全概率公式提出三門問題，情景“啟”公式?jīng)Q策選擇

生活中絕大多數(shù)的問題，實質(zhì)上都只是概率問題。

——法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯問題1假設(shè)你選擇了1號門，主持人打開了2號門后面是山羊，你會選擇換成3號門嗎？1號門2號門3號門問題1選自人教A版選擇性必修三

教材的課后閱讀與思考問題1假設(shè)你選擇了1號門，主持人打開了2號門后面是山羊，你會選擇換成3號門嗎？1號門2號門3號門不換

不換門中獎概率換門中獎概率vs換

換門是否中獎選門是否中獎復(fù)雜事件相關(guān)事件全部全概率公式問題1假設(shè)你選擇了1號門，主持人打開了2號門后面是山羊，你會選擇換成3號門嗎？反直覺問題數(shù)學(xué)中有許多問題與直覺相悖，不能僅憑感覺來做判斷，而要進行嚴格的數(shù)學(xué)計算.讓我們帶著三門問題繼續(xù)學(xué)習，先從相對簡單的摸球問題出發(fā)，研究概率的運算規(guī)律.直觀感覺嚴格計算問題2有編號為1、2的兩個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同．先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.

1號盒2號盒

研究摸球規(guī)律，理解“探”公式問題2選自蘇教版教材選擇性必修三

問題情景問題2先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.取得白球選第1號盒選第2號盒復(fù)雜事件相關(guān)事件全部學(xué)生活動：請同學(xué)們用樹狀圖或Venn圖分析事件關(guān)系，解釋“取得白球的概率”的計算過程.

問題2先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.任務(wù)1：樹狀圖分析事件關(guān)系問題2先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.

任務(wù)2：Venn圖分析事件關(guān)系問題2先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.任務(wù)3：計算白球概率樹狀圖

事件“取得白球”是事件“選擇了第1個盒子且摸到白球”和事件“選擇了第2個盒子且摸到白球”

的并，

問題2先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.任務(wù)3：計算白球概率

事件“取得白球”是事件“選擇了第1個盒子且摸到白球”和事件“選擇了第2個盒子且摸到白球”

的并，

兩個互斥事件的并，問題2先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.歸納：我們從樹狀圖和Venn圖兩個角度分析了事件的關(guān)系.

利用與復(fù)雜事件相關(guān)的互斥事件，

將復(fù)雜事件劃分為若干子事件的并，

再由概率的加法公式和乘法公式，求得這個復(fù)雜事件的概率.問題2有編號為1、2的兩個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同．先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.變式

有編號為1、2、3的三個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒和3號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同．從三盒中先選一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.

1號盒2號盒3號盒二元推廣三元，歸納“得”公式學(xué)生活動：請同學(xué)們類比問題2的研究過程完成變式，學(xué)生代表黑板板演.變式選自北師大版教材選擇性必修一問題5樹狀圖Venn圖

變式

有編號為1、2、3的三個盒子．從三盒中先選一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.

追問：你能歸納問題2及其變式的共性，推廣到一般嗎？學(xué)生活動：請同學(xué)們用圖形語言、符號語言和文字語言進行表示.追問：你能歸納問題2及其變式的共性，推廣到一般嗎？

文字語言：利用一組兩兩互斥的事件，將復(fù)雜事件表示為全部發(fā)生該事件的互斥子事件的并，并通過概率加法和概率乘法公式計算概率.

文字語言：利用一組兩兩互斥的事件，將復(fù)雜事件表示為全部發(fā)生該事件的互斥子事件的并，并通過概率加法和概率乘法公式計算概率.全概率公式適用條件圖形語言：全概率公式適用條件

全概率公式思考：根據(jù)問題2，你能否歸納出全概率公式的一般步驟？

事件“取得白球”是事件“選擇了第1個盒子且摸到白球”和事件“選擇了第2個盒子且摸到白球”

的并，

對于復(fù)雜的問題，盡量分解為多個小問題來研究，一個一個解決，直至解決復(fù)雜問題，這就是“化整為零”的思想。

——法國數(shù)學(xué)家笛卡爾的《方法論》全概率公式正是將復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為若干簡單已知的事件之和，化難為簡、化繁為易，這一轉(zhuǎn)化與化歸思想在我們學(xué)習中常常用到。割補法求不規(guī)則圖形面積積分法近似求曲面積問題2有編號為1、2的兩個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同．先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.1號盒2號盒思考你能為問題2編寫變式，得到更一般的問題情景嗎？你會從哪些方面改編題目？球的個數(shù)取盒規(guī)則盒子個數(shù)取球規(guī)則編寫變式題目，靈活“精”公式思考請以小組為單位，選擇某一改編方向，為問題2編寫變式.請在需要改編處劃線，在下方書寫改編內(nèi)容，并利用全概率公式解決該問題.問題2有編號為1、2的兩個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同．先從兩盒中任取一盒，再從該盒中任取一球，求取得白球的概率.1號盒2號盒球的個數(shù)5組和6組取盒規(guī)則7組和8組盒子個數(shù)3組和4組取球規(guī)則1組和2組思考請以小組為單位，選擇某一改編方向，為問題2編寫變式.請在需要改編處劃線，在下方書寫改編內(nèi)容，并利用全概率公式解決該問題.變式

