專題10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

特點(diǎn)

DA乙----------、C

結(jié)論A.B//AOBs△cOD^^m一一err

【模型證明】

解決方案

：t

NA—AOBs△DOCT~^m—介n—cic'

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形A3CO的對角線AC、3D相交于點(diǎn)。，E是BC的中點(diǎn)，OE交AC于點(diǎn)/，若￡比=12,

則D尸等于（）

A.3B.4C.6D.8

4/7AJ7

2.如圖，在△ABC中，BC=6,—=動點(diǎn)尸在射線E尸上，BP交CE于點(diǎn)D,NC8P的平分線交CE

EBFC

于點(diǎn)。，當(dāng)CQ=；CE時，EP+8P的值為（）

A.9B.12C.18D.24

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，/ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,交A。于點(diǎn)F交C。的延長線于點(diǎn)G,

若A尸=2即，則等BF的值為（）

ECJ

G

4.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,CE平分/DCB交BD于點(diǎn)F,且NABC=60。，

AB=2BC,連接OE,下列結(jié)論：①/ACD=30。；②S平行四娜ABCD=ACBC；③OE：AC=1：4；④SAOCF

=2SAOEF.其中正確的有（）

工

AEB

A.1個B.2個

C.3個D.4個

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，AE=2ED,連接BE交AC于點(diǎn)G,延長BE交CD

的延長線于點(diǎn)R則器的值為（）

A-tB—C'|D.1

4

6.如圖，在口ABC。中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD,且AE、BD父于點(diǎn)F,則S^DEF：S四邊形后產(chǎn)5c為（）

Df_________C

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊A。的中點(diǎn)，連接AC,BE交于點(diǎn)、F.若的面積為2,則

△ABC的面積為（）

DC

A.8B.10C.12D.14

8.如圖，AB//CD.AE//FD,AE,FD分別交5C于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論中錯誤的是()

DHCHGECGAFHG-FHBF

A.B.C.D.-----=-----

FHBHDFCBCECGAGFA

二、填空題

9.如圖，G為“8C的重心，AG=12,貝!]">=

10.如圖在平行四邊形ABC。中，E是的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)、G,若BE=8,則GE=

11.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE,NZME的平分線AG與邊交于點(diǎn)G,與BC

的延長線交于點(diǎn)尺設(shè)二=入6>0).

EB

(1)若AB=2,X=l,求線段CF的長為

(2)連接EG,EGLAF,則九的值為.

12.如圖，在RtZXABC中，AB=BC,NABC=90。，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，連結(jié)CD,過點(diǎn)B作BGLCZ),分

別交8、C4于點(diǎn)E、F,與過點(diǎn)A且垂直于A3的直線相交于點(diǎn)G,連結(jié)OR.給出以下五個結(jié)論：①

當(dāng)=答；@ZADF=ZCDB；③點(diǎn)尸是GE的中點(diǎn)；(S)AF=叵AB;⑤以〃=55-其中正確結(jié)論的序

ABFB3

號是.

13.如圖，在正方形45co中，點(diǎn)、E為BC邊上一點(diǎn),且CE=2BE,點(diǎn)產(chǎn)為對角線50上一點(diǎn)，且BF=2DR,

連接AE交于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作尸”JLAE于點(diǎn)若HG=2cm,則正方形ABC。的邊長為cm.

三、解答題

14.如圖，E為平行四邊形ABQ)的邊8延長線上的一點(diǎn)，連接BE.交AC于。，交AD于尸.

求證：BO2=OE.OF.

15.已知：如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，在邊43的延長線上截取BE=A8,點(diǎn)尸在AE的延長線上,

CE和。尸交于點(diǎn)M,BC和交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)BD

(1)求證：XBNDs^CNM；

(2)如果A￡)2=A8XR求證：CM?AB=DM?CN.

16.如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)E是。上一點(diǎn)(不與C,。兩點(diǎn)重合)，連接BE,過點(diǎn)C作

于點(diǎn)R交對角線8。于點(diǎn)G,交AO邊于點(diǎn)”，連接GE.

