專(zhuān)題08全等三角形中的角平分線模型

【模型展示】

特點(diǎn)

利用角平分線圖形的對(duì)稱(chēng)性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱(chēng)全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

相等。利用對(duì)稱(chēng)性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。

結(jié)論三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形(SSS)＞全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

【模型證明】

角平分線+垂直兩邊型

角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)作角兩三①垂直段構(gòu)成的兩個(gè)RT三角形全等.

/c

OFB

【證明】

VOC為ZAOB的角平分線，

D為OC上一點(diǎn)DEJ_OA,DF±OB

解決方案

:.AOED=Aoro（AAS）

.\DE=DF

角平分線+垂直角平分線型

—一

構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可b4得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到

對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把角平分線和二三線合一聯(lián)系了起來(lái)。

角平分線+平行線

如圖，P是NMON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ/70N,交OM于點(diǎn)Q。

結(jié)論：APOQ是等腰三角形。

【證明】

VPQ//ON

ZPON=ZOPQ

又；0P是/MON的平分線

ZPOQ=ZPON

/.ZPOQ=ZOPQ

AAPOQ是等腰三角形

【題型演練】

一、單選題

1.已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA,過(guò)E作EF_LAB,

F為垂足，下歹II結(jié)論：①Z\ABD0△EBC②/BCE+/BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正確的

是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

2.如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF,

連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H.給出如下幾個(gè)結(jié)論：①4AED之ZXDFB；②S四邊形

巧

BCDG=—CG2;③若AF=2DF,貝UBG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤/BGE的大小為定值.

2

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

3.如圖，RSACB中,ZACB=90°,A/BC的角平分線40、BE相交于點(diǎn)P,過(guò)尸作尸尸_L40交3c的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交/C于點(diǎn)H,則下列結(jié)論：①/4P3=135°;②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四邊形

3

ABDE=]SAABP,其中正確的個(gè)數(shù)是（）

二、填空題

4.已知，△48C中，/BAC=120。，AD平分/BAC,ZBDC=60°,AB=2,AC=3,則的長(zhǎng)是.

5.如圖，△/8C的外角乙48的平分線CP與內(nèi)角N48C的平分線3P交于點(diǎn)P,若NAPC=50。，/CAP

6.如圖所示，A48C的外角//CD的平分線CP與/48C的平分線相交于點(diǎn)P,若/BPC=36°,則

ACAP=.

三、解答題

7.如圖，A/BC中，AC=BC,ZACB=90°,4D平分NBAC交BC于點(diǎn)、D,過(guò)點(diǎn)2作3￡_L4D,交40延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,b為的中點(diǎn)，連接CF,交4D于點(diǎn)G,連接8G.

（1）線段與線段有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

（2）判斷ABEG的形狀，并說(shuō)明理由.

8.已知：如圖，在四邊形A8CD中，BD平分/ABC,N/+NC=180。，BC>BA.求證：點(diǎn)。在線段/C

的垂直平分線上.

9.如圖所示，在四邊形48CD中，AC平分NDAB,CD=CB,求證：Z5+ZJD=180°.

10.已知：如圖，AC//BD,AE、BE分別平分NC42和//AD,點(diǎn)E在CD上.用等式表示線段/5、AC,

8。三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

c

E

11.在AZBC中，BE,CD為A/BC的角平分線，BE,CO交于點(diǎn)尸.

(1)求證：Z5FC=90°+-Z^；

2

(2)已知44=60°.

①如圖1,若8。=4,5c=6.5,求CE的長(zhǎng)；

②如圖2,若BF=AC,求N/E2的大小.

圖1圖2

12.如圖，△/8C中，AB=AC,ZBAC=90°,CD平分NACB,BELCD,垂足￡在C￡1的延長(zhǎng)線上.求

證：BE=^CD.

13.如圖，在△/2C中，ZC=90°,是/A4c的角平分線，交BC于點(diǎn)、D,過(guò)。作。于點(diǎn)E,點(diǎn)

產(chǎn)在NC上，且BD=DF.

(1)求證：AC=AE；

(2)若45=7.4,AF=1A,求線段的長(zhǎng).

cDB

14.(1)如圖1,射線。尸平分/MON,在射線OM,ON上分別截取線段。/,OB,使04=08,在射線

0P上任取一點(diǎn)。，連接BD.求證：AD=BD.

