第11講圓的方程

目錄

第11講圓的方程..............................................................................1

一、圓的方程..................................................................................2

基礎(chǔ)知識...................................................................................2

考點1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.....................................................................2

考點2求圓的一般方程.....................................................................4

二、二元二次方程和圓的方程...................................................................7

基礎(chǔ)知識...................................................................................7

考點3二元二次方程表示圓的條件...........................................................7

考點4圓過定點問題.......................................................................8

三、點與圓的位置關(guān)系........................................................................10

基礎(chǔ)知識..................................................................................10

考點5點與圓的位置關(guān)系..................................................................10

四、軌跡方程.................................................................................12

基礎(chǔ)知識..................................................................................12

考點6圓相關(guān)的軌跡問題..................................................................12

五、圓相關(guān)的對稱問題........................................................................16

基礎(chǔ)知識..................................................................................16

考點7圓相關(guān)的對稱問題..................................................................16

六、課后作業(yè).................................................................................19

單選題....................................................................................19

多選題....................................................................................22

填空題....................................................................................22

解答題....................................................................................23

一、圓的方程

基礎(chǔ)知識

1.圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心，定長為半徑).

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(X—。尸+3—b)2=U(r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個字母(待定)，因此

在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

⑴方程?+y2+Dx+Ey+F=0^D2+E2-4F>Q)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因

此在一般條件下，只要己知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點，將三點坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D,E,F；

②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心,22〃弋入圓心所在的直線

方程，求待定系數(shù)D,E,F.

考點1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

-圓心為半徑為2的圓的方程為()

A.(%+I)2+(y—I)2=4B.(%+I)2+(y+l)2=2

C.(x—l)2+(y+l)2=4D.(x+I)2+(y—I)2=2

【解題思路】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】因為圓的圓心為半徑為2,

所以圓的方程為(％+I)2+(y—I)2=4.

故選：A.

【例1.21過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的圓的方程可能為()

A.x2+y2+4%—2y-5=0B.(x-§+(y—I)2=|

C.(x-0+(y-0=22D.(x-2)2+(y-3)2=13

【解題思路】求出過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的所有圓的方程可得答案.

【解答過程】設(shè)過點(0,0),(4,0),(―1,1)的圓的方程為/+y2+D]X+Eiy+&=0,

0=0(&=0

所以16+0+4。1+&=0,解得小=-4,

,1+1—+4+F]=0=—6

222

即方程為冗2+y—4%—6y=0,或(％—2)+(y—3)=13；

設(shè)過點(0,0),(4,0),(4,2)的圓的方程為/+、2+。2%+￡2丫+92=。，

F2=0(6=0

所以16+0+4￡)2+尸2=0,解得。2=-4,

.16+4+4￡)2+2￡*2+尸2=°=—2

即方程為久2+y2_4%_2y=0,或(％-2)2+(y-I)2=5；

設(shè)過點(一1,1),(4,0),(4,2)的圓的方程為%2+、2+。3%+53)/+&=0,

1+1—。3+殳+?3=0(&=-3.2

所以16+0+4%+?3=0,解得。3=-3.2

、16+4+4。3+2E§+&=0(邑二一2

22

即方程為久2-by—3.2x—2y—3.2=0,-§+(y—l)=詈；

設(shè)過點(一1,1),(0,0),(4,2)的圓的方程為%2+丫2+。4汽+7丫+居=0,

(F=O

1+1—Z)4+石4+線=0,解得]4久=*,

所以F4=O

.16+4+4￡)4+2匾+”=0

即方程為/+y2_|%―甘y=0,或D+(y_§=導(dǎo)

故選：D.

￡：門，:「過點4(—1,1),B(3,—3),半徑最小的圓的方程為()

A.(x—I)2+(y+I)2=8B.(x+I)2+(y—l)2=8

C.(x-l)2+(y+I)2=32D.(x+I)2+(y-I)2=32

【解題思路】半徑最小的圓即以力B為直徑的圓.

