云南省高三名校2025屆月考試卷(八)數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足(1—i)z=2i,則2=()

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

【答案】A

r\,

【解析】由(l—i)z=2"與z=『7=i(l+i)=-l+i,故選A.

2.已知集合A={2,4,6},B=［x\l<x<6\,若CcA,則集合C的個(gè)數(shù)

為()

A.2B.4C.7D.8

【答案】B

【解析】由題意知?jiǎng)t集合C為{4},{2,4},{4,6},{2,4,6}共4個(gè).

故選:B.

3.2025年某市教育主管部門組織該市教師春季學(xué)期在線培訓(xùn)，培訓(xùn)后統(tǒng)一進(jìn)行測試.隨機(jī)

抽取100名教師的測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖，如圖所示.已知這100名教師

的成績都在區(qū)間［75,100］內(nèi)，則下列說法正確的是()

個(gè)頻率/組距

0.08--------------

A.這100名教師測試成績的極差一定是25分

B.這100名教師的測試成績的眾數(shù)是87分

C.這100名教師的測試成績的中位數(shù)是85分

D.這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)約占30%

【答案】D

【解析】這100名教師的測試成績的最高分和最低分都無法確定，則極差不確定，故A錯(cuò)

誤;

由題圖可知，這100名教師的測試成績的眾數(shù)是87.5分，故B錯(cuò)誤；

前兩組的頻率和為(0.02+0.04)x5=0.3,前三組的頻率和為

(0.02+0.04+0.08)x5=0.7,

故中位數(shù)在第三組，設(shè)這100名教師的測試成績的中位數(shù)為%,

則(0.02+0.04)X5+(%—85)X0.08=0.5,

解得升=87.5,故C錯(cuò)誤；

估計(jì)這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)占(0.03+0.03)x5義100%=30%.

故選：D

4.已知向量a，石滿足|a+B|=2,則a-(a+b)=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】由|a+匕|=2得/+//+2a.b=4，由IaH匕I得/=b?，所以2；+2a-b=4j

故a?(a+b)=2.

故選：C

5.從3位男生、4位女生中選派4人參加座談會(huì)，則既有男生又有女生參加的不同選派方法

共有()

A.120種B.60種C.34種D.30種

【答案】C

【解析】從7人中任選4人，除去選到4個(gè)全是女生的情況，共有C：-C：=34.

故選：C.

Q

6.已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長為2,體積為-，若該四棱錐的頂點(diǎn)都在球O的球面上，

3

則球。的表面積等于()

9兀

A.9兀B.4兀C.—D.3兀

2

【答案】A

【解析】正四棱錐尸一ABCD的外接球的球心在它的高尸Q上,

198

由已知得匕1,-/Ai5i85v=-_3x22xPQI]=3_,得R?11=2,

易知正四棱錐底面外接圓半徑A。=J5,

球0的半徑為R,由球的性質(zhì)得R2=(J可？+(2—R『，解得R=|,

所以球。的表面積為5=4兀玄=9兀.

故選：A.

7.己知拋物線E：V=4%上存在兩點(diǎn)A,8關(guān)于直線/：y=—x+6對(duì)稱，F(xiàn)為E的焦點(diǎn),

則|AF|+|BF|=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

.一.%一_4=]

【解析】設(shè)A。,%),3(%2，%)，則AB_U，故々―西式_才為+%，

4―4

所以電衛(wèi)=2,代入/得生產(chǎn)=4,則|4尸|+|3尸|=七+1+々+1=10,

故選：D.

cea

8.已知函數(shù)/(x)=(e*-4x)(x2—ax+b),VxeR,/(x)>0,則一=()

b

,e3

A.2B.—C.4D.16

e2

【答案】D

【解析1設(shè)g(x)=ev-4x,A(x)-x2-ax+b,

g(x)=e'-4，

令g'(x)>0,解得1>>4,

令g'(九)<0,解得x<ln4,

所以g(x)在(In4,y)上單調(diào)遞增，

g(x)在(TO,In4)上單調(diào)遞減，

g(x)的極小值為gQn4)=4—41n4=4(1—In4)<0,

3

又因?yàn)間(0)=l>0,g(3)=e-12>0,所以g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)尤］,x2,

1

0<x；<In4<x2<3,且<X,即得e*'+x2=16玉々，（*）

若VxeR,/（x）>0,則/?（x）的零點(diǎn)也為尤-x2,

x,+x=a,a

且\7代入（*）式得：e“=16b，所以eJ=16

=b,b

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的

得0分.