有編號為1、2的兩個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同．先從1號盒里取一個球放入2號盒，再從2號盒里取一個球，求2號盒取得白球的概率.1號盒2號盒？？2號盒取得白球1號盒取白球1號盒取黑球2號盒取得黑球2號盒取得白球2號盒取得黑球1號盒2號盒2號盒

問題2有編號為1、2的兩個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同．（選自人教A版教材選擇性必修三習題7.1第4題）變式2先從1號盒里取一個球放入2號盒，再從2號盒里取1個球，求2號盒取得白球的概率.變式3先從1號盒里取2個球放入2號盒，再從2號盒里取2個球，求2號盒取得2個白球的概率.（選自蘇教版教材選擇性必修三例4）變式1

投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，從1號盒子中隨機摸出1個球；如果點數(shù)為3,4,5,6，從2號盒子中隨機摸出1個球，求取得白球的概率.（選自2024湖南省長沙市一模）（選自2023年新課標1卷21題）問題1假設(shè)你選擇了1號門，主持人打開了2號門后面是山羊，你會選擇換成3號門嗎？1號門2號門3號門回歸三門問題，遷移“用”公式學(xué)生活動：請同學(xué)們思考問題1，用全概率公式計算“換門后中獎”的概率.問題1假設(shè)你選擇了1號門，主持人打開了2號門后面是山羊，你會選擇換成3號門嗎？換門中獎首次中獎首次沒中獎?chuàng)Q門不中獎?chuàng)Q門中獎?chuàng)Q門不中獎

3號門2號門1號門2號門3號門1號門問題1假設(shè)你選擇了1號門，主持人打開了2號門后面是山羊，你會選擇換成3號門嗎？

問題1假設(shè)你選擇了1號門，主持人打開了2號門后面是山羊，你會選擇換成3號門嗎？不換

換

古典概型全概率公式改編有編號為1、2的兩個盒子．1號盒裝有1個白球，4個黑球．2號盒裝有2個白球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同.若已經(jīng)取到了白球，分別求它來自于1號盒和2號盒的概率.1號盒2號盒引申執(zhí)果索因，類比“推”公式改編若已經(jīng)取到了白球，分別求它來自于1號盒和2號盒的概率.

樹狀圖Venn圖1號盒2號盒

改編若已經(jīng)取到了紅球，分別求它來自于1號盒和2號盒的概率.實際生活中，后驗概率判斷事件??發(fā)生后各個原因承擔的相應(yīng)責任.比如制造業(yè)制造出次品尋找操作員的責任，患者得病尋找不同毒株致病的占比等.致病溯源次品尋責追問：類比全概率公式的一般化過程，你能寫出改編問題的一般化結(jié)論嗎？學(xué)生活動：請同學(xué)們用圖形語言、符號語言和文字語言進行表示.貝葉斯公式條件概率概率乘法公式全概率公式歸納：貝葉斯公式是求在“結(jié)果”發(fā)生條件下，某“原因”發(fā)生的概率，是后驗概率，我們簡稱為“執(zhí)果索因”.在實際生產(chǎn)生活中，利用后驗概率修正先驗概率，調(diào)整選擇，更易成功.貝葉斯公式條件概率概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式在統(tǒng)計推斷中的意義巨大，并廣泛使用。在疾病診斷、經(jīng)濟預(yù)測、刑偵決策、質(zhì)量控制、人工智能等凡是用到概率預(yù)測的地方，都會用到貝葉斯公式.貝葉斯公式最早是英國的數(shù)學(xué)家貝葉斯（ThomasBayes,1702~1761）于1763年首先提出來的，它用來描述兩個條件概率之間的關(guān)系。小結(jié)歸納提升，建構(gòu)“悟”公式(1）全概率公式和貝葉斯公式分別是什么？兩者有什么聯(lián)系？(2）全概率公式將樣本空間分拆成若干個兩兩互斥的事件的并集的作用是什么？(3）應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式計算概率的步驟是什么？(4）你能畫出本章所學(xué)的知識結(jié)構(gòu)圖嗎？請你試一試．(5）結(jié)合本單元的學(xué)習，談一談如何從數(shù)學(xué)特例中歸納出一般性的結(jié)論？你有什么體會？問題3回顧本節(jié)課的內(nèi)容，談?wù)劚竟?jié)課你的收獲.小結(jié)歸納提升，建構(gòu)“悟”公式問題3回