專題1.5等腰三角形教學(xué)目標(biāo)1.理解掌握等腰三角形的性質(zhì)定理（等邊對(duì)等角和三線合一）和判定定理（等角對(duì)等邊），進(jìn)行相關(guān)的推理、判斷、計(jì)算和作圖；2.理解掌握等邊三角形的性質(zhì)定理和判定定理，能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算與證明；3.熟練掌握并能運(yùn)用“30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”和“斜邊中線等于斜邊的一半”進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算及證明；4.通過觀察、操作、推理等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）等腰三角形重要性質(zhì)：三線合一、等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊；（2）直角三角形重要性質(zhì)：30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、斜邊中線等于斜邊的一半。2.難點(diǎn)（1）解題時(shí)需警惕無圖多解問題，優(yōu)先驗(yàn)證幾何關(guān)系合法性（如三邊關(guān)系、角度范圍）；（2）“三線合一”的輔助線構(gòu)造：等腰三角形中嘗試連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)（或作高線），激活“三線合一”性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，相等的兩個(gè)角叫做底角。2.等腰三角形的性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”。3.等腰三角形的性質(zhì)定理2：等腰三角形的底邊上高線和中線、頂角平分線互相重合。簡(jiǎn)稱“三線合一”。4.等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”。5.等腰三角形的性質(zhì)的作用：證明兩條線段或兩個(gè)角相等的一個(gè)重要依據(jù)。【即學(xué)即練】1．（2425八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）下列敘述正確的語句是（

）（多選題）A．等腰三角形兩腰上的高相等B．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合C．等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高線D．全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等【答案】A【詳解】解：A、等腰三角形兩腰上的高相等，是真命題，符合題意；B、等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高線所在的直線，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等，說法正確，符合題意；故選：AD．A． B． C． D．【答案】CA． B． C． D．【答案】D【答案】A選項(xiàng)說法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【答案】見解析知識(shí)點(diǎn)02等邊三角形1.等邊三角形：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也稱為正三角形。2.等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°。注意：等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對(duì)稱軸，每個(gè)角的平分線（底邊上的高線或中線）所在的直線就是它的對(duì)稱軸。3.等邊三角形的判定定理：（1）三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。4.直角三角形的重要性質(zhì)：（1）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊是斜邊的一半；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！敬鸢浮緽【答案】3．（2425八年級(jí)上·河南安陽·期中）滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個(gè)數(shù)是（

）①有兩個(gè)角是的三角形；②有兩個(gè)外角相等的等腰三角形；③腰上的高也是中線的等腰三角形；④三個(gè)外角都相等的三角形；⑤有一個(gè)角為的等腰三角形．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【詳解】解：一個(gè)三角形有兩個(gè)角是，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知，另一個(gè)角也為，即有兩個(gè)角是的三角形是等邊三角形，故正確；一個(gè)等腰三角形有兩個(gè)底角相等，則底角的外角相等，不能判定該三角形為等邊三角形，即有兩個(gè)外角相等的等腰三角形不一定是等邊三角形，故錯(cuò)誤；有一腰上的中線也是這個(gè)腰上的高的等腰三角形，則說明該等腰三角形的腰與底一樣長(zhǎng)，即該三角形為等邊三角形，故正確；一個(gè)三角形的三個(gè)外角都相等，則這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，即三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形，故正確；【答案】見解析【答案】(1)見解析(2)等邊三角形，理由見解析題型01等腰三角形及相關(guān)概念【典例1】（2425八年級(jí)下·河南平頂山·期中）一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則它的頂角的度數(shù)為；等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為2cm和5cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為；【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，A． B． C． D．【答案】C當(dāng)為底角時(shí)：另一底角也為，綜上，的度數(shù)不可能是，故選：C．【答案】B【詳解】解：等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為和，可能有兩種情況：情況一：腰長(zhǎng)為，底邊為．則三邊為、、．情況二：腰長(zhǎng)為，底邊為．則三邊為、、．【變式3】（2025·湖北荊州·三模）已知等腰三角形的頂角為，則這個(gè)等腰三角形的底角為（

