專(zhuān)題13.4三角形的外角（舉一反三講義） 【人教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1三角形的外角定義】 1【題型2由三角形的外角性質(zhì)求角的度數(shù)】 2【題型3由三角形的外角性質(zhì)解決平行線中的問(wèn)題】 3【題型4由三角形的外角性質(zhì)解決翻折中的問(wèn)題】 4【題型5由三角形的外角性質(zhì)求三角板中角的度數(shù)】 5【題型6三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合】 6【題型7與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的新定義問(wèn)題】 7【題型8與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的探究問(wèn)題】 10【題型9三角形外角的實(shí)際應(yīng)用】 11知識(shí)點(diǎn)三角形的外角1.定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．2.性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．3.三角形的外角和等于360°．在ABC中，∠ACD是ABC的一個(gè)外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC,∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．【題型1三角形的外角定義】【例1】（2425八年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）如圖，下列角中是△ACD的外角的是（

）A．∠B B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAE【變式11】（2023八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，∠ADB是△和△的外角；以AC為一邊長(zhǎng)的三角形有個(gè)．

【變式12】（2324八年級(jí)上·河北廊坊·期中）下圖中∠1是三角形一個(gè)外角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式13】（2324八年級(jí)·陜西西安·期中）我們都知道三角形有三個(gè)內(nèi)角，其實(shí)三角形除了內(nèi)角，還有外角，三角形的外角是三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角．請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出三角形的一個(gè)外角，并證明：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．已知：__________________求證：__________________證明：【題型2由三角形的外角性質(zhì)求角的度數(shù)】【例2】如果三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和為180°，那么這個(gè)三角形是（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．銳角三角形 D．無(wú)法確定【變式21】（2425七年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，則外角∠ACD的度數(shù)為【變式22】（2425八年級(jí)上·安徽安慶·期中）一個(gè)三角形中，三個(gè)內(nèi)角的比為1:3:5，則該三角形最大的外角為（

）A．100° B．120° C．160° D．165°【變式23】（2223八年級(jí)上·河北石家莊·期末）已知等腰三角形的一個(gè)外角是90°，則這個(gè)三角形是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形或銳角三角形【題型3由三角形的外角性質(zhì)解決平行線中的問(wèn)題】【例3】（2324七年級(jí)下·江蘇淮安·期中）如圖，∠1=80°，∠2=100°，且AC∥DF．若∠C:∠A=3:2，求∠D的度數(shù)．【變式31】（2425七年級(jí)下·上海金山·期中）如圖，已知∠BCD=130°，EF∥DC，∠EAF=100°，∠EFA=20°，求【變式32】（2425七年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，AB與HN交于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)M，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC．則3∠EHG?∠EFM的度數(shù)是．【變式33】（2425七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期中）已知：如圖1，在三角形ABC中，∠BAC=40°,∠C=65°，將線段AC沿直線AB平移得到線段DE，連結(jié)AE．(1)當(dāng)∠E=65°時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明AE∥BC．(2)如圖2，當(dāng)DE在AC上方時(shí)，且∠E=2∠BAE?29°時(shí)，求∠BAE與∠EAC的度數(shù)．(3)當(dāng)AE垂直三角形ABC中的一邊時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的∠E的度數(shù)．【題型4由三角形的外角性質(zhì)解決翻折中的問(wèn)題】【例4】（2324七年級(jí)下·河北張家口·期末）如圖，將三角形紙片ABC按如圖方式折疊：折痕分別為DC和DE，點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)G重合，點(diǎn)B與DG延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F重合．若滿(mǎn)足∠ACB=38°，則∠CEF=°．【變式41】（2425八年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）等腰△ABC紙片（AB=AC）可按圖中所示方法折成一個(gè)四邊形，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合．點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，請(qǐng)問(wèn)原等腰△ABC中的∠B=（）度．A．60° B．70° C．45° D．72°【變式42】（2425七年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，在△ABC中，∠B=44°，點(diǎn)D，E分別是BA、BC邊上的點(diǎn)，將△BDE沿DE所在直線對(duì)折，得到△FDE．若∠ADF=136°，則∠CEF的度數(shù)為（

