5.7三角函數(shù)的應(yīng)用【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的應(yīng)用1．三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來(lái)等方面發(fā)揮重要作用．2．用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟收集數(shù)據(jù)→畫(huà)散點(diǎn)圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗(yàn)．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中參數(shù)的物理意義【基礎(chǔ)自測(cè)】1．如圖是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列判斷正確的是()A．該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為－5cmC．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)的振動(dòng)速度最大D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)的加速度為零【答案】D【詳解】由圖象及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)知T＝0.8s，A＝5cm，當(dāng)t＝0.1s及t＝0.5s時(shí)，v＝0，故排除選項(xiàng)A，B，C.2．如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為()A．5B．6C．8D．10【答案】C【詳解】根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.3．如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要______s往返一次．【答案】0.8【詳解】觀察圖象可知，此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝0.8，所以這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要0.8s往返一次．4．一根長(zhǎng)lcm的線(xiàn)，一端固定，另一端懸掛一個(gè)小球，小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(cm)與時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系式為s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g(shù)是重力加速度，當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1s時(shí)，線(xiàn)長(zhǎng)l＝________cm.【答案】eq\f(g,4π2)【詳解】由已知得eq\f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，所以eq\r(\f(g,l))＝2π，eq\f(g,l)＝4π2，l＝eq\f(g,4π2).5．某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1，2，3，…，12)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫為_(kāi)_______℃.【答案】20.5【詳解】根據(jù)題意得18＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)12－6))＝a－A，28＝a＋A，解得a＝23，A＝5，所以y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))，令x＝10，得y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)10－6))＝23＋5coseq\f(2π,3)＝20.5.【例題詳解】一、幾何中的三角函數(shù)模型例1(1)筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖1描繪了筒車(chē)的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng).將筒車(chē)抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車(chē)的半徑為2m，筒車(chē)的軸心O到水面的距離為1m，筒車(chē)每分鐘按逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2圈.規(guī)定：盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即時(shí)的位置）時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，設(shè)盛水筒M從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)所用時(shí)間為t（單位：s），且此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度為h（單位：m）.若以筒車(chē)的軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的水平直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2），則h與t的函數(shù)關(guān)系式為（

）【答案】A故選：AA．水深為尺 B．蘆葦長(zhǎng)為尺【答案】B故選：B.【答案】D【分析】由題知圓心角為，過(guò)O作AB的垂線(xiàn)，通過(guò)計(jì)算可得.故選：D【答案】故答案為：.二、三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用【答案】A【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出聲波曲線(xiàn)的解析式，進(jìn)而可得主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線(xiàn)的解析式.故選：A.【分析】根據(jù)圖象可求函數(shù)的解析式，從而可求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2【答案】A故選：AB．小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離均為C．小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需時(shí)間為D．每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)次【答案】D對(duì)于B,由解析式可得振幅，即為所求；對(duì)于C,由函數(shù)的解析式及周期公式即可求解；對(duì)于D,由頻率與周期的關(guān)系即可求解．故B正確；故選：D．三、三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用【答案】20.5【分析】根據(jù)題意列出方程組，求出，A，求出年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系，將x＝10代入求出10月份的平均氣溫值．故答案為：20.5(2)潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽(yáng)）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動(dòng)習(xí)慣上把海面垂直方向漲落稱(chēng)為潮汐，而海水在水平方向的流動(dòng)稱(chēng)為潮流．早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r(shí)刻，把發(fā)生在早晨的最高的潮叫潮，發(fā)生在晚上的最高的潮叫汐，這是潮汐名稱(chēng)的由來(lái)．下表中給出了某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系（夜間零點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)）．時(shí)刻（t）024681012水深（y）單位：米5.04.84.74.64.44.34.2時(shí)刻（t）141618202224水深（y）單位：米4.34.44.64.74.85.0因?yàn)樵诹銜r(shí)，所生潮的高的最大值為，跟蹤訓(xùn)練3(1)小明給學(xué)校設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)文化長(zhǎng)廊，計(jì)劃將長(zhǎng)廊的頂部遮雨棚設(shè)計(jì)成如圖所示的橫截面為正弦型曲線(xiàn)的形狀（雨棚的厚度忽略不計(jì)）．已知入口處高度AB和出口處高度CD均為H，為使參觀者行走方便，要求雨棚的最低點(diǎn)到地面的距離不小于雨棚的最高點(diǎn)到地面距離的，則雨棚橫截面正弦型曲線(xiàn)振幅的最大值為_(kāi)_____．【答案】【詳解】設(shè)雨棚橫截面正弦型曲線(xiàn)振幅為A，則雨棚的最低點(diǎn)到地面的距離為H－A，雨棚的最高點(diǎn)到地面的距離為H＋A，所以雨棚橫截面正弦型曲線(xiàn)振幅的最大值為．故答案為：．【答案】8小時(shí)．所以該船一天之內(nèi)能在該港口停留7－3＋19－15＝8小時(shí)．四、三角函數(shù)新定義例4(1)我們學(xué)過(guò)用角度制與弧度制度量角，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱(chēng)這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種用面度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度數(shù)為，則角的余弦值為（

