重難點03向量的數(shù)量積與應用十二大題型匯總

期末題型解讀

滿分技巧

技巧一.求投影的兩種方法：

⑴6在a方向上的投影為蜴cos0(腦a,6的夾角)，a在。方向上的投影為|a|cos0.

(2)6在a方向上的投影為——，a在6方向上的投影為——.

同期

技巧二.求平面向量數(shù)量積的步驟

⑴求a與6的夾角氏先[0,n];

(2)分別求同和網(wǎng);

⑶求數(shù)量積，即a?6=|a||b|cos氏要特別注意書寫時a與6之間用實心圓點連接，而不能用7

連接，也不能省去.

技巧三.求向量的模的常見思路及方法

(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應用/=但/，勿忘記開方.

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化汨3二/二忖/或同二、，。，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.

(3)一些常見的等式，如(a±6)2=『±2a?b+",(a+h).(a-6)=a2-精等.

技巧四.向量夾角為銳角(鈍角)的充要條件

①兩個向量a,。的夾角為銳角=a?6>0且a,6不共線；

②兩個向量a,6的夾角為鈍角oaS<0且a,6不共線.

技巧五.平面向量最值范圍問題的常用方法

L定義法

第1步：利用向量的概念及其基本運算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應的等式關(guān)系；

第2步：運用基本不等式求其最值問題；

第3步：得出結(jié)論.

2、坐標法

第1步：根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，并推導關(guān)鍵點的坐標；

第2步：將平面向量的運算坐標化；

第3步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解.

3、基底法

第1步：利用基底轉(zhuǎn)化向量；

第2步：根據(jù)向量運算化簡目標；

第3步：運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；

4、幾何意義法

第1步：結(jié)合條件進行向量關(guān)系推導；

第2步：利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達的點的軌跡；

第3步：結(jié)合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍.

題型1向量的投影

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【例題11(2023秋北京高一北京師大附中?？计谀?已知平面向量力石是非零向量,\a\=2,a±0+2司,

則向量石在向量Z方向上的投影為()

A.-1B.1C.-2D.2

【變式11](多選)(2023春?四川成都?高一成都實外校考期末)下列四個命題為真命題的是()

A.若向量方、6、c,滿足//6,bile,則

B.若向量％=(1,-3),b=(2,6),則人了可作為平面向量的一組基底

C.若向量/=(5,0),b=(4,3),貝啜在石上的投影向量為仁,￡)

D.若向量向為滿足同=2,|同=3,亦方=3,貝！]屈+同=夕

【變式12](2022春?上海浦東新高一?？计谀?已知向量方=(-2,V3),^=(1,-V3),則向量不在刃方向

上的數(shù)量投影為.

—?

【變式13](2022春?上海浦東新?高一校考期末)已知/(1,1)乃(2,1),。(-1,-2),D(3,4),CD方向上的單位

———

向量為e,則向量N3在CD方向上的投影向量為.

【變式14](2022春?上海浦東新?高一上海市建平中學校考期末)已知為曲勺夾角為g，設之二弓+得，貝弧

3\a\回

在%上的數(shù)量投影為一.

【變式15](多選I2023秋云南高一云南師大附中校考期末股7方是互相垂直的單位向量AB=Aa+2b,

就=4+(X-1)石，下列選項正確的是()

A.若點C在線段AB上，則4=2

B.若_LNC,則力=|

C.當a=1時，與窈共線的單位向量是占7+苧石

D.當才=-1時，zaMh的投影向量為京-|石

題型2向量的數(shù)量積

【例題2](2022春河南濮陽?高一統(tǒng)考期末)已知等邊三角形ABC的邊長為1，設正=a,CA=b,AB=c,

月B么方,b+b-c+c-a=()

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A.3B.-3C.|D.-|

【變式21]（2022春福建福州?高一校聯(lián)考期末）如圖,在△ABC中，ABAC=1,AD=WB尸為CD上

一點，且滿足萬^一“就+：方（加GR）,若/C=3,AB=4,則五"麗的值為（）.