(1)求證：CH=BE；

(2)如圖2,若點(diǎn)E是C￡＞的中點(diǎn)，當(dāng)BE=12時，求線段GE的長;

s

(3)設(shè)正方形ABC。的面積為S/,四邊形OEGH的面積為S2,點(diǎn)E將CO分成1：2兩部分，求？的值?

17.如圖，在平行四邊形A3CD中，E為。C邊的中點(diǎn)，連接AE,若AE的延長線和BC的延長線相交于點(diǎn)

(2)連接AC和8E相交于點(diǎn)為G,若AGEC的面積為2,求平行四邊形45co的面積.

18.綜合與實踐：

數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答.

問題情境：在口ABCD中，點(diǎn)尸是邊AD上一點(diǎn).將△PDC沿直線PC折疊，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為E.

“興趣小組’'提出的問題是：如圖1,若點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)E作￡F〃AD,與尸C交于點(diǎn)憶連接Z)尸,

則四邊形皿D是菱形.

圖1圖2圖3

(1)數(shù)學(xué)思考：請你證明“興趣小組”提出的問題；

(2)拓展探究：“智慧小組''提出的問題是：如圖2,當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時，延長CE交AB于點(diǎn)R連接PF.試

判斷尸尸與PC的位置關(guān)系，并說明理由.

請你幫助他們解決此問題.

⑶問題解決:“創(chuàng)新小組”在前兩個小組的啟發(fā)下,提出的問題是:如圖3,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在A3邊上時，”=3,

PD=4,DC=10.則AE的長為.(直接寫出結(jié)果)

19.如圖，在等邊AABC邊長為6,。是中心；在HA4DE中，ZADE=90°,ZDAE=60°,AD=2.將VADE

繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周.

圖1圖2備用圖1備用圖2

(1)當(dāng)A。、AE分別在AC、A8邊上，連結(jié)OD、0E,求AODE的面積；

(2)設(shè)DE所在直線與AABC的邊A2或AC交于點(diǎn)尸，當(dāng)。、D、E三點(diǎn)在一條直線上，求AF的長;

(3)連結(jié)CE,取CE中點(diǎn)連結(jié)DM,。欣的取值范圍為

20.如圖1,//8C中，AB=AC,點(diǎn)。在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，￡)E=OC,點(diǎn)尸是。E與AC的交

點(diǎn).

(1)求證：/BDE=/ACD；

(2)若DE=2DF,過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G,求證：AB=2AG；

(3)將“點(diǎn)。在2A的延長線上，點(diǎn)E在8C上”改為“點(diǎn)。在上，點(diǎn)E在的延長線上”，“點(diǎn)尸是DE

與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)產(chǎn)是即的延長線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2.

①求證：ABBE=ADBC；

②若DE=4DF,請直接寫出SAABC-.SADEC的值.

21.如圖，在等腰RSABC中，ZABC=90°,點(diǎn)A、B分別在x軸、，軸上.

①②③

(1)如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,求點(diǎn)3的坐標(biāo)；

CD

(2)如圖②，若x軸恰好平分/B4C,3C交x軸于點(diǎn)過點(diǎn)C作CD，x軸于點(diǎn)￡),求『的值；

(3)如圖③，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),點(diǎn)8在y軸的正半軸上運(yùn)動時，分別以03、A8為邊在第一、第二

象限中作等腰等腰RJABE,連接E尸交y軸于點(diǎn)尸，當(dāng)點(diǎn)B在y軸上移動時，，陽的長度是否發(fā)

生改變？若不變求尸3的值；若變化，求尸3的取值范圍.

22.如圖1,在正方形A8CO中，點(diǎn)E是C￡)上一點(diǎn)(不與C,。兩點(diǎn)重合)，連接BE,過點(diǎn)C作

于點(diǎn)F,交對角線瓦)于點(diǎn)G,交AD邊于點(diǎn)H,連接GE.

