4BC-481G中，AB1AC,=AB=AC=2,4

在底面的射影為BC的中點(diǎn)，。為4G的中點(diǎn).

（I）證明：4。，平面43C；

野曲8T利用全等三角形條出讓明年而正古▼

一、解答題

1.（23-24高一下?山東荷澤?階段練習(xí)）如圖，直角三角形4BC所在平面外有一點(diǎn)S,且&4=S8=SC,D

為斜邊AC的中點(diǎn).求證:SD1平面ABC.

s

2.（24-25高二上?上海?期末）如圖，四棱錐尸-/BCD的底面是矩形，尸。，底面/BCD,AB=l,

BC=y/2,四棱錐尸-ABC。的體積為正，M為BC的中點(diǎn).

3

⑴求證：AM±PB；

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）棱臺(tái)DE尸-中，CR_L平面NBC,ABLBC,S.BA=BC,

AC=2DF,〃為NC的中點(diǎn)，尸是C尸上一點(diǎn)，且；=粵二=幾（2>1）.求證：CD_L平面尸2A/；

DFCP

D

4.（24-25高三上?上海?期中）如圖所示四棱錐尸-/2CO,其中

AB=AD=AP=底CB=CD=CP=2瓜4c交BD于點(diǎn)0.

⑴求證：NC_L平面尸AD；

5.（24-25高三上?湖北荊州?階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體/BCD-4圈。2中，MN、。分別為

棱GA、34、44的中點(diǎn).

⑴求證：4"，平面/"。；

6.(23-24高一下?江蘇無錫?期中)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面48CD為正方形，尸/，平面48CD,

PA=2AB.

(1)判斷在梭網(wǎng)上是否存在一點(diǎn)/使平面尸3C,若存在，求正；若不存在，說明理由;

(2)當(dāng)點(diǎn)F,N分別是尸民BC的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線FN和PD的夾角的余弦值.

題型3\通過線面垂直證明線線垂直

一、解答題

1.(23-24高一下?江蘇?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸/，平面N5CD,點(diǎn)E是四的中點(diǎn).

p

（1）若底面/BCD是平行四邊形，求證：/吵〃平面E/C；

⑵若底面/2CZ）是菱形，證明：BD1PC.

2.（2024高一?全國?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCZ）是平行四邊形，ZABC^120°,

48=1,BC=4,A/為8c的中點(diǎn)，PD工DC.證明：AB±PM.

AB

3.（23-24高一下?海南省直轄縣級(jí)單位?期末）如圖，平面四邊形N8CD中，AB=8,CD=3,AD=543,

ZADC=W°,NBAD=30°,點(diǎn)、E,尸滿足赤=^AF=^AB,將沿斯翻折至APEF,使得

PC=46

R

(1)證明：EF1PD；

(2)求五棱錐尸-BCDEF的體積

4.(23-24高一下?河南南陽?期末)如圖，平面48cD,底面48co為矩形，PA=AB=3BC=1,點(diǎn)、E

是棱心的中點(diǎn).

(1)求證：AE工PC；

PMAN

(2)若SN分別是肛/C上的點(diǎn)，且面?=^=2,°為MN上任意一點(diǎn)，試判斷：三棱錐尸-，皿

的體積是否為定值？若是，請(qǐng)證明并求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

5.(23-24高一下?廣東廣州?期末)如圖，是半球。的直徑，尸是半球底面圓周上一點(diǎn)，0是半球面上

一點(diǎn)，且尸。.

P

(1)求證：PQLBQ；

6.(23-24高一下?云南曲靖?期末)在四棱錐尸-45CD中，底面ABCD是矩形，尸/,平面ABC。，M,N分

別是歐PC的中點(diǎn).

（1）求證：MN//平面PZD；

⑵求證：MN1CD；

7.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖,在三棱柱ABC-AXBXCX中，底面ABC為正三角形，AB=2,=3,

NB[BA=NB\BC=60°.

⑴求證：AC±BBX；

8.（23-24高一下?湖北武漢?期末）（建立空間直角坐標(biāo)系答題不得分）如圖，在三棱柱/OP-BC。中，側(cè)

面N8CD為矩形.

⑴若PD，面/BCD,PD=AD=^-CD,NC=2PN,求證：DN±BN；

9.（23-24高一下?貴州銅仁?期末）已知在邊長為2的正方形SG°2G3中，E,尸分別是線段G。2，G2G3上

的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且EGz+G?尸=2.

⑴當(dāng)EG?=G2尸時(shí)，如圖沿SE,SF和跖把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使得G1,仇,G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)

G,則在四面體S-EFG中：

(i)證明：SGVEF-

題型4證明面面垂直

一、解答題

1.（2024高一下?全國?專題練習(xí)）在四面體A8CO中，8C，C24D=4C,瓦尸分別是CD和四的中點(diǎn).證

明：平面NCD_L平面/跖；

2.（23-24高一下?河南商丘?期末）如圖，在四棱錐尸-N8CD中，底面N2C。為正方形，AB=2也,

PB=2。且尸3,底面/BCD,E,M,N分別為棱P8,AB,3c的中點(diǎn).