(2)如圖2,在口中，ZACB=90°,N/=60。，CD平分NACB,求證：BC^AC+AD.

(3)如圖3,在四邊形中，AB=9,DE=1,BD=6,C為8。邊中點(diǎn)，若AC平分/BAE,EC平分

ZAED,N/CE=120。，求的值.

圖1圖2圖3

15.如圖，己知△48C中，AB=AC,N/=108。，BD平分/ABC.

求證：BC=AB+CD.

16.如圖，AABC的外角NDAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PD_LAB于D,PE_LAC于E.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長(zhǎng).

17.如圖，\ABC的外角ZACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分線BP交于點(diǎn)P,若ZBPC=40。，求ZCAP

的度數(shù).

18.四邊形/BCD中，DA=DC,連接50.

(1)如圖1,若BD平分/ABC,求證：ZA+ZC=180°.

(2)如圖2,若BD=BC,ZBAD=150°,求證：ZDBC=2ZABD.

(3)如圖3,在(2)的條件下，作4E_L3C于點(diǎn)E,連接。E,若￡M_LDC,BC=2,求。E的長(zhǎng)度.

19.在△A8C中，為△/BC的角平分線，點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在C8的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接4B,若/￡=48。，則//8C的度數(shù)為

(2)如圖2,NC>48,點(diǎn)尸在線段40延長(zhǎng)線上，比較NC+3P與/5+CP之間的大小關(guān)系，并證明.

(3)連接若NrUE=90。，/B/C=24。，且滿足/2+/C=EC,請(qǐng)求出//C8的度數(shù)(要求：畫(huà)圖，

寫(xiě)思路，求出度數(shù)).

20.如圖，已知在四邊形中，3。是的平分線，AD=CD.2求證：ZA+ZC=180°.

21.閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖一，AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD平分/ABC,猜想線段AD與DC數(shù)量關(guān)系.小明發(fā)現(xiàn)可以用

下面方法解決問(wèn)題:作DELBC交BC于點(diǎn)E：

(1)根據(jù)閱讀材料可得AD與DC的數(shù)量關(guān)系為.

(2)如圖二，AABC中，ZA=120°,AB=AC,BD平分NABC,猜想線段AD與DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的猜想.

(3)如圖三，ZXABC中，ZA=100°,AB=AC,BD平分NABC,猜想線段AD與BD、BC的數(shù)量關(guān)系，并證

明你的猜想.

專(zhuān)題08全等三角形中的角平分線模型

【模型展示】

特點(diǎn)

利用角平分線圖形的對(duì)稱(chēng)性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱(chēng)全等三角形，可以得到對(duì)

應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。利用對(duì)稱(chēng)性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種

解題技巧。

結(jié)論三邊對(duì)應(yīng)相等的三角戲是全等三角形（SSS）、全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

【模型證明】

角平分線+垂直兩邊型

角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)作角兩邊垂直段構(gòu)成的兩個(gè)RT三角

形全等.

【證明】

■:OC為ZAOB的角平分線,

解決方

D為OC上一點(diǎn)DEJ_OA,DF±OB

案

二AOED=A(?FD(AAS)

/.DE=DF

角平分線+垂直角平分線型

構(gòu)造此模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角

形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型巧妙地把南平分線和三線合一聯(lián)系

了起來(lái)。

9/45

角平分線+平行線

如圖，P是NMON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ/70N,交OM于點(diǎn)Q。

結(jié)論：APOQ是等腰三痢形。

【證明】

：PQ〃ON

.,.ZPON=ZOPQ

又：OP是/MON的平分線

.\ZPOQ=ZPON

.\ZPOQ=ZOPQ

.,.△POQ是等腰三角形

【題型演練】

一、單選題

1.己知：如圖，BD為AABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE=BA,

過(guò)E作EFLAB,F為垂足，下列結(jié)論：

@AABD^AEBC?ZBCE+ZBCD=180°(3)AD=AE=EC(4)BA+BC=2BF其中正確的是()

A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】易證AA8。名AE8C,可得/BCE=NBD4,AD=EC可得①②正確；再根據(jù)角平分