(1)求證：DH=CE；

(2)如圖2,若點(diǎn)E是。的中點(diǎn)，當(dāng)8E=8時，求線段GH的長；

(3)設(shè)正方形ABC。的面積為S/,四邊形。EG8的面積為S2,當(dāng)g時，今值為.(直接

寫答案)

圖1圖2

23.(1)問題背景：如圖1,正方形ABC。中，/在直線CQ上，E在直線BC上.若/EAP=45。，求證：

BE+FD=EF；

(2)遷移應(yīng)用：如圖2,將正方形ABCD的一部分沿G//翻折，使A點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)E在BC上，且的對應(yīng)

邊交CD于/點(diǎn).若J3E=3,EC=2,求EF的長；

(3)聯(lián)系拓展：如圖3,正方形A8CD中，E、。在CD上，尸在8c上，若EF=EA,ZFQA=ZFEA.若

/CFQ=34°,則NQAD=°,

24.在△ABC中，AB=AC,/BAC=a,點(diǎn)P為線段CA延長線上一動點(diǎn)，連接尸8,將線段PB繞點(diǎn)P逆

時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD,連接。8,DC.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時，求證：PA=DC；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時，猜想必和。C的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

(3)當(dāng)a=120。時，若A8=6,BP=屈,請直接寫出點(diǎn)。到CP的距離.

專題10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

特點(diǎn)A

結(jié)論A.B//△COD^^m—一cry

【模型證明】

解決方

案NA——cr)—cic,*

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABCD的對角線AC、8。相交于點(diǎn)0,E是的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F,

若DE=12,則。尸等于（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】因為四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，所以CE=《AD,由相似三角形的判

定定理得出△CEF-AADF,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得出.

【詳解】解：???四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，

ACE=|AD,

???AD〃BC,

ZADF=ZDEC,ZAFD=ZEFC,

AACEF^AADF,

.EF_CE_1

**DF-AD-2

.12-DF

DF~2

解得DF=8,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出

9/51

△CEF-AADF,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△ABC中，BC=6,笠=黑，動點(diǎn)尸在射線跖上，BP交CE于點(diǎn)、D,ZCBP

EBFC

的平分線交CE于點(diǎn)Q,當(dāng)CQ=：CE時，EP+BP的值為（）

A.9B.12C.18D.24

【答案】C

【分析】如圖，延長EF交8。的延長線于G.首先證明PB=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,

推出粵=黑=3,即可求出EG解決問題.

CB2c

【詳解】解：如圖，延長成交的延長線于G.

..AEAF

?~EB~~FC'

J.EG//BC,

：.ZG=ZGBC9

■:/GBC=/GBP,

:?/G=/PBG,

：.PB=PG,

：.PE+PB=PE+PG=EG,

；CQ=；EC,

：.EQ=3CQ,

'：EG//BC,

.,.△EQGsACQB,

.EGEQ

?.豌=左=3,

'：BC=6,

：.EG=1S,

10/51

：.EP+PB=EG=IS,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在平行四邊形ABCO中，/A8C的平分線交AC于點(diǎn)E,交于點(diǎn)凡交CD的

延長線于點(diǎn)G,若AF=2尸D,則會BF的值為（）

ECJ

【答案】c

【分析】由AF=2Z）尸，可以假設(shè)。尸=左，則AF=2鼠AD=3k,證明AB=AF=2%,DF=

DG=k,再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題.

【詳解】解：由Ab=2。凡可以假設(shè)=/，則AF=2Z,AD=3k,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

C.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=/FBC=ZDFG,ZABF^ZG,

：BE平分/ABC,

ZABF=ZCBG,

ZABF=AAFB=ZDFG=ZG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

,JAB//DG,

：.AABEsACGE,

,BEAB2k2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線

的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,CE平分NDCB交BD于點(diǎn)F,

11/51

且NABC=60。，AB=2BC,連接OE,下列結(jié)論：①/ACD=30°；②S平行四邊形ABCD=ACBC-

③OE：AC=1：4；④SAOCF=2SAOEF.其中正確的有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到/ABC=NADC=60。，ZBAD=120°,根據(jù)角

平分線的定義得到NDCE=NBCE=60。推出△CBE是等邊三角形，證得NACB=90。，求出

ZACD=ZCAB=30°,故①正確；

由ACJ_BC,得至ijS。ABCD=AC?BC,故②正確；

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=6BC,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=^BC,于是

得至UOE：AC=6：6,故③錯誤；

由三角形的中位線可得BC〃OE,可判斷△OEFsaBCF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到

=求得SAOCF=2SAOEF；故④正確.