【解答過程】過點4(-3),半徑最小的圓，即以為直徑，

則圓心為2B中點M(l,-1),半徑為r=4(T-3)：+(I+35=駕羽=2/，

則圓方程為：(%-1)2+(y+l)2=8.

故選：A.

若圓C經(jīng)過點4(2,5),5(4,3)，且圓心在直線I：2x+y—7=0上，

則圓C的方程為()

A.(久一3)2+(y-6)2=2B.(久一2)2+(y-3)2=4

C.(x-2產(chǎn)+(y—3)2=8D.(x-3)2+(y-6)2=10

【解題思路】用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意計算即可得.

【解答過程】設(shè)該圓方程為。-a)2+(y-b)2=r2,

則圓心為(a,b),有2a+b-7=0,

將點4(2,5),B(4,3)代入，

有，(2—a)2+(5+2a—7)2—r2力衿彳目f5a?-12a+8=r2

1(4—a)2+(3+2a—7)2=r2'"寸15a2—24a+32=產(chǎn))

兩式相減得12a-24=0,即有a=2,則b=7—2a=3,

r2=5a2-12a+8=4,

故該圓方程為(x-2)2+(y—3)2=4.

故選：B.

考點2求圓的一般方程

【例2.1](23-24高二匕陜西西安.階段練習(xí))直線；+；=1與x軸，y軸分別交于點4B,以線段4B為直徑

的圓的方程為()

A.x2+y2—4%—2y—3=0B.x2+y2—4x—2y—0

C.x2+y2—4%—2y+3=0D.x2+y2—2x—4y—0

【解題思路】根據(jù)直線方程求出A,8點的坐標(biāo)，法一：利用圓的直徑式方程直接求得；法二：求出AB中

點即為圓心，長的一半為半徑，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫出，再化為一般方程即可.

【解答過程】由題：4(4,0),S(0,2)

法一：根據(jù)圓的直徑式方程可以得到：

以線段AB為直徑的圓的方程為x(x-4)+y(y—2)—0,即/-4x+y2-2y=0,

故選：B.

法二：AB中點為(2,1),|=V42+22=2V5

故以線段AB為直徑的圓的圓心為(2,1),半徑為遙，

所以圓的方程為(X-2)2+(y—1)2=5,展開化簡得：%2+y2-4%-2y=0,

故選：B.

【例2.2】(23二4高一」北京順義.期小)已知圓C的圓心坐標(biāo)為(—3,2),且點(—1,1)在圓C上，則圓C的方

程為()

A.x2+y2+6%—4y+8=0B.%2+y2+6%—4y-8=0

C.x2+y2+6x+4y=0D.x2+y2+6x—4y—0

【解題思路】由圓心坐標(biāo)可以設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點C代入可求出圓的半徑，最后整理成圓的一般式

方程即可.

【解答過程】因為圓C的圓心坐標(biāo)為(—3,2),所以設(shè)圓C的方程為：(x+3)2+(y—2)2="(T>0),

由點(—1,1)在圓C上，則(-1+3)2+(1-2)2=產(chǎn),得「=遮,

則圓C的方程為：(X+3/+(y—2尸=5,即％2+y2+6x—4y+8=0,

故選：A.

若直線4刀+3、-12=0與兩坐標(biāo)軸的交點為48,則以48為直徑

的圓的方程為()

A.x2+y2—3x—4y=0B.x2+y2—4x-3y=0

C.x2+y2+3x+4y=0D.x2+y2+4x+3y—0

【解題思路】根據(jù)4B點坐標(biāo)寫出以2B為直徑的圓的方程即可.

【解答過程】直線4x+3y-12=0與兩坐標(biāo)軸的交點為4(3,0),B(0,4),

則|4B|=V32+42=5,

則以4B為直徑的圓半徑為|,圓心即為4B中點坐標(biāo)為(|,2),

所以以4B為直徑的圓的方程為-1)?+(y—2)2=(1)2,

化簡得：%2+y2-3%—4y=0.

故選：A.