）A．46° B．48° C．50° D．52°【變式43】（2425八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，將△ABC沿AC折疊得到△ADC，再將△ADC沿AD折疊得到△ADE，連接BE，交AC，AD于點(diǎn)M，N，連接CN，DM，CN與DM相交于點(diǎn)A．90°+3α2 B．90°+2α C．180°?2α 【題型5由三角形的外角性質(zhì)求三角板中角的度數(shù)】【例5】（2025·福建·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°．當(dāng)AD∥BC時(shí)，∠ADE的大小為（

）A．5° B．15° C．25° D．35°【變式51】（2425八年級(jí)上·吉林白城·期末）如圖，一副分別含有30°和45°角的兩個(gè)直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD的度數(shù)是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式52】（2223七年級(jí)下·江蘇南京·期末）將一副直角三角板如圖放置，已知∠C=60°，∠F=45°，當(dāng)DF⊥BC時(shí)，∠EGB=．【變式53】（2425七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）將一副三角板按如圖放置，直角頂點(diǎn)A重合，其中∠B=∠C=45°，∠E=60°，∠D=30°，則下列結(jié)論正確的有（

）①∠BAE+∠CAD=180°；②如果BC∥AD，則有∠2=30°；③如果∠CAD=150°，必有∠4=∠C；④如果∠2=30°，則DE∥A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【題型6三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合】【例6】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OM，ON上移動(dòng)，BC平分∠OBA，交OM于點(diǎn)E，AD平分∠BAM，AD的反向延長(zhǎng)線與BC交于點(diǎn)C．關(guān)于結(jié)論Ⅰ、Ⅱ，下列判斷正確的是（結(jié)論Ⅰ：若∠BAD=65°，則∠ABC=20°；結(jié)論Ⅱ：無(wú)論點(diǎn)A、B在射線OM，射線ON（均不與點(diǎn)O重合）上怎樣移動(dòng)，∠C的度數(shù)都不變A．只有結(jié)論Ⅰ正確 B．只有結(jié)論Ⅱ正確C．結(jié)論Ⅰ、Ⅱ都正確 D．結(jié)論Ⅰ、Ⅱ都不正確【變式61】（2425七年級(jí)下·上海閔行·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，∠A=72°，CE平分∠ACB交BD于點(diǎn)E，∠BEC=115°，則∠ABC的度數(shù)為．【變式62】（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)C、D分別在∠AOB的OA、OB邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．射線CE與射線DF分別在∠ACD和∠CDO內(nèi)部，延長(zhǎng)EC與DF交于點(diǎn)(1)若∠AOB=90°，CE、DF分別是∠ACD和∠CDO的平分線，猜想：∠F的度數(shù)是否隨C，(2)若∠AOB=α°0<α<180，∠ECD=1n∠ACD，∠CDF=1n∠CDO，則∠F=【變式63】（2425七年級(jí)下·山西呂梁·期中）如圖，AD∥BC，∠D=∠ABC，E是邊DC上的一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，F(xiàn)是邊AB上的一點(diǎn)，BE平分∠FEC，作∠FEH的平分線EG，交BH于點(diǎn)G．若∠BAE=68°，則∠BEG的度數(shù)為．【題型7與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的新定義問(wèn)題】【例7】（2324七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）【概念】如果兩個(gè)角的度數(shù)之差為30°，我們稱(chēng)這兩個(gè)角互為“好友角”，其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的“好友角”，例如∠1=70°，∠2=40°，∠1?∠2=30°，則∠1和∠2互為“好友角”，即∠1是∠2的“好友角”，∠2也是∠1的“好友角”．【理解】（1）若∠A=45°，則∠A的“好友角”的度數(shù)為；（2）已知∠1和∠2互為“好友角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互補(bǔ)，∠1的度數(shù)為；（3）如圖1，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部A′處，已知∠B=58°，∠C=82°，若∠A′EB和∠A【拓展】如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為D，AE、CD相交于點(diǎn)F．若∠FCE與∠CEF互為“好友角”，求∠ABC的度數(shù)．【變式71】（2425八年級(jí)上·湖北宜昌·階段練習(xí)）在△ABC中，定義∠A的平分線所在直線與∠B的外角平分線所在直線所夾的銳角∠APB為∠C的伴隨角．(1)如圖①，在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，則∠C的伴隨角∠APB的度數(shù)為_(kāi)______；(2)小明試圖探究任意△ABC中∠C的伴隨角∠APB與∠C之間的數(shù)量關(guān)系，于是他動(dòng)手畫(huà)了∠C分別為直角、銳角、鈍角的三個(gè)圖，先通過(guò)測(cè)量相關(guān)角度后猜想結(jié)論，然后再驗(yàn)證結(jié)論．