EFOE

【詳解】解：?四邊形ABCD是平行四邊形,

.".ZABC=ZADC=60°,ZBCD=120°,

VCE平分NBCD交AB于點(diǎn)E,

.\ZDCE=ZBCE=60°

.".△CBE是等邊三角形，

/.BE=BC=CE,

VAB=2BC,

；.AE=BC=CE,

.\ZACB=90°,

.\ZACD=ZCAB=30°,故①正確；

VACXBC,

/.S°ABCD=AC?BC,故②正確，

在RtAACB中,ZACB=90°,NCAB=30。，

，AC=GBC,

VAO=OC,AE=BE,

.?.OE=1BC,

.,.OE：AC=V3：6；故③錯誤；

12/51

VAO=OC,AE=BE,

；.OE〃BC,

.?.△OEF^ABCF,

：.史上2

EF0E

?CF

SAOCF：SAOEF=—=2,

EF

SAOCF=2SAOEF;故④正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線、相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握并靈

活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在平行四邊形A8CD中，點(diǎn)E是AO上一點(diǎn)，AE=2ED,連接BE交AC于點(diǎn)G,

延長的交。的延長線于點(diǎn)R貝喘的值為（）

【答案】A

【分析詵根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到則可判斷△A5Gs尸GM4班5△。尸石,

于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE=2ED即可得結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形A5co為平行四邊形，

：.AB//CD,

：.AABGsACFG,

.BG_AB

**GF-CF

,/AABEs^DFE,

,AEAB

?;AE=2ED,

：.AB=2DFf

.AB_2

E,CF-i,

?BG_2

**GF-I*

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題.

13/51

6.如圖，在口A8CD中，E為CQ的中點(diǎn)，連接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,貝”△。呼：

S四邊形EFBC為（）

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

【答案】A

【分析】根據(jù)平行四邊形對邊互相平行可得9/〃組，然后求出ADEF和△&S相似，再

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4,設(shè)1/^=5,

S,F=4S,再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出￡W=2S,然后表示出凡海

的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得S〃BC=S，ABD，然后相比計算即可得解.

【詳解】解：?四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AB//DE,AB=CD

為CD的中點(diǎn)，

：.DE：CD=1：2

"：ABIIDE

.?△DEFs/\BAF,

:?SADEF；S、BAF=（DE：ABy=1：4,EF'.AF=\:2

設(shè)S^DEF=S,則SABW=4s,

EF：AF=1：2,

S?DEF:S4Ao尸=EF：AF=1：2,

SAADF=2s,

'''S4ABD=S&BAF+^hADF=4S+25=6S,

Q3D是平行四邊形ABC。的對角線，

S.DBC=S4ABD,

S&DBC=6s,

'''S&DEF:^HWEFBC=S：5S=1：5.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，不容易考慮到的是等高的三

角形的面積的比等于底邊的比的應(yīng)用.

7.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為邊A。的中點(diǎn)，連接AC,BE交于點(diǎn)、F.若AAEF的

14/51

面積為2,則AABC的面積為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得AD〃8C,4O=BC,由AE〃BC可判斷△AEF^△CBF,

7777AJ7AJ71S1

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得名；=煞=等=：,然后根據(jù)三角形面積公式得/里=1,,則

BFCFBC2、MBCb

SAA3C=6SAAE尸=12.

【詳解】,?,平行四邊形A3CD

：.AD//BC,AD=BC

??，E為邊AO的中點(diǎn)

：.BC=2AE

'：AE//BC

：.ZEAC=ZBCA

又,:ZEFA=ZBFC

：.AAEF^ACBF

如圖，過點(diǎn)尸作尸”LAO于點(diǎn)）尸G,5c于點(diǎn)G,

皿EFAFAEHF1

貝！J--==—，

BFCFBCFG2

???△AEF的面積為2

^AABC=6SAAEF=6X2=12

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題.