⑴求證：平面M/E_L平面P2。；

3.(23-24高一下?甘肅慶陽?期末)如圖，在直四棱柱/5。0-4及。9中，底面N8CD為菱形，E是線段4。

上的一點(diǎn).

(1)若A[E=EC,求證：44"/平面BDE；

(2)若求證：平面4OC1平面

4.(23-24高一下?內(nèi)蒙古?期末)如圖，在直角梯形4BCD中，已知/O〃3C,AD=AB,4840=90。，

ZBCD=45°,￡為對(duì)角線5。的中點(diǎn)，現(xiàn)將△48。沿8。折起到△P5D的位置，使平面尸皮)_L平面

BCD.求證：

(1)直線尸E_L平面BCD；

(2)平面PBC1平面PCD.

5.(23-24高一下?寧夏吳忠?期末)如圖，四邊形/BCD與四邊形/。斯均為等嫂梯形，BC//AD,EF//

AD,AD=4,AB=BC=EF=2,EZ）=而,尸3=2道,M為AD的中點(diǎn).

BC

(1)證明平面48。1平面40斯；

(2)求點(diǎn)〃到48尸的距離.

6.（2024高一下?全國?專題練習(xí)）如圖，在三棱柱/8C-/4G中，

ABAC=90°,AB=AC=272,AXA=AtB=4,=AAXAC.求證：平面Z/C_L平面/8C；

7.(23-24高一下?山東荷澤?階段練習(xí))在四棱錐P-4BC。中，。為/C與8。的交點(diǎn)，42,平面尸

△P4D是正三角形，DC//AB,DA=DC=2AB.

p

/匚二/

CD

(1)求異面直線PC和AB所成角的大小；

AJ7

⑵若點(diǎn)E為棱尸/上一點(diǎn)，且OE//平面求隹的值;

PE

(3)求證：平面P8C_L平面尸DC.

面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用▼

一、解答題

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))如圖，多面體N3CDE產(chǎn)中，已知面48。是邊長為4的正方形，AFBC是

等邊三角形，EFI/AB,EF，AB,平面F3C_L平面/BCD.求證：EFLBF；

2

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，四棱錐P-N3CZ）中，AD//BC,BCLCD,

BC=2CD=2AD=272.平面/BCD工平面尸NC.證明：PC1AB；

P

3.（23-24高一下?江蘇鹽城?階段練習(xí)）在三棱柱NBC-44G中，側(cè)面4CC/，底面N8C,

AAX=BC=5,AjB=AC=12,AB=13,E為的中點(diǎn).

⑴求證：平面4CE；

⑵求證：4/，平面43c.

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在三棱柱/8C-42]G中，平面44民4_L平面48C,

AB=AC=ABl=AAl=2,ACIAB^。為/C的中點(diǎn).求證：平面/CC/，平面.

5.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）如圖（1）示，在梯形BCOE中，

BC〃DE,BA工DE,EA=DA=AB=2BC=2,如圖（2）沿A8將四邊形折起，使得平面ABCD與平面ABE垂

直，〃?為CE的中點(diǎn).

（1）求證：BC〃面DAE；

⑵求證：AMX.BE.

6.(23-24高一下?內(nèi)蒙古?期末)如圖，在直角梯形/BCD中，己知AD=AB,ZBAD=90°,

ZBCD=45°,￡為對(duì)角線8。的中點(diǎn)，現(xiàn)將△48。沿8。折起到△形￡)的位置，使平面尸8。1平面

BCD.求證：

(1)直線PE_L平面BC。；

(2)平面PBC1平面PCD.

7.(23-24高一下?四川成都?期末)如圖，在五面體N5CDE尸中，ABIICD,BDVBF,平面NAFEC平面

CDEF=EF,AB=AD=AE=1,BC=2y/3,EF=3,ZBAD=ZDAE=.

(1)證明：EF//平面/BCD；

(2)若點(diǎn)。、G分別為2D、5c的中點(diǎn)，證明：平面EOGP，平面A8CD；

(3)求該五面體的體積.

(注：本題用空間向量法求解或證明不給分，若需要作輔助線，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作出相應(yīng)的輔助線.)

題型6垂直問題中的探索性問題▼

一、解答題

1.(23-24高二上?北京?階段練習(xí))如圖示，正方形NBCD與正三角形工。尸所在平面互相垂直，。是ND的

中點(diǎn).

(1)求證：尸。，30；

(2)在線段上是否存在一點(diǎn)N,使面尸CN，面尸。3?并證明你的結(jié)論.

2.（23-24高一下?山東聊城?期末）如圖，在四棱錐P-NBCD中，底面4BCD是正方形，側(cè)面尸40是等腰

三角形，且=側(cè)面平面/BCD

（1）設(shè)M,N分別為尸D,5c的中點(diǎn)，求證：M7VII平面PAB；

⑵設(shè)PD=2AD，在線段尸。上是否存在一點(diǎn)0,使得PC?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

3.（23-24高二上?上海浦東新?期中）如圖，在四棱錐尸-/BCD,尸工_L底面正方形/BCD,E為側(cè)棱尸。的

中點(diǎn)，PA=AD=2.

⑴求四棱錐尸-/BCD體積；

(2)在線段上是否存在一點(diǎn)尸