根據(jù)以上三個(gè)圖，測(cè)量相關(guān)角度，得到如下表格：②③④∠C的度數(shù)90°80°120°∠C的伴隨角∠APB的度數(shù)45°40°60°根據(jù)表格，小明得到了∠C的伴隨角∠APB與∠C之間的數(shù)量關(guān)系的猜想_______；(3)請(qǐng)你選擇∠C是銳角或鈍角的情況，畫(huà)出圖形，幫小明驗(yàn)證他的猜想．【變式72】我們定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形稱(chēng)之為“和諧三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為105°，60°，15°的三角形是“和諧三角形”．【概念理解】如圖1，∠MON=60°，點(diǎn)A在邊OM上，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO的度數(shù)為，△AOB（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；（2）若∠ACB=84°，試說(shuō)明：△AOC是“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】（3）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連結(jié)DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“和諧三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠B【變式73】（2425八年級(jí)上·陜西西安·期末）定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的3倍，則這樣的三角形稱(chēng)為“優(yōu)美三角形”．例如：三個(gè)內(nèi)角分別為100°,60°,20°的三角形是“優(yōu)美三角形”．【概念理解】（1）如圖1，∠MON=60°，點(diǎn)A在邊OM上，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM，交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)O,B重合）．①△AOB______“優(yōu)美三角形”（填“是”或“不是”）．②若∠ACB=80°，求證：△AOC是“優(yōu)美三角形”．【應(yīng)用拓展】（2）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，∠BDC>90°，作∠ADC的平分線，交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“優(yōu)美三角形”，求∠B的度數(shù)．【題型8與三角形的外角性質(zhì)有關(guān)的探究問(wèn)題】【例8】（2425八年級(jí)下·寧夏銀川·開(kāi)學(xué)考試）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣的圖形叫做“規(guī)形圖”，請(qǐng)發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=36°，直接寫(xiě)出∠ABX＋②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A=40°，∠DBE=130°，求③如圖4，求圖中五角星五個(gè)“角”的和．【變式81】（2324七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）【感知】（1）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE,CD相交于點(diǎn)F．若∠B=40°，則∠CFE=°，∠CEF=【探究】（2）如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE,CD相交于點(diǎn)F．求證：【拓展】（3）如圖②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其反向延長(zhǎng)線與BC邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若∠B=α，則∠CEF的大小為（用含α的代數(shù)式表示）．【變式82】（2223八年級(jí)上·江西南昌·期末）在△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、AB上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度數(shù)；(2)若點(diǎn)P在線段BC延長(zhǎng)線上，請(qǐng)借助圖2和圖3，分別探究∠1、∠2與∠α之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式83】（2425七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）【探究】如圖①所示，∠AFH和∠CHF的平分線交于點(diǎn)O，EG經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且平行于FH，分別與AB、CD交于點(diǎn)E、G．(1)若∠AFH=60°，∠CHF=50°，則∠EOF=°，∠FOH=°；(2)若∠AFH+∠CHF=100°，求∠FOH的度數(shù)．(3)如圖②所示，∠AFH和∠CHI的平分線交于點(diǎn)O，EG經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且平行于FH，分別與AB、CD交于點(diǎn)E、G．若∠AFH+∠CHF=α，直接寫(xiě)出∠FOH的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）【題型9三角形外角的實(shí)際應(yīng)用】【例9】（2425七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）如圖1是消防云梯作業(yè)圖，圖2