第02講：指、對、冪函數(shù)高頻考點(diǎn)突破【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.考點(diǎn)二．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象定義域(1)R值域(2)(0，＋∞)性質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1)(4)當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1(5)當(dāng)x>0時，0<y<1；當(dāng)x<0時，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)考點(diǎn)三：.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．考點(diǎn)四：對數(shù)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．考點(diǎn)五：對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)對數(shù)的性質(zhì)(3)對數(shù)的換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．考點(diǎn)六：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=logaxa>10<a<1圖象定義域(1)(0，＋∞)值域(2)R性質(zhì)(3)過定點(diǎn)(1,0)(4)當(dāng)x>1時，y>0;當(dāng)0<x<1時，y<0(5)當(dāng)x>1時，y<0;當(dāng)0<x<1時，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)考點(diǎn)七：反函數(shù)的概念一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．(1)y＝ax的定義域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定義域．(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．(3)反函數(shù)的兩個函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與y＝logax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性相同．但單調(diào)區(qū)間不一定相同．技巧歸納：1、換底公式的兩個重要結(jié)論2．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．考點(diǎn)八：.冪函數(shù)(1)定義：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的圖象比較考點(diǎn)九：五個冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識點(diǎn)十一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．2．當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．【題型梳理】題型一：指對冪的運(yùn)算1．（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）求下列各式的值：【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，化簡求值；（2）利用對數(shù)運(yùn)算法則化簡求值.2．（2023秋·四川成都·高一?？计谀┗喦笾担骸敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計算可得所求代數(shù)式的值；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式計算可得所求代數(shù)式的值.3．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中校考期末）計算與化簡：【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入計算即可；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，代入計算即可；（3）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，代入計算即可；（4）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入計算即可；題型二：比較大小【答案】A故選：A.A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】A所以c＜b＜a．故選：A．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小可得答案.題型三：指數(shù)函數(shù)的綜合【答案】(1)作出圖象如下圖所示：

（2）根據(jù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【答案】(1)證明見解析【分析】（1）利用定義法即可證明；題型四：冪函數(shù)的綜合(2)證明見解析【分析】（1）由待定系數(shù)法可得解析式，根據(jù)解析式有意義可得定義域；（2）按照步驟：取值，作差，定號，下結(jié)論證明即可.(2)見解析.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求得的值，再結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性列不等式即可求得x的取值范圍．題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；【答案】(1)a＝0(2)證明見解析（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性證明；故實(shí)數(shù)a的值為0；(1)求的值；【分析】（1）根據(jù)已知，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論，再進(jìn)行計算求解（2）根據(jù)已知，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次函數(shù)、一元二次方程進(jìn)行求解.(1)求的值；【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值；【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：題型六：函數(shù)的應(yīng)用(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明見解析（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義求解；(1)求的值（精稱到0.01）；【專題突破】一、單選題A． B．1 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值即可.故選：C.A． B． C． D．【答案】B故選：B．【答案】D故選：D．【答案】A故選：A.【答案】B故選：B．【答案】C若在上單調(diào)遞增,故選：CA．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義，即可判斷奇偶性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷函數(shù)的增減性.故選：A【答案】D故選：D.【答案】D故選：D.【答案】B故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.二、多選題【答案】ABD故選：ABD.【答案】AC故選:AC.【答案】ABCD故選：ABCD.【答案】AB【分析】先求函數(shù)的定義域，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解最值判斷選項(xiàng)即可.故選：AB.33．（2023秋·遼寧·高一校聯(lián)考期末）下列命題正確的有（

）【答案】BD【分析】對于A，由全稱命題的否定為特稱命題即可；對于B，先求函數(shù)的定義域，再利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷即可；對于C，由分段函數(shù)為增函數(shù)，則每一段上都為增函數(shù)，再考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值，列出不等式求解即可；故選：BD.三、填空題【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.故答案為：.所以在,上的值域?yàn)?，所以此時不符合題意，四、解答題【答案】(1)(2)答案見解析(2)見解析【答案】(1)奇函數(shù)（2）結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．所以為奇函數(shù)；①求實(shí)數(shù)，的值；【答案】(1)答案見解析所以不具有奇偶性；(1)求a的值；【答案】(1)或綜上所述，的值為或.44．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實(shí)驗(yàn)中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間x（單位：小時）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(3)請用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計17小時后，該類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.(3)（百萬個【分析】（1）根據(jù)代