【變式2.2](23-24高二上?河北保定?期中)過圓C:/+y2—2%-6y=0的圓心且與直線：+3=1垂直的

直線的方程是()

A.2%—y—1=0B.2%+y—7=0

C.x—2y+5=0D.x+y-5=0

【解題思路】求出圓的圓心，直線斜率，通過點斜式求直線方程

【解答過程】因為圓C：/+y2-2x-6y=0,即(X-l)2+(y-3)2=10,

所以圓心為(1,3),又直線2+9=1的斜率為-2,所以所求直線的斜率為:，

242.

二?所求直線的方程為y-3=1(%-1),即％-2y+5=0.

故選：C.

二、二元二次方程和圓的方程

基礎(chǔ)知識

1.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程N-+Bxy+m+4+尸=0,對比圓的一般方程產(chǎn)+y2+Dx+Ey+F=O

22

(D+￡-4F>0)；我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件:

考點3二元二次方程表示圓的條件

若/+y2+?-2y-m=。表示圓的方程，則m的取值范圍是

()

A.(5,+oo)B.(—8,5)C.(—co,—5)D.(-5,+8)

【解題思路】根據(jù)圓的一般式滿足的條件即可列不等式求解.

【解答過程】因為方程/+p+4%—2y—m=0表示一個圓，所以4?+(―2)?+4m>0,

解得m>-5,

所以ni的取值范圍是(一5,+oo).

故選：D.

若方程合+y2+4%+2y-m=0表示一個圓，則m的取值范圍是

()

A.(—8,-5)B.(-5,+oo)C.(—8,5)D.(5,+8)

【解題思路】根據(jù)圓的一般式滿足的條件即可列不等式求解.

【解答過程】因為方程/+V+4久+2y—巾=0表示一個圓，所以42+22+4巾>0,解得小>一5.

故選：B.

【變式1.1](23-24高二上?四川成者5期中)已知方程/+V+4X—2y—5c=0表示圓的方程，貝k的取

值范圍為()

A.c>—1B.c之一1

C.c>1D.c<1

【解題思路】根據(jù)題意，由42+(-2)2+20c>0求解.

【解答過程】解：因為方程/+必+4萬一2、-5?=0表示圓的方程，

所以4?+(—2)2+2000,解得c>—L

故選：A.

>J)若a6{—2,-1,0彳,1,1},貝歷程/+y2+ax+2即+

2a2+a-1=0表示的圓的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】由圓的一般方程表示圓的條件計算即可.

【解答過程】由題意可知：a2+(2a)2—4(2a2+a—1)=—3a2—4a+4>0=>(3a—2)(a+2)<0,

解之得—2<a<I，

又a€{-2,—l,()d1卜所以a6

故選：C.

考點4圓過定點問題

【例2.1](23-24高二上?安徽?階段練「J)若圓C：x2+y2—(m—2)x+(m—2)y+m2—3m+2=0過坐

標(biāo)原點，則實數(shù)機(jī)的值為()

A.1B.2C.2或1D.—2或一1

【解題思路】把坐標(biāo)(0,0)代入圓方程求解.注意檢驗，方程表示圓.

【解答過程】將(0,0)代入圓方程，得血2一3血+2=0,解得血=1或2,當(dāng)TH=2時，x2+y2=0,舍去，

所以m=1.

故選:A.

【例2.2](23-24高二上?湖北川川圓。:必+y2+一2即一5=o恒過的定點為()

A.(一2,1),(2,—1)B.(一1,一2),(2,1)

c.(-1,-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【解題思路】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.

【解答過程】圓C：/+y2+ax-2ay-5=。的方程化為a(x-2y)+(x2+y2-5)=0,

故圓C恒過定點(一2,—1),(2,1).

故選：D.

I式.)】■—.川山)對任意實數(shù)m,圓/+y2—3m-6nly+9m—2=0恒過定

點，則定點坐標(biāo)為a..或c，9.

【解題思路】

由已知得/+y2一2—(3x+6y-9)m=0,從而由此能求出定點的坐標(biāo).