15/51

8.如圖，AB//CD,AE//FDfAE,尸。分別交3c于點(diǎn)G,H,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

DHCHGECGAFHGFH_BF

\.=

FHBHDF~CB~CE~~CGAG-FA

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：

DHCH

FH-BH，

A選項正確，不符合題目要求;

AE〃DF,

ZCGE=ZCHD,/CEG=/D,

叢CEGs叢CDH,

GECG

DH-CH，

EGDH

~CG~~CH"

AB〃CD,

CHDH

~CB~~DF，

DHDF

GEDF

CG-cF,

GECG

B選項正確，不符合題目要求;

AB〃CD,AE〃DF,

四邊形AEDb是平行四邊形，

AF=DE,

AE〃DF,

DEGH

~CE~~GC?

AF_HG

~CE=~CG；

C選項正確，不符合題目要求;

AE〃DF,

△BFHsABAG,

16/51

.FHBF

"AG~AB

：AB>FA,

"AGFA

，D選項不正確，符合題目要求.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定

理得出比例式是解此題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.如圖，G為AABC的重心，AG=12,則AD=

【答案】18

【分析】連接CG并延長交于點(diǎn)E,連接。E,根據(jù)題意，可以得到。E時△ABC的中位

線，從而可以得至石〃AC且然后即可得到△DEGSAACG,由相似三角形的

性質(zhì)得到。G和AG的比值，求出然后OG,即可得到結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接CG并延長交于點(diǎn)E,連接。E,

:點(diǎn)G是△ABC的重心，

/.點(diǎn)￡和點(diǎn)。分別是AB和BC的中點(diǎn),

:.DE是AABC的中位線，

：.DE//AC5.DE=^AC,

:.ADEGs^ACG,

.DEDG_1

"AC-AG-2'

VAG=12,

：.DG=6,

：.AD=AG+GD=IS.

17/51

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.如圖在平行四邊形A8C。中,E是C￡）的中點(diǎn)，歹是AE的中點(diǎn),C歹交3E于點(diǎn)G,若BE=8,

貝UGE=—.

【答案】2

【分析】延長CR交于根據(jù)已知條件得出所=4凡CE=1OC,根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)得出。C〃ASOC=A2,根據(jù)全等三角形的判定得出AC斯思△MAE根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出C￡=AM,求出BM=3CE,根據(jù)相似三角形的判定得出△CEGs^MBG,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可.

【詳解】解：延長CR54交于

是CD的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn),

：.EF=AF,CE=^DC,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

J.DC//AB,DC=AB,

：.CE=^AB,/ECF=/M,

在^MAb中

'NEFC=ZAMF

<NECF=NM,

EF=AF

:.ACEF出AMAF(.AAS),

：.CE=AM,

：.BM=3CE,

'：DC//AB,

:.叢CEGs叢MBG,

.CEEG1

"BM~BG~3'

18/51

VBE=8,

.GE1

"8-GE"3，

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三

角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.

11.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE,ND4E的平分線AG與C。邊

交于點(diǎn)G,與3C的延長線交于點(diǎn)E設(shè)C三F=九(X>0).

(1)若AB=2,X=l,求線段CF的長為；

(2)連接EG,EG±AF,則九的值為.

【分析】(1)根據(jù)AB=2,九=1,可以得到BE、CE的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得

至UAE的長，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到Ef的長，從而可以得到線

段CF的長；

(2)證明△ADGg△FGC,得出點(diǎn)G為C。邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形相似，可以得到CE和

麗的比值，從而可以得到入的值.

【詳解】解：(1)?.?在正方形ABC。中，AD//BC,

：.ZDAG=NF,

又：AG平分/D4E,

：.ZDAG=ZEAG,

：.ZEAG=ZF,

:.EA=EF,

-：AB=2,ZB=9Q°,點(diǎn)E為2c的中點(diǎn),

.?.BE=EC=1,

-'-AE=NAB。+BE。=V5，

：.EF=y[5,

：.CF=EF-EC=y/5-1；

19/51

故答案為：乖-1;

(2)證明：\9EA=EF,EG±AF,

：.AG=FG.