1212D./

【變式22]（2021春浙江?高一期末）已知向量7,b,滿足|回=14=（-2,1）,且卜-同=2,則不■b=

)

A.1B.0C.1D.2

【變式23]（2021秋?廣西?高一統(tǒng)考期末）如圖，在菱形/BCD中，BE=\BC^F=2FD.

(1)若麗=xAB+yAD，求3x+2y的值；

(2)若|荏|=6,ABAD=60°,>^AC-EF.

【變式24]（2022春?上海浦東新?高一?？计谀┤鐖D，在△ABC中，48=3,AC=4//=g，。為邊8c

的中點.設向量方=7,向量就=5,求：

Q)R…；

（2）^<ZD-BC.

題型3向量的夾角與余弦值

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【例題3](2021春?河南鄭州?高一統(tǒng)考期末)已知國，石是夾角為60。的兩個單位向量，設向量方=2國+石,

石=-3國+2￡,貝舊與說勺夾角為()

A.-TTB.-nC.-nD.-n

3636

【變式31](2021春?陜西漢中?高一?？计谀?已知方,說單位向量，且心石=0,若"22-相，且)

與西勺夾角為。,則cos6=()

A.-B.-CD.-

2333

【變式32](2020秋?安徽黃山?高一統(tǒng)考期末)某河流南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到

北岸，假設游船在靜水中的航行速度的大小為回I=8km/h,水流的速度的大小為后|=4km/h,設方和記

的夾角為40°<8<180°),北岸的點B在A的正北方向，游船正好到達B處時，cos8=()

AB.C.-D.--

2222

【變式33](2021春安徽宿州高一?？计谀?已知△NBC三個頂點的坐標分別為4(3,4),3(0,0),C(c,0).

⑴若方,就=0,求C的值；

(2)若c=5,求coS的值.

題型4向量的模長

【例題4X2021春吉林長春高一長春市第二十中學?？计谀┯妹嫦蛄糠脚c曲勺夾角為:若方=(2,0),同=1,

則B+2同=()

A.V3B.2V3C.4D.12

【變式41】(2020春?陜西?高一統(tǒng)考期末)已知向量為曲勺夾角為三，同=應，同=1,貝”37-同=()

A.4B.5C.4V2D.5V2

【變式42](2021春湖南邵陽?高一統(tǒng)考期末)設x,yGR,向量2=(x,l),b=(1,^),2=(2,-4),SS±c,

b\\c,51!]|3+?|=().

A.V5B.2V5C.V10D.10

【變式43](2023秋?遼寧錦州?高一統(tǒng)考期末)已知向量7=(2,0),b=(1,2)，且0-3石)//(2,+初伏eR),

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則儂+何為()

A.2V37B.4V37C.2府D.4V61

【變式44](2022春?江蘇無錫?高一輔仁高中?？计谀?已知三角形ABC中，點G、O分別是△ABC的

重心和外心，目就■而=6,|就|=2,則邊BC的長為.

【變式45】(2021秋新疆烏魯木齊高一烏魯木齊市第二十中學?？计谀?已知同=4,\b\=3,(2a-3b)-

(2a+6)=61.求：

⑴力與麗勺夾角.

w+b\.

題型5參數(shù)取值問題

【例題5](2022春?上海浦東新?高一?？计谀?已知平面向量方=(-1,外，就=(2,1),若『BC是直角

三角形，則左的可能取值是()

A.2B.-2C.5D.-7

【變式51](2022春?江蘇無錫?高一輔仁高中?？计谀?已知向量7=(-4,3)，點4(1,1),B(2,-1),記函

為荏在向量Z上的投影向量，若7?=力彳，貝”=()

A.|B.-|C.-|D.|

【變式52](2022春?上海普陀?高一?？计谀?已知向量胡的夾角為=1,同=2.