【解答過程】解：x2+y2—3mx—6my+9m—2=0,即％2+y2—2—(3x+6y—9)m=0,

令，琵;二：；：，解得x=l,y=l,或x.y=g,

所以定點的坐標(biāo)是(1,1)或

故答案為：(1,1)或(巳，9，

【變式2.2](23-24高二下?上海?開學(xué)考試)對任意實數(shù)m,圓/+y2-27nx-4zny+67n-2=0恒過定

點，則其坐標(biāo)為(1.1)、Qj).

【解題思路】將圓的方程重新按m合并同類項，由此列方程組，解方程組求得定點坐標(biāo).

【解答過程】由％2+y2—2mx—4my+6m—2=。由得—2zn(%+2y—3)4-%2+y2—2=0,故

[二善二;「解得&\:

故填：(1」)、Gi).

三、點與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識

1.點與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關(guān)系：點在圓上，點在圓內(nèi)，點在圓外.

(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(無一.尸+3—6)2=",圓心為/(〃*),半徑為7?>°)；圓A的一般方程為

x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z>2+￡2—4F>0)平面內(nèi)一點M(x(),%)

判斷方法

位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

點在圓上|MA|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2

加十元+Dx0+Ey0+尸=0

點在圓內(nèi)|MA|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2詔+必+Dx0+Ey。+歹<0

點在圓外|MA|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2若+必+Dx0+Ey0+F>0

考點5點與圓的位置關(guān)系

二匕內(nèi)蒙古呼和浩特?期中)若點(2,1)在圓/+y2—%+y+a=o的外部，貝必的取值

范圍是()

A.(—4,+oo)B.(—°°<|)C.(一4,1)D.(―8,-4)U&+8)

【解題思路】根據(jù)方程表示圓的方程以及點(2,1)在圓外分別列出關(guān)于a的不等式，由此求解出a的取值范圍.

【解答過程】因為方程產(chǎn)+、2-%+3/+￡1=()表示圓，

所以(—l)?+I2—4a>0,即a<—,

又因為點(2,1)在圓/+y2-%+y+a=。的外部,

所以4+1—2+1+。>0,即a>—4,

所以aG(-4,|),

故選：C.

【例1.2](2023高二上?江蘇?專題練習(xí))已知點P(a,10),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—1尸+(y—1尸=12,則點

P()

A.在圓內(nèi)B.在圓上

C.在圓外D.與。的取值有關(guān)

[解題思路】由點P(a,10)到圓心的距離和圓的半徑比較大小即可得解.

【解答過程】V(a-I)2+(10-I)2=(a-l)2+81>12,

點尸在圓外.

故選：C.

【變式1.1](23-24高二上?廣東惠州?期中)點P(m,3)與圓(x—2)2+(y—1尸=2的位置關(guān)系為()

A.點在圓外B.點在圓內(nèi)C.點在圓上D.與相的值無關(guān)

【解題思路】將點的坐標(biāo)代入圓的方程即可判斷得到結(jié)果.

【解答過程】??1(m-2)2+(3—1產(chǎn)=(TM—2尸+4>2,

P(m,3)在圓(x—2尸+(y—I)2=2外，

故選：A.

「式「寸二。2；::三」(—1,—1)在圓Q+a)2+(y—a/=4的內(nèi)部，則。的取值范

圍是()

A.-1<a<1B.0<a<1

C.a<-1或a>1D.a=±1

【解題思路】由點在圓內(nèi)得(一1+。)2+(-1一￡1)2<4,求得。的取值范圍.

【解答過程】點(一1,一1)在圓0+?2+(>-。)2=4的內(nèi)部，

所以(―1+a)2+(―1—a)2<4)化簡得a?<1,解得—1<a<1,

故選:A.

四、軌跡方程

基礎(chǔ)知識

1.軌跡方程

求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量

x,y之間的方程.

(1)當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如

圓)時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關(guān)點法).

(2)求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡“與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等.

2.求軌跡方程：

⑴建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點M的坐標(biāo)；

(2)列出關(guān)于x,y的方程；

(3)把方程化為最簡形式；

(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；

(5)作答.