線的性質(zhì)可求得乙CU￡=NOCE,即③正確，根據(jù)③可判斷④正確；

【詳解】：BD為/ABC的角平分線，

/.ZABD=ZCBD,

.?.在4ABD和4EBD中，BD=BC,ZABD=ZCDB,BE=BA,

△AABD^AEBC(SAS),故①正確；

：BD平分/ABC,BD=BC,BE=BA,

ZBCD=ZBDC=ZBAE=ZBEA,

VAABD^AEBC,

.?.ZBCE=ZBDA,

10/45

/.ZBCE+ZBCD=ZBDA+ZBDC=180°,

故②正確；

VZBCE=ZBDA,ZBCE=ZBCD+ZDCE,

ZBDA=ZDAE+ZBEA,ZBCD=ZBEA,

.?.ZDCE=ZDAE,

/.△ACE是等腰三角形，

；.AE=EC,

VAABD^AEBC,

.\AD=EC,

.\AD=AE=EC,

故③正確；

作EGLBC,垂足為G,如圖所示：

：E是BD上的點(diǎn)，EF=EG,

\BE=BE

在ABEG和ABEF中.”

[E17Fc=EG

：.ABEG^ABEF,

；.BG=BF,

(EF=EG

在ACEG和AAFE中4-

yAE=CE

/.△CEG^AAFE,

AF=CG,

BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,

故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中熟

練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

2.如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重

合），且AE=DF,連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H.給出如下幾個(gè)

11/45

結(jié)論：①△AEDgZ\DFB；②S四城BCDG="CG2；③若AF=2DF,

貝1JBG=6GF；④CG與

2

BD一定不垂直；⑤/BGE的大小為定值.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【詳解】試題分析：①：ABCD為菱形，；.AB=AD,；AB=BD,.'△ABD為等邊三角形,

.?.ZA=ZBDF=60°,又：AE=DF,AD=BD,.?.△AED^ADFB,故本選項(xiàng)正確；

②,:ZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°=ZBCD,即ZBGD+ZBCD=180°,點(diǎn)B、

C、D、G四點(diǎn)共圓，.,.ZBGC=ZBDC=60°,ZDGC=ZDBC=60°,/.ZBGC=ZDGC=60°,

過(guò)點(diǎn)C作CM_LGB于M,CNLGD于N（如圖1）,則ACBM絲ACDN（AAS）,/.S

BCDG=S四邊彩CMGN.S四邊彩CMGN=2SACMG,,?>^CGM=60°,GM=^-CG,CM=^-CG,???$四邊彩

22

CMGN=2SACMG=2X；x；CGxICG=1CG?,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2224

③過(guò)點(diǎn)F作FP〃AE于P點(diǎn)（如圖2）,VAF=2FD,AFP：AE=DF：DA=1：3,VAE=DF,

AB=AD,/.BE=2AE,AFP：BE=FP：yAE=l：6,；FP〃AE,APF//BE,AFG：BG=FP：

BE=1：6,即BG=6GF,故本選項(xiàng)正確；

④當(dāng)點(diǎn)E,F分別是AB,AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3）,由（1）知，AABD,△BDC為等邊三角

形，：點(diǎn)E,F分另1J是AB,AD中點(diǎn)，.*.NBDE=NDBG=30。，；.DG=BG,itAGDC^ABGC

中，VDG=BG,CG=CG,CD=CB,AAGDC^ABGC,AZDCG=ZBCG,ACHlBD,

即CG±BD,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

@ZBGE=ZBDG+ZDBF=ZBDG+ZGDF=60°,為定值，故本選項(xiàng)正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③⑤，共3個(gè)，故選B.

12/45

考點(diǎn)：四邊形綜合題.

3.如圖，*A/CB中，ZACB=90°,A4BC的角平分線4D、BE相交于點(diǎn)尸，過(guò)尸作PF_L

交2c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，交NC于點(diǎn)則下列結(jié)論：①乙4尸3=135°;②PF=PA；

3

③AH+BD=AB；④S四邊形/&）￡=—SA48尸，其中正確的個(gè)數(shù)是（）

2

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可.

