《相似三角形應(yīng)用舉例》1.

在前面，我們學(xué)過哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性質(zhì)是什么？2.

觀察下列圖片，你會(huì)利用相似三角形知識(shí)解決一些不能直接測量的物體（如塔高、河寬等）的長度或高度的問題嗎？導(dǎo)入新知怎樣測量河寬？導(dǎo)入新知世界上最寬的河

——亞馬遜河導(dǎo)入新知世界上最高的樹——紅杉導(dǎo)入新知樂山大佛導(dǎo)入新知用我們學(xué)過的知識(shí)怎樣測量前面那些物體的高度呢？利用相似三角形可以解決一些不能直接測量的物體的高度及兩物之間的距離問題.導(dǎo)入新知1.能運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行簡單的幾何推理.2.進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模思想，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學(xué)模型，能利用相似三角形的知識(shí)設(shè)計(jì)方案解決一些簡單的實(shí)際問題，如高度和寬度的測量問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)

古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，測量金字塔的高度.探究新知知識(shí)點(diǎn)1

利用相似三角形測物體據(jù)史料記者，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度．如圖，如果木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．解：太陽光是平行光線，因此∠BAO＝∠EDF.又∠AOB＝∠DFE＝90°,∴△ABO∽△DEF．因此金字塔的高為134m．考點(diǎn)1利用相似三角形測物體的高探究新知怎樣測出OA的長？∴,∴【討論】利用太陽光測量物體的高度一般需要注意哪些問題？【方法總結(jié)】在同一時(shí)刻，太陽光下不同物體的高度之比與其影長之比相等．利用太陽光測量物體的高度需要注意：（1）由于太陽相對于地面的位置在不停地改變，影長也隨著太陽位置的變化而發(fā)生變化，因此要在同一時(shí)刻測量影長．（2）被測物體的底部必須在可以到達(dá)的地方，否則，測不到被測物體的影長，從而計(jì)算不出物體的高．（3）表達(dá)式：物1高：物2高=影1長：影2長.

探究新知在某一時(shí)刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m，同時(shí)測得一棟高樓的影長為90m，這棟高樓的高度是多少？∵△ABC∽△A'B'C',解得A'C'=54m.答：這棟高樓的高度是54m.解：ABC1.8m3mA'B'C'90m?鞏固練習(xí)∴,即.AFEBO┐┐還有其他測量方法嗎？△ABO∽△AEF平面鏡【想一想】探究新知測高方法二：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.探究新知注：反射角與入射角相等是隱含條件.如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P

處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端C

處，已知AB=2米，且測得

BP=3米，DP=12米，那么該古城墻的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B鞏固練習(xí)如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R．如果測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的寬度PQ．解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，解得PQ＝90.PQRSTab∴△PQR∽△PST．因此，河寬大約為90m.探究新知考點(diǎn)2利用相似三角形測物體的寬∴,即,【討論】測量前面例題中的河寬，你還有哪些方法？【方法總結(jié)】利用相似測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，構(gòu)造的相似三角形可以為“A”字型，也可以為“X”字型，并測量出必要的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所要求的兩點(diǎn)間的距離．該例題還可參照課本P41頁練習(xí)2設(shè)計(jì)測量方案．探究新知

如圖，測得BD=200m，DC=50m，EC=70m，求河寬AB．ADBEC解：∵AB∥CE,∴△ABD∽△ECD.

答：河寬AB為280m.鞏固練習(xí)∴.即.AB=280m.解得

測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.歸納：探究新知已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD＝5m．一個(gè)人估計(jì)自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C了？分析：如圖（1），設(shè)觀察者眼睛的位置為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB、CD于點(diǎn)H、K．視線FA、FG的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)A時(shí)的仰角.類似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時(shí)的仰角．由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）之內(nèi)．探究新知考點(diǎn)3利用相似三角形測量有遮擋的物體圖（1）仰角水平線視線解：如圖（2），假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹頂端點(diǎn)A、C恰在一條直線上．由題意可知，AB⊥l，CD⊥l,∴AB∥CD，△AEH∽△CEK.即.

解得

EH＝8（m）.由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，即她與左邊樹的距離小于8m時(shí)，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它．探究新知圖（2）∴,【討論】利用相似來解決測量物體高度的問題的一般思路是怎樣的?【方法總結(jié)】一般情況下，可以從人眼所在的部位向物體作垂線，根據(jù)人、物體都與地面垂直構(gòu)造相似三角形數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等解決問題．探究新知如圖，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G點(diǎn)，則AD＝_____＝_____，圖中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC鞏固練習(xí)1.如圖．利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．已知標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB=1.6m．BC=12.4m．則建筑物CD的高是（）

A．9.3m

B．10.5m

C．12.4m

D．14m鏈接中考B2.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（）

A．五丈

B．四丈五尺

C．一丈

D．五尺B鏈接中考C1.