考點6圓相關(guān)的軌跡問題

【例1.1](2024高二上?江蘇?專題練習(xí))已知等腰三角形的頂點是力(4,2),底邊一個端點是B(3,5),另一個

端點是C,求線段4C中點M的軌跡方程.

【解題思路】根據(jù)中點坐標(biāo)公式，結(jié)合點點距離公式即可求解.

【解答過程】設(shè)M(x,y),又2(4,2),M為線段AC的中點，；.C(2比一4,2y—2).

由于=|48],所以(2x—4—4)2+(2y-2-2)2=10,

即可(x—4)2+(y—2尸

由于4三點不共線，所以2x—4K3且2刀一4#5,所以x羊(且%羊豆

；?中點M的軌跡方程為(X-4)2+(y-2)2=|卜力1且萬力

5(3,5)

(5,-1)

1回"世'如圖，已知點B的坐標(biāo)為(2,0),P是以點。為圓心的單位圓上的動點(不

與點C,。重合)，NP08的角平分線交直線PB于點Q,求點Q的軌跡方程.

【解題思路】由三角形的角平分線的性質(zhì)，得到的=29，設(shè)點QO/IPCcsyJOo芋0),根據(jù)向量的坐

標(biāo)表示，得到與=等,小=當(dāng)，代入圓。的方程，即可求解.

【解答過程】由三角形的角平分線的性質(zhì)，可得鵠=器=2,所以的=29,

設(shè)點Q(x,y),P(Xo，yo)Oo*0),則(無一2,y)=2(x0-x,y0-y),

一2=2久o—2久匚口、［3x-23y

所以、、，所以&=---—，

u,fyJ0U=

y=2y0—2y22

因為yo豐0,所以y*0,

又因為點P在圓。上，所以(等)2+跨)2=i,即(％—|)2+y2=2丁0),

即點Q的軌跡方程為。一|A+y2=g(y40).

I,式1.1]<2:；-2.4療h.!';陶式明末)已知點4(2,0),圓0:/+y2=I。上兩動點B、C滿足4B1BC,

且四邊形ABCD是矩形.

(1)當(dāng)點B在第一象限且橫坐標(biāo)為3時，求4。邊所在直線的方程;

(2)求點D的軌跡方程.

【解題思路】

(1)求出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線2B的斜率，再結(jié)合垂直關(guān)系求出直線AD的方程.

(2)由圓的性質(zhì)可得線段4D的中垂線過原點，再借助圓的定義求出軌跡方程即得.

【解答過程】

(1)設(shè)點B(3,t),t>0,由32+t2=i(),得t=l,直線as的斜率k=衿=1,而2D14B,

3—2

所以直線力。的方程為y—0=—1,(x—2),即x+y—2=0.

(2)由于線段BC是圓。:/+必=io的弦，則線段BC的中垂線必過圓心0,

又線段BC的中垂線是矩形2BCD的對稱軸，因此該對稱軸垂直平分線段4D,即［00=\OA\=2,

顯然不重合，當(dāng)8,C重合時，點40重合，則點。的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓(除點4外)，

豐

所以點。的軌跡方程是/=4(x2).

ro\AIx

:?全國?專題練習(xí))已知A(2,0)為圓。：上一點，點8(1,1),P,。為圓

。上的動點.

(1)求線段AP中點的軌跡方程；

(2)若/尸8。=90。，求線段中點的軌跡方程.

【解題思路】

(1)由中點坐標(biāo)公式可知，點P的坐標(biāo)為(2x—2,2y),進(jìn)行求解即可；

(2)得到OP?=ON?+PN?=ON2+BN?,進(jìn)行求解即可.

【解答過程】

(1)設(shè)線段AP的中點為M(x,y).

由中點坐標(biāo)公式可知，點P的坐標(biāo)為(2彳-2,2y).