【詳解】解：：在△ABC中，ZACB=90°,

.-.ZCAB+ZABC=90°

VAD>BE分別平分NBAC、ZABC,

AZBAD=-ZCAB,ZABE=-ZABC

22

/.ZBAD+ZABE=1ZCAB+^ZABC=^(ZCAB+ZABC)=45°

.?.ZAPB=180°-(ZBAD+ZABE)=135°,故①正確；

.?.ZBPD=45°,

又；PF_LAD,

.?.ZFPB=90°+45°=135°

ZAPB=ZFPB

又：/ABP=NFBP

BP=BP

13/45

.'.△ABP^AFBP(ASA)

AZBAP=ZBFP,AB=AB,PA=PF,故②正確;

在aAPH與4FPD中

NAPH=NFPD=90。

ZPAH=ZBAP=ZBFP

PA=PF

/.△APH^AFPD(ASA),

AAH=FD,

又,.?AB=FB

???AB=FD+BD=AH+BD,故③正確；

連接HD,ED,

VAAPH^AFPD,AABP^AFBP

:?SAAPH=SAFPD，S4ABp=S4FBP，PH=PD,

NHPD=90。，

ZHDP=ZDHP=45°=ZBPD

???HD〃EP,

?v—v

,,晨EPH—3EPD

?S四邊形幺5DE-S.ABP+S^BDP+S“EP^EPD

=S&ABP+(S4女尸+S&EPH)+S^PBD

=S&ABP+S&APH+S&PBD

=S"BP+SAFPD+S&PBD

—Cc

一"AABP丁24FBP

-2sDBP

故④錯(cuò)誤，

,正確的有①②③，

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SSS、SAS、

AAS、ASA、HL,注意AAA和SAS不能判定兩個(gè)三角形全等.

14/45

二、填空題

4.已知，△/3C中，/B/C=120。，AD平分NBAC,ZBDC=6Q°,4B=2,/C=3,則

AD的長(zhǎng)是.

D

【答案】5

【分析】過(guò)。作，DE1AC,。尸_L4B交NB延長(zhǎng)線于凡然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和30。

角直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】過(guò)。作，DE1AC,。尸_L/B交48延長(zhǎng)線于產(chǎn)，

D

平分/&4C,DE1AC,DFLAB,

:.DE=DF,ZDEC=ZDFB=90°=ZDEA,

,：ZBAC+ZBDC+ZDCE+ZDBA=360°,

ZBAC=120°,ZBDC=60°,

ZDCE+ZDBA=ISQ°,

:/DBF+NDB/=180°,

：.ZDCE=ZDBF,

在ADEC和4DFB中，

15/45

ZDCE=ZDBF

<ZDEC=ZDFB

DE=DB

：.△DEgADFB(AAS),

：.CE=BF,

在RtADEA和Rt^DFA中，

[DE=DF

[DA=DA'

RtADEA^￡\DFA(ffl),

AE=AF,

?：AE=AC-CE,AF=AB+BF,

，AC-CE=AB+BF,

：.CE+BF=AC—AB=1,

：.CE=BF=~,

2

/.AF=AB+BF=-,

2

?；

AD平分NBAC,

：.ZDAB=-ABAC=60°,

2

/ADF=180°-ZDAB-ZDFB=30°,

AD=2AF=5.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角

形.

5.如圖，△N8C的外角的平分線CP與內(nèi)角//8C的平分線5P交于點(diǎn)P若NBPC

=50°,/C4P=.

【答案】40°

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PFLAB于F,PMLAC于M,PNLCD于N,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和

內(nèi)角和定理，得到/BAC度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出

ZCAP=ZFAP,即可得到答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PF_LAB于F,PM_LAC于M,PN_LCD于N,如圖：

16/45

設(shè)/PCD=x,

VCP平分/ACD,

ZACP=ZPCD=x,PM=PN,

ZACD=2x,

；BP平分/ABC,

.?.ZABP=ZPBC,PF=PM=PN,

ZBPC=50°,

：.ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=x-50°,

：.NNBC=2(x-50。)，

ZBAC=ZACD-ZABC=2x-2(x-50°)=100°,

Z7vlC=180°-100°=80°,

在RtAAPF和RtAAPM中，

VPF=PM,AP為公共邊，

.?.RtAAPF^RtAAPM(HL),

.?.ZFAP=ZCAP,

，ZCAP=-x80°=40°；

2

故答案為：40°；

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及全等

三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行解題，正確求出/E4c=80。是

關(guān)鍵.