9.如圖，在長方體A3CD—44GA中，AD=A4]=1,AB=2,E為8cl的中點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的是（）

B.BQ_L平面ABD

C.四面體碼5。的體積等于;

D.經(jīng)過AB的平面截該長方體的截面面積的最大值為20

【答案】ACD

【解析】如圖，連接,CD,,BR,易知平面C5Q〃平面A3。,且EQu平面eg。,

故有ED]〃平面43。，A正確；

易知BD=DCi=#）,LBDCI為等腰三角形，BQ為底邊,故BG與BD不垂直，即BCX±

平面A3。不成立，B錯(cuò)誤；

由ED]〃平面45。知,Vg-ABD=%>[-A[BD=%-A1D（D=§X]Xlxlx2=§,C正確；

經(jīng)過AB的截面為矩形，截面與側(cè)面BCG4的交線最長為對(duì)角線BG，故截面面積的最大

值為48x5。]=2夜，D正確.

故選：ACD.

10.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為4,函數(shù)/（x）=gx3—（見+]+1）f+4+2（/+2旨

（左eN*），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)d=0時(shí)，/（%）的極大值點(diǎn)為ak

B.當(dāng)d=l時(shí)，/（%）無極值點(diǎn)

C.當(dāng)d〉0時(shí)，/（%）在（―8,%+2）上單調(diào)遞增

D.當(dāng)d>l時(shí)，/（X）在（/+2，+°°）上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【解析】解：于，。）=x2—2（』+i+1）%+。九+2（4+2）=獷—4+4+2+2）%+。%+2（4+2），

=[x-(a*+2)心-4+2),

若d=0,則為=ak+2,ak+2>ak+2,

%<%+2或》〉％+2時(shí)，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

為+2<%<4+2時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，則/(%)極大值點(diǎn)為怎+2，

又為+2=4，故A正確；

若d=l,久+2=%+2，fr(x)>0,/(x)在R上單調(diào)遞增，/(x)無極值點(diǎn)，故B正

確；

當(dāng)d〉0時(shí)，以+2=4+2』，劭+2與+2的大小無法確定，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)d>l時(shí)，ak+2=ak+2d>ak+2,/(x)在(。什2，+8)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：ABD.

11.阿基米德螺線是最古老的數(shù)學(xué)曲線之一，由古希臘科學(xué)家阿基米德在公元前3世紀(jì)提

出.想象一下：你拿一支筆，在勻速旋轉(zhuǎn)的圓盤上同時(shí)勻速向外移動(dòng)，筆尖畫出的軌跡就是

阿基米德螺線.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)4(-L0),

A(0,-2),4(3,0),4(0,4),4(-5,0),A(o，f)，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去.當(dāng)〃eN*

時(shí)，下列結(jié)論正確的是()

A.|AA+J=j2/+2〃+lB.144+21=2"+2

C.△44+14+2的面積為1+1D.為銳角三角形

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,點(diǎn)4,點(diǎn)4+1分別位于1軸，y軸(或y軸，X軸)，

則144+]|=折+([+1)2=,2/+2”+1,故A正確；

對(duì)于B,點(diǎn)4,點(diǎn)4+2同時(shí)位于X軸或y軸，則144+2|="+"+2=2”+2,故B正確;

對(duì)于c，SM%+出「54生l"04+i1+萬104+11"04+21

ii,

=-n(n+l)+-(n+l)(n+2)=(?+1)2,故C錯(cuò)誤；

22

對(duì)于D,14+A+21=J(?+l)+(n+2)=J2于+6〃+5，由于IA?A?+11<|A?+1A?+2|<|AnAn+2\，

所以在△44+14+2中，/4n4+14+2為最大角，由余弦定理得

2"+2rl+1+2/+6幾+5-(4/+8〃+4)

cos44+A+2

2,2〃2+2/+1?+6〃+5,2/2+2孔+12nl+6/+5

則44+14+2為銳角，即△44+14+2為銳角三角形，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在△ABC中，已知AC=8,AB=4,cos/LABC——,則.

4

【答案】8

【解析】由余弦定理得8?=BC2+42—2X4BCXL,故5c?—2BC—48=0，解得3c=8.

4

故答案為：8.

13.已知函數(shù)/（x）=sins（。>0）在區(qū)間［0,5］上恰有3個(gè)零點(diǎn)，且％=3是函數(shù)/（幻

圖象的一條對(duì)稱軸，則①=.