如圖，要測量旗桿AB

的高度，可在地面上豎一根竹竿DE，測量出DE

的長以及DE

和AB

在同一時(shí)刻下地面上的影長即可，則下面能用來求AB長的等式是（）

A．B．

C．D．課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題2.

如圖，九年級(jí)某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高1.6米的楚陽同學(xué)站在C

處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時(shí)刻，其他成員測得AC=2米，AB=10米，則旗桿的高度是____米．

8課堂檢測3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時(shí)如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．EADCB60m50m120m課堂檢測解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴

，即，解得AB=100(m).因此，兩岸間的大致距離為100m.EADCB60m50m120m課堂檢測如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.ABCDGEF課堂檢測能力提升題ABCDGEF解：由題意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，則

解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗桿的高度為11.5m.∴

課堂檢測如圖，某一時(shí)刻，旗桿AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿AB在地面上的影長BC為9.6m，在墻面上的影長CD為2m．同一時(shí)刻，小明又測得豎立于地面長1m的標(biāo)桿的影長為1.2m．請幫助小明求出旗桿的高度．ABCD課堂檢測拓廣探索題解：如圖：過點(diǎn)D作DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一時(shí)刻物高與影長成正比例，∴EA:ED=1:1.2，∴AE=8m，∴AB=AE+EB=8+2=10(m)，故學(xué)校旗桿的高度為10m.EABCD課堂檢測相似三角形的應(yīng)用舉例利用相似三角形測量高度利用相似三角形測量寬度利用相似解決有遮擋物問題課堂小結(jié)學(xué)前溫故新課早知1.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或其延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形

.

2.三邊成比例的兩個(gè)三角形

.

3.兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形

.

4.兩角分別相等的兩個(gè)三角形

.

相似

相似

相似

相似

1.觀察者眼睛的位置稱為

,由視點(diǎn)出發(fā)的線稱為

;在進(jìn)行測量時(shí),從下向上看,視線與水平線的夾角叫做

.

2.已知小明在同一地點(diǎn)觀察左、右并排的兩棵大樹AB和CD的示意圖如圖所示,根據(jù)圖中的條件回答下列問題:視點(diǎn)是點(diǎn)

,視線是

,

,仰角分別是

,

.

視點(diǎn)

視線

仰角

F

FA

FC

∠AFH

∠CFK學(xué)前溫故新課早知3.相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個(gè)方面:

(不能直接使用皮尺或刻度尺測量的高度)和

(不能直接測量的兩點(diǎn)間的距離).解決問題的一般步驟:(1)根據(jù)題意畫出

;(2)將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的

、

或它們之間的關(guān)系;(3)利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系,求出

;(4)寫出

.

4.小明的身高是1.6m,他的影長為2m,若同一時(shí)刻測得古塔的影長是16m,則古塔的高度是

m.

測高

測距

示意圖

已知線段

已知角

未知量

答案

12.8學(xué)前溫故新課早知相似三角形的應(yīng)用【例題】

某單位為了緩解“停車難”的問題,擬建造地下停車庫,建筑設(shè)計(jì)師提供了該地下停車庫的設(shè)計(jì)示意圖,按規(guī)定,地下停車庫坡道口上方要張貼限高標(biāo)志,以便告知停車人車輛能否安全駛?cè)?為標(biāo)明限高,請你根據(jù)該圖計(jì)算CE.(精確到0.1m)分析因?yàn)檐噹祉斉c地面平行,所以∠BAD=30°.根據(jù)直角三角形的邊與角的關(guān)系及勾股定理可計(jì)算出△ABD的三邊,最后運(yùn)用相似三角形求出CE的長.解：由題意知∠BAD=30°.設(shè)BD=x

m,則AD=2x

m.又AB=6

m,∴AD2-BD2=AB2,∵BC=1

m,∴CD=BD-BC=(2-1)

m.∵∠CED=∠ABD=90°,∠CDE=∠ADB,∴△CDE∽△ADB.點(diǎn)撥要注意題目中文字?jǐn)⑹龅那樾闻c在題圖中的具體表示的位置相統(tǒng)一,再根據(jù)圖形所提供的信息來解決問題.123451.已知一根長為1.5m的標(biāo)桿直立在水平地面上,它在陽光下的影長為2.1m.若此時(shí)一棵水杉樹的影長為10.5m,則這棵水杉樹的高為(

)A.7.5m B.8m C.14.7m D.15.75m答案答案關(guān)閉