6.如圖所示，A/BC的外角的平分線CP與的平分線相交于點(diǎn)P,若

NBPC=36°,則/。/尸=.

17/45

【答案】54°

【分析】如圖(見(jiàn)解析)，設(shè)2CBP=x,從而可得//BC=2x,先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)

可求出/A4c=72。，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得尸/從而可得7W=PE,

然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得/尸=最后根據(jù)平角的定義即可

得.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M,于點(diǎn)N,尸EL/C于點(diǎn)E,

ZCBP=x,貝i」//3C=2x,

?/NBPC=36°,

ZDCP=ZCBP+ZBPC=x+36°,

?.?CP是//CD的平分線，

ZACD=2ZDCP=2尤+72°,

ABAC=ZACD-ZABC=2尤+72°-2x=72°,

:AP是。的平分線，PMLBD,PNLBA,

PM=PN,

同理可得：PM=PE,

PN=PE,

\PN=PE

在R/A/NP和瓦中，，，

[PA=PA

Rt^ANP=RMEP(HL),

:./PAN=/PAE,即/尸/N=NC4P,

又???/PAN+/CAP+ABAC=180。，

/.2ZG4P+72°=180°,

解得NC4P=54。，

故答案為：54°.

N

BCMD

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形全等的判定定

理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、解答題

18/45

7.如圖，ANBC中,NC=2C,ZACB=90°,AD平分NA4c交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BELAD,

交/。延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,尸為的中點(diǎn)，連接CF,交/。于點(diǎn)G,連接BG.

(1)線段BE與線段有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

(2)判斷ABEG的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)BE=^AD,見(jiàn)解析；(2)AA?G是等腰直角三角形，見(jiàn)解析

【分析】(1)延長(zhǎng)8￡、NC交于點(diǎn)〃，先證明之△及￡,得BE=HE=gBH,再證明

△BCH沿AACD,得BH=4D,貝l|8￡=：AD；

(2)先證明CF垂直平分貝i]/G=8G,再證明/C/B=NC3/=45。，則/G/8=/G84

=22.5°,于是N￡GB=NG48+NG氏4=45。，可證明ABEG是等腰直角三角形.

【詳解】證：(1)BE=^AD,理由如下：

如圖，延長(zhǎng)BE、AC交于點(diǎn)、H,

\'BE±AD,

：.NAEB=//即=90°,

,；4D平分NB4C,

：.NBAE=ZHAE,

在△84E■和△/￡4E中，

ZAEB=ZAEH

<AE=AE,

ZBAE=ZHAE

:.ABAE/4HAE(ASA),

：.BE=HE=^BH,

,：N4CB=90。,

：.ZBCH=180°-NACB=9G°=/4CD,

：.NCBH=90。-/H=NCAD,

在△BC"和△/(7￡)中，

19/45

ZBCH=ZACD

<BC=AC,

/CBH=ACAD

:.XBCHQXACDCASA),

：.BH=AD,

:,BE=；AD.

(2)△5EG是等腰直角三角形，理由如下:

?:AC=BC,AF=BF,

；?CF_LAB,

：.AG=BG,

：.ZGAB=ZGBA,

?；AC=BC,ZACB=90°,

???NCAB=NCBA=45。,

：./GAB=1/CAB=22.5。,

：.ZGAB=ZGBA=22.5°,

???ZEGB=ZGAB+ZGBA=45。，

,/ZBEG=90°9

：.ZEBG=NEGB=45。,

:.EG=EB,

:ABEG是等腰直角三角形.

H

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直

角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見(jiàn)輔助線的作法是解題關(guān)鍵.

8.已知：如圖，在四邊形/BCD中，BD平分/ABC,Z^+ZC=180°,BOBA,求證：

點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】在5C上截取5E=A4,連接。證明△45。g2\5切，可得出NC=NQEC,則

20/45

DE=DC,從而得出ND=CD即可證明.

【詳解】證：如圖，在2C上截取2E=R4,連接DE,

,:BD=BD,ZABD^ZCBD,

：.ABAD出ABED,

:.NA=NDEB,AD=DE,

VZ^+ZC=180°,NBED+NDEC=180。,

：.ZC=/DEC,

:.DE=DC,

:.AD=CD,

...點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定等，學(xué)會(huì)做輔助線找出

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

9.如圖所示，在四邊形48CD中，AC平分/D4B,CD=CB,求證：ZS+ZD=180°.