）【答案】B題型02等腰三角形的性質(zhì)1的相關(guān)計(jì)算與證明（等邊對(duì)等角）【答案】或【答案】【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【答案】(1)見解析(2)見解析題型03等腰三角形的性質(zhì)2的相關(guān)計(jì)算與證明（“三線合一”）【答案】110【答案】B【答案】D【答案】【變式4】（2425八年級(jí)上·河北石家莊·期末）【課本再現(xiàn)】在冀教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第十七章《特殊三角形》中，我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）．【定理應(yīng)用】請(qǐng)利用上面等腰三角形的性質(zhì)定理，解決下面問題：【答案】(1)見解析(2)③題型04等腰三角形判定的運(yùn)用（等角對(duì)等邊）【典例1】（2425八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）下面是小穎同學(xué)的數(shù)學(xué)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．等腰三角形的深入思考作垂線和作平行線是幾何中常用的輔助線，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)它們出現(xiàn)在等腰三角形中時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)新的等腰三角形．通過改變動(dòng)點(diǎn)的位置繼續(xù)探究，我發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：過等腰三角形邊上或延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)作腰或底的平行線與三角形第三邊所在直線相交，就能得到新的等腰三角形；過等腰三角形邊上或延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)作底邊的垂線與兩腰所在直線相交，也能得到新的等腰三角形．任務(wù)：(1)在不添加字母的情況下，寫出圖1中所有的新等腰三角形：______．A．18 B．20 C．26 D．28【答案】A題型05等腰（等邊）三角形與尺規(guī)作圖A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C第四個(gè)圖：不能判斷是等腰三角形；故選：C．【答案】見解析(2)尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D2中用另外一種方法找出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：連接，如圖（2）如圖2，點(diǎn)D即為所求．題型06等邊三角形的性質(zhì)定理的運(yùn)用【答案】見解析【詳解】證明：如圖所示，連接．A． B． C． D．【答案】DA．2 B． C． D．【答案】A【答案】見解析【答案】(1)見解析(2)見解析題型07等邊三角形的判定定理的運(yùn)用【答案】(1)證明見解析(2)【變式1】26．（2425八年級(jí)下·四川達(dá)州·期中）若一個(gè)三角形是軸對(duì)稱圖形，且有一個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)三角形一定是（

）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等邊三角形D．不能確定【答案】C【詳解】解：三角形是軸對(duì)稱圖形，這個(gè)三角形一定是等腰三角形，又這個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角為，這個(gè)三角形一定是等邊三角形．故選：C．【答案】B【答案】見解析題型08直角三角形斜邊中線的性質(zhì)的運(yùn)用A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2【答案】B【答案】BA．5 B．100 C．25 D．15【答案】C【答案】見解析【答案】6題型0930°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半的運(yùn)用【答案】【答案】C

A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm【答案】B【詳解】解：如圖，作邊的高，設(shè)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，

【答案】(1)見解析(2)題型10等腰三角形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用(1)在不添加輔助線的前提下，請(qǐng)找出圖1中的一個(gè)等腰三角形：________；【答案】(1)見解析(2)1或【變式2】（2425七年級(jí)下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）【定義1】如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“均等三角形”【定義2】從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“均等三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“均等分割線”．【答案】(1)見解析(2)原始支撐段的長(zhǎng)度是8米（2）解：連接，

題型11等邊三角形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用【答案】(1)見解析(2)見解析(3)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】CA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【答案】(1)見解析(2)①見解析；②1．（2425八年級(jí)上·安徽合肥·期末）下列命題中，是真命題的是（

）A．等腰三角形兩腰上的高相等B．三角形按邊分類可分為等邊三角形和不等邊三角形C．等腰三角形的角平分線、中線和高重合D．有一個(gè)角等于的三角形是等邊三角形【答案】A【詳解】解：A、等腰三角形兩腰上的高相等，是真命題，符合題意；B、三角形按邊可分為不等邊三角形，等腰三角形，故B是假命題，不符合題意；C、等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線重合，故C是假命題，不符合題意；D、有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形，故D是假命題，不符合題意．故選：A．2．（2425八年級(jí)下·河南平頂山·期中）下列條件中不能說明三角形是等腰三角形的是(

)B．有一個(gè)角為的直角三角形【答案】DB：直角三角形中一個(gè)角為，則另一銳角為，兩角相等，故為等腰直角三角形，不符合題意；故選：D．A．米 B．米 C．6米 D．米【答案】AA． B． C． D．【答案】BA．1 B．2 C．4 D．6【答案】BA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【答案】3【答案】8【答案】【答案】【答案】15．（2425七年級(jí)下·重慶·期中）在學(xué)習(xí)了等腰三角形的相關(guān)知識(shí)后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)一個(gè)三角形兩邊中線相等，則這個(gè)三角形是等腰三角形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論，請(qǐng)根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：證明：點(diǎn)、點(diǎn)分別是、邊上的中點(diǎn)，