VA(2,0)為圓O-./+丁=^上一點，圓。的方程為/+丁=4.又點尸在圓。上，(2x-2)2+(2y)2=4,

即(x—1)2+尸=1,故線段AP中點的軌跡方程為(x—1)2+V=1.

(2)設(shè)線段PQ的中點為N(x,y).

在R3PBQ中，PN=BN,連接0N（圖略），則OMLPQ,

OP2=ON2+PN2=ON2+BN2,：..v+r+（A—l）2+（y-l）2=4,即l+y2—x—y—1=0.

；?線段P。中點N的軌跡方程為.v+r-r-y-l=0.

五、圓相關(guān)的對稱問題

基礎(chǔ)知識

1.與圓有關(guān)的對稱問題

(1)圓的軸對稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對稱.

(2)圓關(guān)于點對稱

①求已知圓關(guān)于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點.

(3)圓關(guān)于直線對稱

①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.

考點7圓相關(guān)的對稱問題

圓C：/+y2+2%一4y+4=0關(guān)于直線y=%—1對稱圓C'的

方程為()

A.(x—I)2+(y+I)2=9B.(x—4)2+(y+3)2=9

C.0—2)2+(y+3)2=1D.0—3)2+0+2)2=1

【解題思路】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心、半徑.根據(jù)已知求出對稱點C'的坐標(biāo)，即可得出答案.

【解答過程】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，(%+I)2+(y—2)2=1,

所以，圓心C(-l,2),半徑r=l.

設(shè)C，0o，yo),

y0+2_xo-i_]

由已知可得，—三；，解得｛0二

所以，圓C'的圓心為C'(3,—2),半徑ri=r=l,

所以，圓。的方程為(％-3)2+(y+2)2=1.

故選：D.

若圓產(chǎn)+y2+4%—12y+1=0關(guān)于直線x—by+6=0對稱，

則b=()

32

--

A.0B.2C.2D.3

【解題思路】得到圓心在直線上，先求出圓心，代入即可.

【解答過程】圓/+y2+4%_12y+1=0關(guān)于直線式—by+6=0對稱，

即圓心在直線上，

由％2+y2+4%-12y+1=0,得圓心(—2,6),

則—2—6b+6=0,得b=—.

故選：D.

;全國?課后作業(yè))如果圓/+y2+DX+Ey+/7=0(。2+七2—4/7>0)關(guān)于直

線y=%對稱，則有()

A.D+E+F=0

B.D=E

C.D=F

D.E=F

【解題思路】由題意可知圓心在直線、=》上，求出圓心坐標(biāo)代入y=%即可求解.

【解答過程】由一+y2+Dx+Ey+F=0可得圓心坐標(biāo)為(一?一I),

因為圓關(guān)于直線y=x對稱，所以圓心在直線y=%上，

即一|=一|,可得D=E,

故選：B.

【變式1.2](23-24高二上?全國?課后作業(yè))已知圓C與圓/+y2—2y=0關(guān)于直線x—y—2=0對稱，則

圓C的方程是()

A.(%+I)2+y2=1B.(%—3)2+(y+2)2=1

C.(X+3/+(y—2尸=1D.(比+2)2+(y—3)2=1

【解題思路】設(shè)所求圓的圓心C(a,b),根據(jù)點關(guān)于直線的對稱得到關(guān)于a,b的方程，解出即可.

【解答過程】將圓/+必一2y=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式得M+。-1)2=1,

所以已知圓的圓心為(0,1),半徑r=l,

因為圓C與圓/+y2-2y=0關(guān)于直線x—y-2=0對稱，

所以圓C的圓心C與點(0,1)關(guān)于直線x—y—2=0對稱，半徑也為1,

(u=-1_

設(shè)C(a,b)可得吆:逐_2=°'解得｛,

V22一

所以C(3,-2),圓C的方程是(久—3)2+(y+2)2=1,

故選：B.

六、課后作業(yè)

單選題

:習(xí))已知圓的圓心在(—3,4),半徑為5,則它的方程為()

A.(x—3尸+(y-4>=5B.(久+3)2+(y+4/=25

C.(久+3>+(y-4)2=25D.(x+3)2+(y—4尸=5

【解題思路】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.