(1)求那加勺值；

⑵若2?-舜口fa+石垂直，求實數(shù)t的值.

【變式53](2021春?河南商丘?高一?？计谀?已知向量力=(-3,1)5=(1,-2),身=%+總(后GR).

⑴若石與向量2a-反垂直，求實數(shù)k的值；

(2)若向量2=(1,-1),且扇與向量kb+坪行，求實數(shù)人的值，并判斷這時溫與向量kb+2同向還是反向.

【變式54](2020秋?福建三明?高一統(tǒng)考期末)如圖，在《BC中，點A是BC的中點，點D在線段0B

上,且OD=2DB,設ZH=a,OB=b.

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(1)若|回=2,同=3,且方與石的夾角為;,求(27+1)?(a-b);

⑵若向量元與人+濟共線，求實數(shù)k的值.

【變式55](2022秋?遼寧?高一大連二十四中校聯(lián)考期末)平面內(nèi)給定三個向量方=(3,2),b=(-1,2),?=

(4,1).

⑴若@+n)//?_23),求實數(shù)k；

(2)若才滿足。-c)//(a+1),且I?-c|=V5,求循勺坐標.

題型6向量數(shù)量積的最值取值范圍問題

【例題6](2021春?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)在田13中，OA=OB=2,AB=26,若動點P在線段OA

上運動，則國-屈的最小值為()

A.B.fD.

4444

【變式61】2022春安徽安慶高一安慶一中?？计谀┏鯃D在平面四邊形/BCD中?DA=^CBA=90°,

/BAD=120°,AB=AD=\,若點E為CD邊上的動點,則就■而的最小值為.

【變式62](2021春?陜西渭南?高一校考期末)已知平面向量落b,々滿足同=|同=|司=1,且力b=0,

則q+a)-(c-2石)的最大值為.

【變式63](2021春?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)已知4凡C均是單位圓。上的點，且方±OB,貝[|(云-

OA)■(云-麗)的最大值為.

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【變式64]（2021春?陜西西安?高一統(tǒng)考期末）騎自行車是一種既環(huán)保又健康的運動，如圖是某自行車的

平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為0△ABE-BEC,AECD均是邊

長為4的等邊三角形設點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中FA■而的最大值為

【變式65/2022春陜西商洛高一統(tǒng)考期末）已知向量工石Z滿足同=同=2，同=3N，石，則0-3c）.

0-3。的最大值為（）

A.40-6V13B.40+6V13C.36-6vHD.36+6V13

【變式66]（2023秋北京高一北京師大附中?？计谀鰽BC中,D、E為邊BC、AC上的點，且滿足照=

\BC\

冽，畫I函一—九

（1）若AABC為邊長為2的等邊三角形，加==1,求而■BE；

（2）若m==；,DE=xAB+yAC,求x+y；

（3）若乙4=2,/C=1,根=〃，求而,南的最大值；

⑷若將"D、E為邊BC.AC上的點"改為"D、E在△ABC的內(nèi)部（包含邊界）’，其它條件同（1），則石■BE

是否為定值？若是，則寫出該定值；若不是，則寫出取值范圍.（不需要說明理由）

題型7向量夾角的最值取值范圍問題

【例題7]（2021春?上海?高一期末）已知同=2冏，間/0,且關(guān)于x的方程爐+\a\x+a-b=Q有實根,

則方與布勺夾角比勺取值范圍是（）

n-TT

AA.0,—B

6?尸

-n2ncTI

D.-,TT

【變式71】（2022春全國高一期末）已知向量處的夾角為。同=2同=2，向量訪，且叼G[1,2],

則向量芥夾角的余弦值的最小值為（）

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【變式72](多選)(2022春?全國?高一期末)下列說法正確的是()