）【答案】B【解析】利用扇形面積公式，根據(jù)面度數(shù)定義，求角.故選：BA． B． C． D．【答案】C故選：．【課堂鞏固】甲乙【答案】A故選：A．A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm【答案】C【分析】利用題中的函數(shù)圖象，分析出函數(shù)的周期，由周期公式得到的關(guān)系式即可求解.由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的周期為，故選：C.【答案】C【詳解】由題意可知，最高點(diǎn)到水面距離為5，故A=5，由水輪自點(diǎn)A開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，1min旋轉(zhuǎn)4圈，故選：C【答案】C【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，然后借助函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍即可．故選：C．【答案】BCD【詳解】解：設(shè)船的實(shí)際速度為，和的夾角為，故選：BCD【答案】

2

【分析】利用圖象所過(guò)的點(diǎn)可求，從而可求振幅和初相.故答案為：2，.【答案】故答案為：【答案】4【分析】根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?4，圓心到水面的距離為2，所以到x軸的距離為2，所以x軸與所成角為，因?yàn)樗?chē)的半徑為4，設(shè)P點(diǎn)到水面的距離為y，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型有：當(dāng)t=10秒時(shí)，y=4，所以點(diǎn)離水面的高度是4m.故答案為：4.(1)單擺運(yùn)動(dòng)的周期是多少？(2)從點(diǎn)算起，到曲線(xiàn)上的哪一點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)？如從點(diǎn)算起呢？【答案】(1)(2)從點(diǎn)算起，到曲線(xiàn)上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng);從點(diǎn)算起，到曲線(xiàn)上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)(3)【分析】（1）根據(jù)周期的定義，由圖象觀察可以得出；（2）完成一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即在函數(shù)圖象上呈現(xiàn)一個(gè)周期的圖象，結(jié)合圖象確定正確答案；（3）根據(jù)周期函數(shù)的運(yùn)算，可以計(jì)算出秒相當(dāng)于運(yùn)動(dòng)幾個(gè)周期，還剩多少時(shí)間，可以算出位移．【詳解】（1）從題圖可以看出，單擺運(yùn)動(dòng)的周期是；（2）若從點(diǎn)算起，到曲線(xiàn)上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；若從點(diǎn)算起，到曲線(xiàn)上的點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)；13．一個(gè)半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米．已知水輪按逆時(shí)針作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每6秒轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．(1)以過(guò)點(diǎn)O且平行于水輪所在平面與水面的交線(xiàn)L的直線(xiàn)為x軸，以過(guò)點(diǎn)O且與水面垂直的直線(xiàn)為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h（單位：米）表示為時(shí)間t（單位：秒）的函數(shù)；(2)在水輪轉(zhuǎn)動(dòng)的任意一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離水面的高度不低于2米？【分析】（1）首先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后結(jié)合題意和物理意義及待定系數(shù)法確定參數(shù)值即可求得函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的解析式求解三角不等式即可確定有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)距水面的高度不低于2米．即水輪轉(zhuǎn)動(dòng)任意一圈內(nèi)，有秒的時(shí)間點(diǎn)距水面的高度不低于2米．14．如圖,天津之眼，全稱(chēng)天津永樂(lè)橋摩天輪，是世界上唯一一個(gè)橋上瞰景摩天輪，是天津的地標(biāo)之一.永樂(lè)橋分上下兩層，上層橋面預(yù)留了一個(gè)長(zhǎng)方形開(kāi)口，供摩天輪輪盤(pán)穿過(guò)，摩天輪的直徑為110米，外掛裝48個(gè)透明座艙，在電力的驅(qū)動(dòng)下逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈大約需要30分鐘.現(xiàn)將某一個(gè)透明座艙視為摩天輪上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，距離下層橋面的高度為113米，點(diǎn)在最低點(diǎn)處開(kāi)始計(jì)時(shí).（1）試確定在時(shí)刻(單位:分鐘)時(shí)點(diǎn)距離下層橋面的高度(單位:米)；（2）若轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)某一個(gè)摩天輪透明座艙在上下兩層橋面之間的運(yùn)行時(shí)間大約為5分鐘，問(wèn)上層橋面距離下層橋面的高度約為多少米？【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.t0.000.100.200.300.400.500.60y10.320.010.3(1)試確定位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)在理想狀態(tài)下，經(jīng)過(guò)10秒，該彈簧振子的位移和路程分別是多少？（精確到0.1）【分析】（1）根據(jù)最值確定，由周期求，代入一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)求出；所以該彈簧振子的位移是10mm．【課時(shí)作業(yè)】1．如圖，圖O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線(xiàn)OA，終邊為射線(xiàn)OP，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)OA的垂線(xiàn)，垂足為M，將點(diǎn)M到直線(xiàn)OP的距離表示成x的函數(shù)，則的圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故選C.考點(diǎn)：三角函數(shù)【答案】D故選：DA． B．π C． D．2π【答案】B【詳解】由正弦型函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)示意圖如下：故選：B【答案】A【詳解】因?yàn)樗喿渣c(diǎn)A開(kāi)始1分鐘逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9圈，故選：A【答案】D故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是三角函數(shù)新定義，難點(diǎn)是讀懂題意，判斷最后一個(gè)選項(xiàng)的關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期，并利用三角函數(shù)的性質(zhì)，在一個(gè)周期內(nèi)分區(qū)間段討論函數(shù)值.【答案】A故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，由新定義明確本題中的下確界就是函數(shù)的最小值．可通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍．7．（多選）從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如下圖所示（均為正弦型曲線(xiàn)）：體力、情緒、智力在從出生之日起的每個(gè)周期中又存在著高潮期（前半個(gè)周期）和低潮期（后半個(gè)周期），它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的表現(xiàn)如下表所示：高潮期低潮期體力體力充沛疲倦乏力情緒心情愉快心情煩躁智力思維敏捷反應(yīng)遲鈍如果從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5860，那么今日同學(xué)甲（