【解答過程】因為圓心為(-3,4),半徑為5,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(乂+3)2+(y—4)2=25,

故選：C.

若ae{—2,—1,0,—,1j,則方程/+y2_|_ax+2ay+2a?+a—1—0表

示的圓的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件求出參數(shù)a的取值范圍，即可判斷.

【解答過程】若方程/+y2+收+2ay+2a2+a-1=。表示圓，

則a?+(2a)2—4(2a2+a-1)=-3a?—4a+4>0n(3a—2)(a+2)<0,

解得一2<a<

又ae{-2,—LO,”}，所以a=-l或a=0,

即程+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個數(shù)為2.

故選：B.

圓/+y2-2%-2y+1=0關(guān)于直線x+y=1對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()

A.(x+I)2+(y—I)2=1B.x2+y2=1

C.x2+(y—l)2=1D.(x+I)2+y2=1

【解題思路】

把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心坐標(biāo)和半徑，由對稱求出對稱圓的圓心，可得標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答過程】由圓x2+y2-2乂-2y+1=0,得(X—1)2+(y—1)2=1,

則圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,

設(shè)(1,1)關(guān)于直線％+y=1的對稱點為(a,b),

—=1,a=0

則端;絲1=],解得｛:

b=0

,22一

?,?圓式2+y2_2%_2y+1=。關(guān)于直線久+y=1對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為久2+y2=1.

故選：B.

4.(23-24高二上.全國.課后作業(yè))下列方程能表示圓的是()

A.x2+y2+2x+1=0B.x2+y2+20x+121=0

C.x2+y2+2ax—0D.x2+y2+lay-1=0

【解題思路】

由一般二元二次方程表示成圓的充要條件逐一判斷每個選項即可得解.

【解答過程】對于A,x2+y2+2x+l=(x+l)2+y2=0,方程表示的圖形是一個點；

對于B,x2+y2+20%+121=0,v￡)2+E2-4F=400-4X121<0,.?.方程不表示圓;

對于C,x2+y2+2ax=0,D2+E2-4F=4a2>0,.,.當(dāng)a=0時，方程不表示圓；

對于D,/+y2+2ay-1=0,?；+產(chǎn)-4F=4a?+4>0,.,.方程表示圓；

綜上，以上方程能表示圓的是D選項中的方程.

故選：D.

5(23-24高匕四HU?期末)已知圓C的圓心在x軸上且經(jīng)過4(1,1),B(2,-2)兩點，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)

方程是()

A.(%—3)2+y2=5B.(%—3)2+y2=17

C.(x+3)2+y2=17D.x2+(y+l)2=5

【解題思路】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法計算即可.

【解答過程】因為圓C的圓心在x軸上，故設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+y2=/(?>0),

又經(jīng)過力(1,1),又2,-2)兩點,

a=3

所以解得

(2—aY+(—2)/=rzT=遮，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+y2=5.

故選：A.

期末)已知點4(5,0),點B在圓。一I/+V=4上運動，則線段4B的中點M的

軌跡方程是()

A.x2+y2—6x+8=0B.x2+y2—6x+5=0

C.久2+>2+6久+8=0D.x2+y2+6x+5=0

【解題思路】設(shè)出B,M的坐標(biāo)，利用相關(guān)點法求解出M的軌跡方程.

【解答過程】設(shè)B(xo,y0),M(%,y)，

由題意可知］J：；所以"1篦丁,

2

又因為-+y0=4,

所以(2x—5—1產(chǎn)+(2y)2=4,

化簡可得/+y?—6x+8=0,

所以M的軌跡方程為"+'2-6久+8=0,

故選：A.

圓久2+丫2+4久—6y—3=0的圓心和半徑長分別為()

A.(4,-6),16B.(2,-3),4

C.(-2,3),4D.(2,-3),16

【解題思路】

將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得圓心和半徑.