A?若非零向量牌+嵩),交=。，且需言=[貝必,為等邊三角形

B.已知力=a^OB=b,OC=c,OD=d,且四邊形ABCD為平行四邊形，貝啜+b-c-d=0

C.已知正三角形/2C的邊長為20,圓O是該三角形的內(nèi)切圓，P是圓。上的任意一點，則9?PB

的最大值為1

D.已知向量歷=(2,0),OC=(2,2)。？=(V2coscr,V2sina),則方與無夾角的范圍是耳，苗

【變式73】(2022春?浙江寧波?高一校聯(lián)考期末)已知平面向量M滿足m=f,b=ei+/!否(JGR),其

中西局為不共線的單位向量，若對符合上述條件的任意向量。石，恒有H+H>y,則西歷夾角的最小值是

()

TT_IT_Tl_TT

AA-7B-7c?DI

【變式74X2022春?山西晉中高一校考期末)已知向量獲滿足同=的=1,m+刷=V3|a-xb\(x>GR).

(1)求不■石關(guān)于x的解析式/(x)；

(2)求向量方與了夾角的最大值；

⑶若不與了平行，且方向相同，試求x的值.

題型8向量模長的最值取值范圍問題

【例題8](2022春?上海浦東新?高一?？计谀?已知向量力,石滿足同=2,反在方方向上的數(shù)量投影為-2,

則國-3同的最小值為.

【變式81](2023秋?遼寧?高一大連二十四中校聯(lián)考期末)已知點M在直線上,點/在直線BC外，

^\AB+AC\=\AB-AC\,且|畫=4,|2c|=2,則|初|的最小值為____.

【變式82](2022春?上海浦東新?高一?？计谀?設7,石是兩個不共線的非零向量,reR.

一一一一一—一

(1)記04=a,OB=tb,OC=^a+b),那么當實數(shù)，為何值時，4瓦。三點共線；

一一TTT一

(2)若⑷=\b\=1且。與6夾角為60°,那么實數(shù)x為何值時皿-〃的值最??？

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【變式83］（2022春?上海浦東新高一上海師大附中?？计谀┮阎矫嫦蛄?，且團=|同=2無b=2,

向量不滿足仔-2a-2b\=\a-b\,則當仔-Ab\（A￡R）成最小值時力=.

【變式84J2022春?上海黃浦高一上海市大同中學校考期末評面上的向量由與麗滿足|祝?『+|就|=?,

SM4■而=0,若點C滿足證=^MA+^MB，則|祝研的最小值為.

【變式85］（2022春?上海崇明?高一統(tǒng)考期末）已知不共線的平面向量2了、及兩兩的夾角相等，且同=1,

同=2,同=3,實數(shù)4、4、,則Mm+小石+出句的最大值等于

題型9向量系數(shù)的最值取值范圍問題

【例題9】（多選）（2022春?山東東營?高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD,ABAC,AB=AC=\,

點P是△ABC的三邊上的任意一點，設N=麻+國，”，〃W?.則下列結(jié)論正確的是（）

A.720,〃20

B.當點尸為/C中點時，力+〃=1

C.AP-而的最大值為1

D.滿足力+〃=翔點P有且只有一個

【變式91］（2022春?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，已知AB=2,BC=3/ABC=60°,D為邊AB

上一動點，過點D作一條直線交邊AC于點E/ADE=6.

（1）若。為中點，且8=60°,則瓦,DC=

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（2）設瓦=浙+麻，則點的最大值是_________.

【變式921多選I2021春浙江湖州高一統(tǒng)考期末圮知平面向量乙加滿足々=4+證且於c>0^-c<

0,則下列說法正確的是（）

A.若方1書>0,貝!］可能%>0,y>0

B.若方Ib<0廁可能x>0,j>0

C.若方■?>0,則可能i>0,yv0

D.若方■坂v0,貝［J可能x>0jv0

【變式93】（2022春浙江寧波?高一校聯(lián)考期末）已知平面向量好I滿足用=同=2,同=10b=-2,

若忑=而+而。ER,〃GR）,貝”-24勺最大值是_____.