）A．體力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思維敏捷【答案】BC【分析】根據(jù)圖象求得體力周期、情緒周期、智力周期，根據(jù)周期性求得正確答案.從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5860，故對(duì)于體力，有5860＝23×254＋18，處于低潮期，疲倦乏力；對(duì)于情緒，有5860＝28×209＋8，處于高潮期，心情愉快；對(duì)于智力，有5860＝33×177＋19，處于低潮期，反應(yīng)遲鈍．故今日同學(xué)甲疲倦乏力，心情愉快，反應(yīng)遲鈍．BC選項(xiàng)正確.故選:BC【答案】CD故選：CD9．如圖，已知扇形的圓心角為60°，半徑為1，則扇形的內(nèi)接矩形面積的最大值為_(kāi)______________.【答案】【分析】根據(jù)設(shè)角為自變量，分別表示矩形長(zhǎng)與寬，最后根據(jù)三角函數(shù)二倍角公式、輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)應(yīng)用、二倍角公式、輔助角公式以及正弦函數(shù)性質(zhì)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出3分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度，結(jié)合三角函數(shù)的定義計(jì)算點(diǎn)所處位置的坐標(biāo)．【詳解】解：由題意可得圖：11．某游樂(lè)場(chǎng)中半徑為米的摩天輪逆時(shí)針（固定從一側(cè)觀察）勻速旋轉(zhuǎn)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，其最低點(diǎn)離底面米，如果以你從最低點(diǎn)登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，那么你與底面的距離高度（米）隨時(shí)間（秒）變化的關(guān)系式為_(kāi)____.【答案】

0【分析】由題可得該函數(shù)的最小正周期是，然后利用函數(shù)的周期性可得函數(shù)值.【詳解】由圖象，可知該函數(shù)的最小正周期是，故答案為：；0.其中正確的是__________．（填上所有正確性質(zhì)的序號(hào)）【答案】①④⑤.綜上所述，正確命題的序號(hào)為①④⑤．點(diǎn)從處開(kāi)始以2秒一周的速度繞點(diǎn)O在圓周上按逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蛩賵A周運(yùn)動(dòng)（這里的角均指逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角）．【分析】（1）根據(jù)題意求出旋轉(zhuǎn)角即可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出解析式；16．游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？（2）轉(zhuǎn)四圈需要多少時(shí)間？（3）你第四次距地面最高需要多少時(shí)間？（4）轉(zhuǎn)60分鐘時(shí)，你距離地面是多少？【答案】（1）是周期現(xiàn)象；（2）48（分鐘）；（3）42（分鐘）；（4）0.5（米）．【分析】（1）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，利用三角函數(shù)的周期性得到你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象．（2）每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，由此能求出轉(zhuǎn)四圈需要的時(shí)間．（3）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心距離地面40.5米，半徑40米，出發(fā)后6分鐘時(shí)，摩天輪第一次到達(dá)最高點(diǎn)，由此能求出你第四次距地面最高需要的時(shí)間．【詳解】解：（1）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心距離地面40.5米，半徑40米，從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，利用三角函數(shù)的周期性得到你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象．（2）每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，（3）游樂(lè)場(chǎng)中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心距離地面40.5米，半徑40米，出發(fā)后6分鐘時(shí)，摩天輪第一次