在△人。6和4尸CG中

/D=NGCF

<ZAGD=ZFGC,

AG=FG

：.AADG^AFCG(A4S),

:?DG=CG,

設(shè)CO=2m則CG=a,

CF=DA=2a,

9：EG±AF,ZGCF=90°,

???NEGC+NCGb=90。，ZF+ZCGF=90°,ZECG=ZGCF=90°,

:?/EGC=/F,

:.AEGCsAGFC,

.ECGC

?,_=~，

GCFC

VGC=afFC=2af

?GC1

??~=一,

FC2

.EC_1

??__=一,

GC2

3

:?EC=ga,BE=BC-EC=2a-；〃=—〃，

222

1

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理解答.

12.如圖，在RtzXABC中，AB=BC,NABC=90。，點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，連結(jié)8,過點(diǎn)B作

BGLCD,分別交8、G4于點(diǎn)E、F,與過點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G,連結(jié)

DF.給出以下五個結(jié)論：①隼二黑；②ZADF=NCDB；③點(diǎn)廠是GE的中點(diǎn)；④

ABFB

AF=-AB；⑤/ABC=5S^BDF?其中正確結(jié)論的序號是_______.

3

20/51

【答案】①②④

【分析】根據(jù)題意證明AAFGSA"?,進(jìn)而可確定①；由44FG絲△AFD，可得GF=FD

由FE>>FE,進(jìn)而判斷結(jié)論②，AAFG0Z\AFD可得AG=LA8=1BC,進(jìn)而由

一22

AF1AF1

△AFGSACFB可得普=9即可判斷③，根據(jù)普=2，以及。是A3的中點(diǎn)即可判斷⑤.

【詳解】依題意得，ZABC=90°,GALAB,

BC//AG,

.-.△AFG^ACFB,

.AGFG

*BC-FF，

又AB=BC,

.AGFG

…益一訪’

故①正確；

如圖，標(biāo)記如下角，

VBG.LCD,ZABC=90°,

/.Nl+N3=90°,Nl+N4=90°,

「.N3=N4,

在AASG與△BCD中，

Z3=Z4

<AB=BC

NBAG=NCBD=90。

/.AABGABCD(ASA),

:.AG=BD,

又,??點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

*'-BD—AD,

:.AG=AD,

21/51

AB=BC,ZABC=90°9

：.ZDAF=45°,

???ZG4B=90°,

ZGAF=45°9

:.ZGAF=ZDAFf

在A4FG與△AFD中，

AG=AD

</FAG=ZFAD

AF=AF

/.AAFGAAFD(SAS),

/.Z5=Z2,

???N5+N3=Z1+N3=9O。，

「.N5=N1,

/.Z1=Z2,

即ZADF=ZCDB,

故②正確；

??.△AFGQXAFD，

:.FG=FD,

???△曲是直角三角形，

FD>FE,

:.FG>FE,

即點(diǎn)歹不是線段EG的中點(diǎn)，

故③不正確；

?.?△ABC是等腰直角三角形，

AC=y/AB2+BC2=叵AB，

???AAFG咨/\AFD，

AG=AD=-AB=-CB,

22

???AAFGS.CFB,

,AGAF

,BC-FC；

:.FC=2AF,

AF=-AC=—AB,

33

故④正確；

22/51

AF=-AC,

3

.S-1

…^^ABF.3S，

,??點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，

「SABDF=/^AABF，

,c_lc

-3BDF-—°AABC'

6

即S&ABC=6SdBDF,

故⑤錯誤.

綜上所述，①②④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判

定，勾股定理，三角形中線的性質(zhì)，證明和是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且CE=23E,點(diǎn)尸為對角線上一

點(diǎn)，S.BF=2DF,連接AE交8￡）于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作切JLAE于點(diǎn)H,若HG=2cm,則正

方形ABCD的邊長為cm.

【答案】上叵

5

【分析】如圖，過/作HLBC于/點(diǎn)，連接尸E和孫，得到AB/F?必CD,設(shè)

BE=EI=IC=acm,CE=FI=2acm,AB=30cml求出FE,AH,AG,證明^BEG-.DAG,得

到GEf+GE=HE一GH=（當(dāng)fan,最后求值即可.