【變式94】（2022春?上海閔行?高一校考期末）已知正六邊形/5CZ汨網(wǎng)頂點的字母依次按逆時針順序確

->—>—?

定）的邊長為1,點P是△CDE內(nèi)（含邊界）的動點^AP=xAB+yAF（xjGR），則x+y的取值范圍是

【變式95X2022春?上海浦東新高一上海師大附中?？计谀┰谔菪蜛BCD中^BHCD,AB=BC=2,CD=

1,ZSCD=120°,P,。分別為直線BC,C〃上的動點.

（1）當P,Q為線段BC,CD上的中點，試用前和石來表示；

（2）若麗=：就，求亞；

⑶若麗=/JBC^DQ=ADC,A>0,〃>0,G為A4P0的重心，若D,G,B在同一條直線上，求d優(yōu)勺最大值.

【變式96］（2022春浙江杭州?高一杭十四中統(tǒng)考期末）已知可否…，器是單位平面向量，若對任意的Kz<

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n{nGTV*）,都有弟-可＜g,則"的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

題型10向量夾角為鈍角銳角問題

【例題10]（2022春?上海普陀?高一校考期末）若向量7=（l,x）與石=（陽2）的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值

范圍是.

【變式101】（多選）（2022春?福建三明?高一統(tǒng)考期末）已知向量由，石滿足同=2同=2,且國與石的

夾角為g,若國-2萬與X宙+可的夾角為鈍角，則實數(shù)用勺值可以是（）

A?VB?VC]DI

【變式102]（2021春?浙江?高一期末）已知,=（1,2）,5=（1+41）.若建1.入則實數(shù)7=；若萬與石

的夾角為銳角，則實數(shù)/I的取值范圍是.

【變式103]（2022春?山東青島?高一統(tǒng)考期末）已知,=（1-2k,V）,5=（-3次）,若日與麗夾角為鈍角,

則實數(shù)左的取值范圍為.

【變式104]（多選）（2021秋?浙江杭州?高一浙江省杭州第二中學?？计谀┫铝嘘P(guān)于平面向量的說法中

正確的是（）

A.已知4石均為非零向量，若山區(qū)，則存在唯一的實數(shù)力，使得7=龍

B.已知非零向量建=（1,2）/=（1,1）,且4與方+龍的夾角為銳角，則實數(shù)4的取值范圍是（-9,+8）

C.若N-c=b-cB,c/0,則3=b

D.若點G為A/BC的重心，貝！]G5+G5+克=6

【變式105]（2022春?上海浦東新?高一?？计谀┮阎?（1,1）3=（2〃）.

Q）若濟厲，求實數(shù)m的值；

（2）若不與石夾角為銳角,求實數(shù)機的取值范圍.

題型11向量與三角形形狀問題

【例題111（2021春?江西宜春?高一江西省萬載中學校考期末）P是△/8C所在平面上一點，滿足|麗-

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正|-|麗+京-2網(wǎng)=0,貝SN5C的形狀是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【變式111］（2022秋?浙江?高一浙江省開化中學校聯(lián)考期末）若。為△/8C所在平面內(nèi)任一點，且滿足

（04-OB）-+歷-2%=0,貝！的形狀為（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【變式112］（2020春?遼寧沈陽?高一沈陽二中?？计谀〢AABC中，（C+8/j?AC=AC，則&ABC

的形狀一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【變式113］（2021春北京?高一北京市第十二中學校考期末）在“ABC中，若赤?BC+AB2=0ABC

的形狀是（）

A.NC為鈍角的三角形

B.N3為直角的直角三角形

C.銳角三角形

D.乙4為直角的直角三角形

【變式114］（2020春?甘肅慶陽?高一?？计谀┮阎橇阆蛄亢Ｅc充滿足（哥+爵〉BC=0且需■

褊=［貝必/BC的形狀是（）

A.三邊均不相等的三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.以上均有可能

【變式115】（2020春?河南洛陽?高一統(tǒng)考期末）已知人尸1尸2尸3三個頂點的坐標分別為

（cos<xsina）,P2（cos/5,sin/?）,P3（cosy,siny）,且。尸i+OP2+OP3=0（0為坐標原點）.