7T

【答案】一

2

2兀3兀271371

【解析】因?yàn)棰?gt;0,由已知得—<5<—,所以——,

696955

7T

又x=3是函數(shù)/（幻圖象的一條對(duì)稱軸，所以3G=E+—,左wZ,

2

k兀7r

則69=—兀H--,kGZ,

36

7T

當(dāng)％=1時(shí)，口=一，滿足題意，

2

LL…71

所以G=一.

2

TT

故答案為：一

2

14.數(shù)列｛%｝的每一項(xiàng)為0或1,稱此數(shù)列｛%｝為0—1數(shù)列.乂卜(左eN*)表示所有上項(xiàng)

0—1數(shù)列構(gòu)成的集合.現(xiàn)從集合X3中隨機(jī)取出兩個(gè)元素芭，x2,￡與％,為，為，定義

3

隨機(jī)變量J=ZI玉一X」，則E/)=.

Z=1

【答案】y

【解析】集合X3中共有23=8個(gè)元素，任取兩個(gè)元素，

即數(shù)列七，/，%3與%,%，%，

I%—yI有4種可能情況：|?！?。|=。，10—11=1,11-01=1,11-11=0,

即I玉一天1=0或1.當(dāng)IXj_yt|=0,此時(shí)%=%=0或者%=y=1；當(dāng)|xt-yt|=1,

此時(shí)%=0,%=1或%=1,%=0,

由集合中元素的互異性，數(shù)列尤一%，W與%,內(nèi)，為對(duì)應(yīng)項(xiàng)不可能完全相同，

所以IX]-％]|々一％I，I七一％I中至少有1個(gè)1，至多有3個(gè)1,

3

所以J=-y|最小值為1,最大值為3,

1=1

3

即J=—的所有可能取值為1，2,3.

Z=1

4=1,即|西一%|,\x2-y2\,|七一為I中有1個(gè)1，有2個(gè)0,

對(duì)應(yīng)的情況共有，X2X2-=12種，

2

所以&占=1)=白=；,同理，尸?=2)=3,P(^=3)=-,

33112

所以EC)=lx,+2x7+3x,=亍.

故答案為：—■

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.如圖，在三棱柱ABC—ABIG中，△ABC和△ABC都是邊長為2的正三角形.

(1)證明：BCLAA,.

(2)若三棱柱A5C-4耳01的體積等于3,求平面與平面5。。田1夾角的余弦

值.

(1)證明：取BC中點(diǎn)為。，連接A。，4。，

由△ABC和△43C都是正三角形，得AOL5C,\01BC,

又AOc4(9=O,AO,4Ou平面AOA，所以5CL平面A04，

又A&u平面AOA，所以8CLA4].

(2)解：設(shè)點(diǎn)A到平面A8C的距離為//,

易知SABC=X2?=6>

由已知V—S^ABch=3得=3,所以/z=,

在正△ABC中，百，所以AO=/I=G，即平面ABC,

以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。-乎，如圖，則

A(A/3,0,0),4(0,0,?5(0,—1,0),c(o,i,o),

所以=(―g,0,g),AC二(—6,1,0)，設(shè)平面ACGA的法向量為m=(x,y,z),

AA-m=0[-43x+y/3z=0

則由，得廣，

AC-m=0[-j3%+y=0

令2=1,則x=l,y=A/3，得平面ACGA的一個(gè)法向量加=(1,A/3,1).

又BC=(0,2,0),CCl=AAl=(-y/3,0,y/3),設(shè)平面BCC圈的法向量為

n=(xl,yl,zl),

則由［"T。,得［-舟+后=。，

BCn=Q〔2%=0

令zi=i,則為=1,%=0,所以平面BCG用的一個(gè)法向量3=(1,0,1).

設(shè)平面ACQA與平面BCqB1夾角為0,則COS0=?L=「2=巫，

\m\\n\V5xV25

故平面ACQA與平面BCQB1夾角的余弦值為叵.

5

16.小明同學(xué)上學(xué)期間每天都在學(xué)校食堂用午餐.學(xué)校食堂有A、8兩家餐廳，小明第1天

隨機(jī)等可能選擇一家用午餐.若他在前一天選擇去A餐廳的條件下，接著一天繼續(xù)選擇A餐

廳的概率為:；而在前一天選擇去8餐廳的條件下，接著一天繼續(xù)選擇去B餐廳的概率為

3

《?記小明同學(xué)第〃天選擇去A餐廳用午餐的概率為心.