【詳解】如圖，過/作C3C于/點(diǎn)，連接FE和剛，

23/51

-FI1BC,四邊形ABC。為正方形,

:.FI//CD,

:.^BIF?巫CD,

?：BF=2DF,

BIBF_2

一疏一防一3'

:.I為8C的三等分點(diǎn),

-：CE=2BE,

:.E為5c的三等分點(diǎn),

:.BE=EI=IC,

設(shè)BE=EI=IC=acm

AB=BC=3acm,

???△加7為等腰直角三角形,

/.BI=FI=2acm,

FE-J/+（2Q『-FC-FA-y[5acm,

:.H為AE的中點(diǎn)，

：AE=VAB2+BE2=舊+伽丫=JlOacm,

AH=HE」AE=—acm,

22

AG=AH+GH=（乎a+2）c機(jī)，

1?,四邊形ABC。為正方形，

BE//AD,

:4BEG?力AG,

24/51

GEBE1

,AG-AD-3,、

:.GE^-AG^-a+2cm,

33

a-2)CM,

-2)cm,

4M

..a=-------,

5

.■.AB^acm=^cm.

5

故答案為：叩

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判

定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是CE=28E,8尸=2。尸的利用

以及這些性質(zhì)的熟記.

三、解答題

14.如圖，E為平行四邊形ABC。的邊8延長線上的一點(diǎn)，連接BE.交AC于。，交AD

于F.

求證：BO2=OE-OF.

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)AO〃BC,AOF^/XCOB,由48〃。。，得AAOBs"OE,再根據(jù)相似

三角形對應(yīng)變成比例即可.

【詳解】證明：?.Fsaoc,

/XAOB^ACOE

.OE_OC

OBOA

,JAD//BC,

：.△AOFsXCOB

,OBOC

OFOA

.OEOBRn9

'.而=而'^^=OE.OF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定，找到兩

組對應(yīng)邊的比例相等是解決本題的關(guān)鍵.

25/51

15.己知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，在邊A8的延長線上截取點(diǎn)廠在

AE的延長線上，CE和OF交于點(diǎn)BC和。尸交于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)BD

（1）求證：△BNDs叢CNM；

（2）如果Ar>2=AB?AR求證：CM，AB=DM，CN.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=Cr>,AB//CD,再證明四邊形BECD為平行四

邊形得到BO〃CE,根據(jù)相似三角形的判定方法，由可判斷△BNDs^CMW；

（2）先利用4。2=4小4/可證明44八862\4/。,則/1=/尸,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得NR=N4,

Z2=Z3,所以N3=N4,加上NNMC=NCM，于是可判斷△MNCS^MC/）,所以MC：

MD=CN：CD,然后利用CZ）=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：（1）?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

而BE=AB,

：.BE=CD,

而BE//CD,

四邊形BEC。為平行四邊形，

：.BD//CE,

,:CM〃DB,

:.叢BNDs叢CNM；

（2）'：AD2=AB-AF,

：.AD：AB=AF：AD,

而NZMB=NRir>,

/\ADB^/\AFD,

.*.Z1=ZF,

VCD//AF,BD//CE,

：.ZF=Z4,N2=N3,

.\Z3=Z4,

而/NMC=NCMD,

:AMNCsAMCD,

26/51

：.MC：MD=CN：CD,

：.MC-CD=MD-CN,

而CD=AB,

：.CM-AB=DM'CN.

nr

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形

中己有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段

的長.也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).

16.如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)E是。上一點(diǎn)（不與C,。兩點(diǎn)重合），連接BE,過

點(diǎn)C作C”,BE于點(diǎn)凡交對角線8。于點(diǎn)G,交AD邊于點(diǎn)H,連接GE.

（1）求證：CH=BE；

（2）如圖2,若點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，當(dāng)3E=12時，求線段GE的長；

（3）設(shè)正方形A2C。的面積為S/,四邊形。EG反的面積為S2,點(diǎn)E將8分成1：2兩部

【答案】（1）見解析（2）4（3）5或8.