（1）求乙匕。尸2的大?。?/p>

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(2)試判斷△尸1尸2P3的形狀.

題型12向量與三角函數(shù)結(jié)合問題

【例題12](2021春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期末)在平面直角坐標系xOy中，已知向量訪=(sinx,l-cosx),

n=(sinx,cosx),xG(。片),

(1)若身II葭求x的值；

⑵若函數(shù)/U)=m-n+acosx,且函數(shù)人x)沒有最值，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式121](2021春?陜西渭南?高一?？计谀?已知向量7=(cos2x,sin2x),b={-1,1).

(1)若％II0,f,求x的值；

(2)若函數(shù)兀0=a■石在區(qū)間(0〃)上的圖像與X軸恰有3個交點，求實數(shù)m的取值范圍.

【變式122](2022春?上海浦東新?高一校考期末)已知Z=(V3sinx,cosx),b=(cosx,cosx),f^x)=3a-b+

m-\(x,mFR).

(1)求《X)關(guān)于X的表達式，并求/(X)的最小正周期；

(2)若當xe[-兀小時，求加0的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑶若當Xe[o,郭寸，危)的最小值為7,求優(yōu)的值.

【變式123](2022春?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末)已知向量三=(2cosx,sinx+V5sin0,b=(2sinx,-cosx+

V5cos6).

(1)若4IIb,求cos(X+0)；

(2)若8=?,函數(shù)?x)=a-b(xe[0,77]),求/(x)的值域.

【變式124](2022春廣西欽州?高一校考期末)已知向量方=(2sinx,-cosx),n=(V3cosx,2cosx).

Q)若和屈，且xeQ屋),求tan2x；

(2)若穴x)=m-n,且存在必EEg]使得“X。)<a,求實數(shù)a的取值范圍.

限時檢測

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-.單選題

1.（2022春?云南?高一統(tǒng)考期末）已知向量為=（3,1）,b=（2〃），且苕，石，則/=（）

A.-6B.6C.|D.-|

2.（2021春?安徽宿州?高一?？计谀┮阎蛄糠?（2,1）3=（-3,4）,則向量不在反方向上的射影為（）

A.|B.苧

3.（2021春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期末）已知/（2,1）,2（3,2）,C（0,2），貝必/3C是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

4.（2021春?北京東城?高一統(tǒng)考期末）已知方,石均為單位向量,（2a+五?0-2無=-竽,貝斯與曲夾角

為（）

A.30°B.45°C.135°D.150°

5.（2022春?北京海淀?高一統(tǒng)考期末）已知向量力，石是兩個單位向量，則"值而"為銳角是"|方-同v

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二,多選題

6.（2022春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第一二二中學校?？计谀┫铝姓f法中錯誤的是（）

A.單位向量都相等

B.向量方與而是共線向量,則點A、B、C、D必在同一條直線上

C.兩個非零向量。刃,若何+刃|=||a|-|?||,則不與反共線且反向

D.已知向量為=（4,3-m）,b=（l,m）,若方與死勺夾角為銳角，則-1＜根＜4

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7.（2022秋?遼寧沈陽?高一東北育才雙語學校校考期末）把一條線段分為兩部分，使較長部分與全長之比

等于較短部分與較長部分之比，該比值是無理數(shù)空,由于按此比例設計的造型十分美麗柔和，因此稱為

分割，也稱為中外比、分割不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設計等

方面也有著不可忽視的作用.在△ABC中，點。為線段BC的分割點（3D>DQAB=2,AC=3/BAC=60°,

點E為AB的中點，點P為線段AC上的一點（包含端