【解答過程】

由/+y2+4%—6y-3=0得(x+2)2+(y-3)2=16,

故圓心為(一2,3),半徑長為4.

故選：C.

匕浙江溫州?期中)點P(x,y)是直線2x+y-5=0上任意一點,。是坐標(biāo)原點，則以O(shè)P為

直徑的圓經(jīng)過定點()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【解題思路】設(shè)點P(t,5-2t),求出以O(shè)P為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點坐標(biāo).

【解答過程】設(shè)點P(t,5-2t),則線段。P的中點為M6,等)，

圓M的半徑為|OM|=『+(管/=""一茨25,

所以，以0P為直徑為圓的方程為(久-if+(y-詈丫=5左2：+25,

即久2+y2_垃+Qt_5)y=0,即(/+y2_5y)_|_f(2y—%)=0,

由LMX。，解得【冷或口，

因此，以。P為直徑的圓經(jīng)過定點坐標(biāo)為(0,0)、(2,1).

故選：D.

多選題

'］汆深圳?朗中)已知圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(久一4)2+(y+3)2=25,則下列說法正確的是

()

A.圓M的圓心為(4,一3)B.點(1,0)在圓內(nèi)

C.圓M的半徑為5D.點(—3,1)在圓內(nèi)

【解題思路】根據(jù)給定圓的方程，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系逐項判斷作答.

【解答過程】圓M:(x-4/+(y+3)2=25的圓心為(4,-3),半徑為5,AC正確；

由(1—4)2+(0+3產(chǎn)=18<25,得點(1,0)在圓內(nèi)，B正確；

由(—3-4產(chǎn)+(1+3)2=65>25,得點(一3,1)在圓外，D錯誤.

故選：ABC.

10.(23-24高二上?廣西河池?階段練習(xí))已知方程/+*—2x+4y+a=0,則下列說法正確的是()

A.方程表示圓，且圓的半徑為1時，a=4

B.當(dāng)a=5時，方程表示圓心為(1,-2)的圓

C.當(dāng)a=0時，方程表示圓且圓的半徑為花

D.當(dāng)a<5時，方程表示圓心為(1,—2)的圓

【解題思路】若方程表示圓，把一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)方程成立的條件，驗證各選項.

【解答過程】由題意，方程/+y2-2x+4y+a=0,可化為(x-+(y+2/=5-a,

若方程表示圓，則圓的圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑r=V5-a,

A中，當(dāng)由5-a=1時,可得a=4,所以A正確；

B中，當(dāng)a=5時，此時半徑為5—a=0,所以B錯誤；

C中，當(dāng)a=0時，表示的圓的半徑為r=而，所以C正確；

D中，當(dāng)a<5時，此時半徑大于0,表示圓心為(1,一2)的圓，所以D正確；

故選：ACD.

填空題

11.<23-24高卜漱南邵⑴到U「)圓心在y軸，半徑為1且過點(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/+&-2)2=

1.

【解題思路】

根據(jù)給定條件，求出圓心坐標(biāo)即可得解.

【解答過程】依題意，設(shè)圓心為(0,b),則(1一0)2+(2-6)2=1,解得b=2,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是/+(y-2/=1.

故答案為：x2+(y-2)2=1.

12.⑵-“高海青浦?階段約習(xí))已知兩點2(—5,0),8(5,0),動點P到點A的距離是它到點B的距

離的3倍，則點P的軌跡方程是/+2—史％+25=O.

2

【解題思路】設(shè)出點P(x,y),結(jié)合距離公式計算即可得.

【解答過程】設(shè)P(x,y),由題意可得J(x+50+*=3J可一5Q+產(chǎn),

化簡可得2/+2y2-25%+50=0,BP%2+y2—y%+25=0.

故答案為：x2+y2-y%+25=0.

解答題

13.(2024高二上?全國?專題練習(xí))下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心和半徑.

(l)x2+y2—4x—0.

⑵久2+y2—4x—2y+5=0.

(3)2/+2y2—3%+4y+6=0.

【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件即可判斷.

【解答過程】

(1)由方程可知：D=-