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】過(guò)點(diǎn)C分別作CE工于E,于F,由條件可得出△CDF0ZkCEB,可

得/B=NFDC,進(jìn)而可證明/B+NADC=180°.

【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)C分別作CE1/3于E,C尸，/。于F,

：AC平分/BAD,CE_LAB于E,C尸_L/。于F,

；.CF=CE,

fCF=CE

在RtACDF與RtACEB中，

[CD=CB

ACBE義ACDF,

/./CBE=ZCDF,

ZADC+ZCDF=1SO°f

Z5+ZAZ)C=180°.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明4CDFtZiCEB進(jìn)而得出

ZB=ZFDC.

21/45

10.已知：如圖，AC//BD,AE、5￡分別平分NC45和N45。，點(diǎn)E在CQ上.用等式表

示線段45、AC,5。三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】AC+BD=AB,理由見(jiàn)見(jiàn)解析

【分析】在以上截取5/=5。，連接ER先證得JEF金B(yǎng)ED，可得到/現(xiàn)芯=/。，再由

AC//BD,可得N/b￡=NC,從而證得△如尸之,可得/b=/C,即可求解.

【詳解】解：AC+BD=AB,證明如下：

在A4上截取5歹=5。，連接跖，如圖所示：

??2￡、5￡分別平分NC45和N/5。，

；?NEAF=NEAC,/EBF=/EBD,

在石廠和△BED中，

"BF=BD

</EBF=/EBD,

BE=BE

ABEF^BED(SAS),

???/BFE=/D,

?:AC〃BD,

.\ZC+ZD=180o,

NAFE+NBFE=18U0,

：.ZAFE+ZD=180°,

：./AFE=/C,

在和△NEC中，

ZEAF=ZEAC

</AFE=/C,

AE=AE

:?AAEF2AEC(AAS),

：.AF=ACf

■;AF+BF=AB,

：.AC+BD=AB.

22/45

c

E

Xi\yD

I\/

____________L______i/

FB

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵.

11.在A/8C中，BE,CD為的角平分線，BE,CD交于點(diǎn)、F.

(1)求證：ZBFC=90°+-ZA；

2

(2)已知乙4=60°.

①如圖1,若BD=4,8c=6.5,求C￡的長(zhǎng)；

②如圖2,若BF=AC,求N/E3的大小.

【分析】(1)由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出+=的度數(shù)，再由三

角形內(nèi)角和定理可求出ZBFC的度數(shù)，

(2)在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD,構(gòu)造2FG*BFD(SAS),再證明AFEC=AFGC(4&4),

即可得由此求出答案；

(3)延長(zhǎng)BA到P,使AP=FC,構(gòu)造4BFC=^CAP(SAS),得PC=BC,NP=/BCF=-ZACB,

2

再由三角形內(nèi)角和可求/48C=40。，44cB=80。，進(jìn)而可得

ZAEB=180。-(443E+ZA)=100°.

【詳解】解：(1)；BE、CD分別是44BC與//CB的角平分線，

ZFBC+ZFCB=；(180°-4)=90°-；N/,

NBFC=180°-(NFBC+ZFC5)=180°-(90°-；NN),

23/45

ZBFC=90°+-ZA,

2

(2)如解(2)圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD,

由(1)得/3F。=90。+工/4,

2

???ABAC=60°,

/BFC=120。,

：./BFD=/EFC=180°-ZBFC=60°,

在RFG與ABFD中,

"BF=BF

<NFBG=NFBD,

BD=BG

：./\BFG=ABFD(SAS)

???ZBFD=/BFG,

:?/BFD=/BFG=60。,

：.ZCFG=120°-Z.BFG=60°,

???ZCFG=ZCFE=60°

在AFEC與乙FGC中,

ZCFE=ZCFG

<CF=CF,

ZECF=ZGCF

.△FEC^FGC(ASA),

CE=CG,

;BC=BG+CG,

BC=BD+CE；

?；BD=4,8c=6.5,

???CE=2.5

24/45

(3)如解(3)圖，延長(zhǎng)BA到P,使AP=FC,

/BAC=60。,

ZPAC=lSO°-ZBAC=nO0,

在△AFC與AC4P中，

BF=AC

</BFC=/CAP=120。,

CF=PA

:?△BFCNACAP(SAS)

：?/P=/BCF,BC=PC,

：./P=ZABC,

又丁/P=/BCFJ/ACB,

2

JZACB=2ZABC.