【分析】（1）可得NCHD=NBEC,根據(jù)AAS可證明△OHCgZxCEB,即可求解；

（2）由三角形全等與平行線的性質(zhì)，可得學(xué)=絲=1.則GC=2G8,可求出G8的長，

CBCG2

故可得到GE的長；

（3）點(diǎn)E將。分成1：2兩部分得到①%CF=金1，②片CF二耳2，再分別得到S和S2的關(guān)系

進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）???四邊形4BCD是正方形，

27/51

:?CD=BC,ZHDC=ZBCE=9Q°,

：.ZDHC+ZDCH=90°,

CH_LBE,

：.ZEFC=90°,

；?NECF+/BEC=90。,

：.ZCHD=ZBEC,

：./\DHC^/\CEB(AAS),

CH=BE；

(2),:△DH8XCEB,

：.CH=BE,DH=CE,

?；CE=DE=gcD,CD=CB,

：.DH=^BC,

'：DH//BC,

\NDGH^NBGC,

.PHGH_1

9，~CB~TG~2"

：.GC=2GH,

設(shè)GH=x,貝!J,則CG=2x,

A3x=12,

.??x=4.

即GH=4

?：DH=DE,NHDG=/EDG=45。,DG=DG

:?△HDG^AEDG(SAS)

:.GE=GH=4；

(3)點(diǎn)后將CO分成1：2兩部分

則①留j②生2

3

當(dāng)綁我

?:DH=CE,DC=BC,

.PH1

??—―，

BC3

■:DH〃BC,

\YDGHEBGC,

28/51

.PH_GH

**^C-CG

qiv1

?°eGH_2°ADGH_士

??q9y'S3'

□ABCGa.DCG)

設(shè)S/OGH=4,則S43CG=9〃，S^DCG=3a,

??SABCD=9〃+3a=12a,

***S/=2S』BCD=24a,

,：SADEG：SACEG=2：1,

**?SADEG=2a,

??S2=2a+a=3a.

***Sj：$2=24。：3a=8.

■:DH=CE,DC=BC,

.DH_2

??—―,

BC3

,:DH〃BC,

\7DGHEBGC,

.DH_GH2

，，-8C-CG-3?

qAv?

,QADGH_二◎&DGH_

??q―9，S_3，

"ABCGY3DCGJ

設(shè)以。G8=4a,貝lJS」2CG=9a,SADCG=6a,

S/BCZ)=9a+6a=15a,

***S/=2S」8cz)=30a,

,:SADEG：SACEG=1：2,

*'?SADEG=2a,

??S2=2a+4a=6a.

.".Si：S2=30a：6a—5.

故S/：Sz=5或8.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線

分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決

問題.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為。C邊的中點(diǎn)，連接AE,若AE的延長線和3C的

延長線相交于點(diǎn)F.

29/51

B

（1）求證：BC=CF；

（2）連接AC和BE相交于點(diǎn)為G,若AGEC的面積為2,求平行四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）證明見解析；（2）24.

【分析】（1）根據(jù)E是邊。C的中點(diǎn)，可以得到DE=CE,再根據(jù)四邊形4BC。是平行四邊

形，可以得到ZAD-NECF,再根據(jù)/4￡?=NCEF,即可得到,則答案可

證；

（2）先證明ACEG?AABG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出LWG=8,==胃=：，進(jìn)而得

GCCE2

出SABGC=4,由SAABC=+S.G得ABC=12,則答案可解.

【詳解】（1）證明：???四邊形A3CD是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,

：.ZADE=ZECF,

??,點(diǎn)七為OC的中點(diǎn)，

JDE=CE,

在VADE■和△ECF中

NADE=NECF

<DE=CE

NAED=NCEF

：.AADE^AECF（ASA）,

：.AD=CFf

：.BC=CF；

（2）???四邊形A5CO是平行四邊形，點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，

AAB//DC,AB=2EC,

：.ZGEC=ZABG,ZGCE=ZGAB,

：.八CEGfABG,

,/△GEC的面積為2,

30/51

Q

=~，即S^ASG=4sCFC=4x2=8,

?：VEGfABG

,AGAB_1

*'GC