24.6正多邊形與圓學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念.2.理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.3.會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題.重點(diǎn)理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系我們知道，各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形。日常生活中,我們經(jīng)常能看到正多邊形形狀的物體,利用正多邊形，我們也可以得到許多美麗的圖案，你能舉出一些這樣的例子嗎？新課導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入觀察下面多邊形，它們的邊角有什么特點(diǎn)？正三角形正方形（正四邊形）正五邊形正六邊形它們的各內(nèi)角都相等，各邊都相等。探究新知知識(shí)點(diǎn)1：正多邊形的定義各邊相等，各內(nèi)角也相等的多邊形叫正多邊形。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，這個(gè)多邊形叫作正n邊形。思考：矩形是正多邊形嗎？菱形呢？為什么？正多邊形必須滿足兩個(gè)條件：

各邊相等；各角相等。獲取新知

知識(shí)點(diǎn)一：正多邊形的概念正多邊形:各邊相等,各角也相等的多邊形

三條邊相等，三個(gè)角也相等（60度）。四條邊都相等，四個(gè)角也相等（90度）。正多邊形各邊相等各角相等缺一不可（你能舉出反例嗎？矩形和菱形是嗎？）探究新知知識(shí)點(diǎn)2：正多邊形與圓的關(guān)系如圖，把分成5段相等的弧，即，依次連接各等分點(diǎn)，所得五邊形ABCDE是正五邊形嗎？為什么？由于在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，因此可以用量角器將圓心角n等分，從而使圓n等分，依次連接各等分點(diǎn)，可得到一個(gè)正n邊形。我們就把這個(gè)正變形思考：把一個(gè)圓分成相等的一些弧，連接起來，你可以得到什么？

正多邊形和圓的關(guān)系非常密切,只要把一個(gè)圓n(n≥3)等分，順次連接各等分點(diǎn)，就得到一個(gè)正n邊形.我們把這個(gè)正n邊形叫做圓的內(nèi)接正n邊形，這個(gè)圓叫做正n邊形的外接圓.隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的形狀逐漸趨近于一個(gè)圓形。2.圓的內(nèi)接正n邊形正多邊形及有關(guān)概念問題1OCDABM半徑R圓心角弦心距r弦a圓心中心角ABCDEFO半徑R邊心距r中心類比學(xué)習(xí)圓內(nèi)接正多邊形外接圓的圓心正多邊形的中心外接圓的半徑正多邊形的半徑每一條邊所對(duì)的圓心角正多邊形的中心角邊心距正多邊形的邊心距正多邊形及有關(guān)概念3.問題正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形等正n邊形都是軸對(duì)稱圖形嗎？都是中心對(duì)稱圖形嗎？4.正多邊形的對(duì)稱性正多邊形及有關(guān)概念正n邊形都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，且每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心.只有n(邊數(shù))為偶數(shù)的正多邊形才是中心對(duì)稱圖形.歸納探究新知知識(shí)點(diǎn)3：如何畫一個(gè)正n邊形？將一個(gè)圓n等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的多邊形叫作這個(gè)圓的正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。請(qǐng)欣賞：等分圓在生活中的應(yīng)用探究新知正多邊形的外接圓的圓心叫作正多邊形的中心，如圓心O。知識(shí)點(diǎn)4：圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑，如線段OE。中心到正多邊形一邊的距離叫作邊心距，如線段OH。正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫作正多邊形的中心角，如∠DOE。概念總結(jié)正多邊形的中心:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心.正多邊形的半徑:

外接圓的半徑正多邊形的中心角:正多邊形的每一條邊所對(duì)的圓心角.正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離.概念辨析圖形點(diǎn)O∠AOB線段OC線段OM線段ED正多邊形中心中心角半徑邊心距邊圓圓心圓心角半徑弦心距弦完成下面表格：正多邊形的內(nèi)角、中心角、外角。邊數(shù)內(nèi)角中心角外角346n60°90°120°60°90°120°120°90°60°正多邊形的外角=中心角探究新知知識(shí)點(diǎn)5：圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計(jì)算正n邊形的中心角：正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系:邊長(zhǎng)a，邊心距r的正n邊形的面積為：（l為周長(zhǎng)）例1：一個(gè)亭子的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)和面積(精確到0.1m2).精例解析分析：先根據(jù)題意，畫出正六邊形，已知正六邊形的半徑為4m，要求正六邊形的周長(zhǎng)和面積，需要先求出正六邊形的邊長(zhǎng)。半徑和邊長(zhǎng)同在一個(gè)三角形中，所以利用半徑求邊長(zhǎng)則要構(gòu)建三角形求解.解：如圖，連接OB，OC.因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑.因此，亭子地基的周長(zhǎng)l=6×4=24（m）.作OP⊥BC,垂足為P.在Rt△OPC中，OC=4m，

PC==2（m）,利用勾股定理，可得邊心距r=亭子地基的面積S=精例解析典例講解例2分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形，正方形的邊長(zhǎng)，邊心距和面積。解：作等邊△ABC的BC邊上的高AD，垂足為D，連接OB，則OB=R，BC=a.在Rt△OBD中，∠OBD=30°，邊心距OD=,BD=正三角形的邊長(zhǎng)為，邊心距為，面積為解連接OB,OC,作OD⊥BC，垂足為D，∠ODB=90°∠OBD=∠BOD=45°，∴OD=BD,在Rt△OBD中，有

邊心距邊長(zhǎng)新知探究知識(shí)點(diǎn)6：正多邊形的性質(zhì)1、正多邊形的各邊相等，正多邊形的各角相等。2、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正n邊形的n條對(duì)稱軸都是過頂點(diǎn)與中心的直線；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形有條對(duì)稱軸是過頂點(diǎn)與中心的直線，有條對(duì)稱軸是過中心與邊垂直的直線。3.邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。如圖所示，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠ADE的度數(shù)是

（

）A．60°B．45°C．36°D．30°·ABCDEO跟蹤練習(xí)C

有一個(gè)亭子,它的地基是半徑為4

m的正