又:AACB+ZABC+=180°,

???3445。+60。=180。，

ZABC=40%乙4c5=80。，

??.AABE=|AABC=20°,/AEB=1SO°-(ZABE+Z^)=180°-(20°+60°)=100°

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線,

構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，△45。中，AB=AC,ZBAC=90°,CD平分/ACB,BELCD,垂足E在CD

的延長(zhǎng)線上.求證：BE=^-CD.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】分別延長(zhǎng)8￡、。交于點(diǎn)尸，首先結(jié)合題意推出△CFEt△CBE,從而得到8月=

EF=^BF,然后證明弘絲△CZX4,得到5/=8,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：分別延長(zhǎng)5口CA交于點(diǎn)F,

■:BELCD,

：.ZBEC=ZFEC=90°.

25/45

平分N/CB,

NFCE=/BCE.

在△CFE與△C8E中，

,?ZBEC=ZFEC,ZFCE=ZBCE,CE=CE,

:ACFE色XCBE,

：.BE=EF=gBF.

在ACFE與AC4D中，

ZF+ZFCE=ZADC+ZACD=90°,

/F=ZADC.

在△8E4與中，

ZF=ZADC,ZBAC=ZFAB,AB=AC,

△瓦弘烏△CZM,

：.BF=CD.

：.BE=；CD.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解角平分線的基本定義，熟練運(yùn)用角平分線

的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，并且準(zhǔn)確判定全等三角形是解題關(guān)鍵.

13.如圖，在△N8C中，/C=90。,/。是/比1C的角平分線，交BC于點(diǎn)D,過(guò)。作?！阓LA4

于點(diǎn)￡,點(diǎn)/在/C上，且BD=DF.

(1)求證：AC=AE；

(2)若/8=7.4,AF=\A,求線段BE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)3

【分析】(1)證明(AAS),即可得出結(jié)論;

26/45

⑵在4B上截取AM=AF,連接MD,證△E4Z)也△比4ZX&4S),得FD=MD,NADF=NADM,

再證RtAMDE咨RtABDE(HL),得ME=BE,求出MS=45-ZA/=6,即可求解.

【詳解】解：(1)證明：??7。平分NA4C,

???NDAC=/DAE,

U：DELBA,

：./DEA=/DEB=9。。,

VZC=90°,

：.ZC=ZDEA=90°,

在△4CD和△4EZ)中，

ZC=ZDEA

<ZDAC=ZDAE,

AD=AD

???△ACD咨AAED(AAS)f

：.AC=AE；

(2)在//上截取連接

在和△肱40中，

AF=AM

<ZDAF=ZDAM,

AD=AD

???△FAD烏LMAD(SAS'),

:?FD=MD,ZADF=ZADM,

■:BD=DF,

:?BD=MD,

在RtAMDE和RtABDE中,

[MD=BD

[DE=DE'

:.RtAMDEQRt叢BDE(HL),

：.ME=BE,

?：AF=AM,且/尸=1.4,

：.AM=\A,

???45=7.4,

：.MB=AB-AM=1A-1A=6,

:,BE*BM=3,

即BE的長(zhǎng)為3.

27/45

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形

的外角性質(zhì)等知識(shí)；證明△刈￡＞名和Rt/\MDE^Rt/\BDE是解題的關(guān)鍵.

14.(1)如圖1,射線。尸平分/M9N,在射線。跖ON上分別截取線段CM,OB,使。/

=OB,在射線。尸上任取一點(diǎn)。，連接NO,BD.求證：AD=BD.

(2)如圖2,在中，ZACB=90°,ZA=60°,CD平分/4CB,求證：BC=AC+AD.

(3)如圖3,在四邊形4BDE中，48=9,DE=1,BD=6,C為AD邊中點(diǎn)，若/C平分

NBAE,EC平分N4EO,ZACE=120°,求/￡的值.

【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解；(3)/E=13

【分析】(1)由題意易得N/OD=/B。。，然后易證△/。。絲△3OD,進(jìn)而問(wèn)題可求證；

(2)在上截取CE=C4,連接DE,由題意易得Z5=30°,則有

△4CD汜4ECD,然后可得//=/C￡D=60。，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得/皮)8=48=30。,

然后可得力E=BE,進(jìn)而問(wèn)題可求證；

(3)在/￡上分別截取//=/2,EG=ED,連接CF、CG,同理(2)可證△4BC0△4尸C,

△CDE空XCGE,貝I］有/4C8=//C尸，NDCE=NGCE,然后可得//CF+NGCE=60°,進(jìn)

而可得△CFG是等邊三角形，最后問(wèn)題可求解.

【詳解】證明：(1):射線0P平分/M0N,

：.Z.AOD=ABOD,

?：OD=OD,OA=OB,

：./\AOD^/\BODCSAS),

：.AD=BD.

(2)在3C上截取CE=G4,連接。E,如圖所示：

28/45

E

B

VZACB=90°,ZA=60°,CZ)平分N/C5,

:?/ACD=/ECD,/B=30。,

?:CD=CD,

???△ACDQAECD(SAS),

：.ZA=ZCED=60°,AD=DE,

,//B+/EDB=/CED,

：./EDB=/B=30。,

：.DE=BE,

：.AD=BE,

,：BC=CE+BE,

：.BC=AC+AD.

(3)在/E上分別截取4尸=/B=9,EG=ED=1,連接CRCG,如圖所示:

同理(1)(2)可得：AABCmAAFC,XCDE經(jīng)XCGE,

：.ZACB=ZACF,NDCE=NGCE,BC=CF,CD=CG,DE=GE=1,

???。為5Q邊中點(diǎn)，

：.BC=CD=CF=CG=3,

?.?ZACE=nO09

：.ZACB+ZDCE=60°f

：.ZACF+ZGCE=60°,

：.N尸CG=60。，

???△CbG是等邊三角形，

：.FG=CF=CG=3,

29/45

：.AE=AF+FG+GE=9+3+l=13.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判

定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等.

15.如圖，已知△N8C中，AB=AC,/4=108。，BD平分/ABC.

求證：BC=AB+CD.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】在8C上截取點(diǎn)￡,并使得BE=R4,連接?！?證明絲△￡3。，得到

ZDEB=ZBAD=im°,進(jìn)一步計(jì)算出NDEC=/CDE=72。得到CD=CE即可證明.

【詳解】證明：在線段8C上截取連接如下圖所示：

平分/A8C,AZABD=ZEBD,

AB=BE

在八4BD和△班。中：<ZABD=NEBD,

BD=BD

：.AABD芻/\EBD(SAS),

ZDEB=ZBAD=108°,

：.Zr>￡,C=180o-108o=72o,又AB=AC,

：.ZC=ZABC=(180°-108°)-2=36°,

ZCDE=\80°-ZC-ZDEC=180。-36。-72。=72。，

NDEC=NCDE,

:.CD=CE,

BC=BE+CE=AB+CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰

三角形性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能在上截取并使得2E=A4,這是角平分線輔助線和

30/45

全等三角形的應(yīng)用的一種常見(jiàn)作法.

16.如圖，^ABC的外角NDAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，PDLAB于D,

PE±AC于E.

(1)求證：BD=CE；

(2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2

【分析】(1)連接5尸、CP,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得5尸=。尸，

根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP=EP,然后利用“必”證明RtABDP和

RtDCEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

(2)利用“應(yīng)"證明RtAADP和RtDAEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得4。=4E,再

根據(jù)/C的長(zhǎng)度表示出4。、CE,然后解方程即可.

【詳解】(1)證明：連接5尸、CP,

???點(diǎn)P在5。的垂直平分線上，

:.BP=CP,

???4P是的平分線，

\DP=EP,

在RtABDP和RtDCEP中,

\BP=CP

\DP^EP，

\RtDBDP@RtDCEP(HL),

/.BD=CE；

(2)解：在RtAADP和RtDAEP中，

^AP=AP

\DP=EP'

\RtDADP@RtDAEP(HL),

/.AD=AE,

,/AB=6cm,AC=10cm,

\6+AD=10-AE,

即6+AD=10-ADf

31/45

解得AD=2cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到

兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等