⑴求。2；

(2)證明：數(shù)列＜衛(wèi)11是等比數(shù)列，并求｛p.｝的通項(xiàng)公式.

(1)解：設(shè)4="第，天去A餐廳用午餐”，用="第，天去B餐廳用午餐”，，=1,2,

113

A與耳互斥.由題意，p(A)=m)=->尸(4⑷=]，尸(為田)=丁

—32

所以尸(414)=尸(為|與)=1"=5,

由全概率公式得

乩=尸(4)=尸(44+44)=尸(A4)+尸(44)=尸(A)尸(414)+尸(4)尸(4歸)

111211

=-X—+—X—=——；

232530

(2)證明：4=“第，天去A餐廳用午餐”，用="第，天去8餐廳用午餐”，i=L2,.-,77.

A,.與耳互斥且對(duì)立.由題意，p]=p(4)=g,當(dāng)心2,“eN*時(shí)，

132

尸（4T）=P“T，尸（紇一）=1—%-，P（4I4T）=4,尸（紇1紇"=不尸（41紇_1）=不

JJJ

所以P"=尸（4）=P（4T）P（4IAn_1）+P（Bn_1）P（AnI紇以li

12八、12

=~Pn-l+《（1-P『1）=一百P"T+g，

b,31（3、

所以P"_\=_R>

O1J\oJ

_3

寸3131M3cg,P"一§1

又Pi—=----=一,故夕“—/0,所以-------,

82888n_315

“a8

f31311

所以數(shù)列（P,,-［是首項(xiàng)為Pi-二=一，公比為-工的等比數(shù)列，

IoI8815

17.已知函數(shù)/(%)=%e*+〃恰有兩個(gè)零點(diǎn)/，/，“ER.

(1)求。的取值范圍；

(2)證明：^+X2+2<0.

⑴解:f'(x)=(x+V)ex,當(dāng)x<—1時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x>—1時(shí)，f\x)>0,

所以/(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,y)上單調(diào)遞增，

又八—1)=0,則-1是。(x)的極小值點(diǎn),

要使/(?在定義域內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則=-片1+。<0,所以a<e-L

又當(dāng)X—+00,—+00,當(dāng)Xf-co,故a>0.

即。的取值范圍是(O,eT).

(2)證明：設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)—/(—2—(―2—x)e-2r,xe(-l,+oo),

xx-2

則g，(x)=(X+I)e—(x+l)-2T=(x+l)(e-e^),

因?yàn)楫?dāng)x>—1時(shí)，則x>—2—x,故g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(-l,4w)上單調(diào)遞增,又g(T)=O,所以g(x)>0,

即/(X)>/(—2—％),不妨設(shè)石<々，由(1)可知/<一1<尤2，

則/02)〉/(一2-々)，又/(X])=/(%)，

所以/(%)>/(-2-々)，此時(shí)玉<-1,-2-x2<-1,

又/(x)在(-e,-1)上單調(diào)遞減，故石<-2-々，

所以Xi+x2+2<0.

18.已知點(diǎn)A是圓0：f+,2=8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)a在x軸上的射影為B,點(diǎn)P滿足PB=—AB，

2

記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)分別是E與y軸的交點(diǎn)，(C點(diǎn)在y軸正半軸上)，過點(diǎn)。，，孚j的直線/

與E分別交于點(diǎn)M,N(異于點(diǎn)C,￡>),直線MC與直線ND交于點(diǎn)G,證明：點(diǎn)G在

定直線上.

⑴解：設(shè)尸(蒼》),4(%％),

因?yàn)?為A在x軸上的射影，所以5(%,0).如下圖:

%o—％=0

已知23=也43,則(x0—x,—y)=#(0,—%)，可得，

2

-y=--y0

x0=X

即《

y0=42y-

X—X

0

又因?yàn)樵趫AO：尤？+y2=8上，將＜廠代入圓方程得Y+(0y)2=8,

%=’2y

22

即乙+上1,

84

所以E方程為土+&=1.

84

(2)證明：由(1)易知C(0,2),Q(0,—2),由題意知，直線/不垂直于x軸,

故設(shè)直線/：y=質(zhì)+半，由點(diǎn)Q0,苧在E內(nèi)，則直線/與E恒有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為

”(為,乂)，N(x2,y2).

-2垃

聯(lián)立《V—"3，得(18左2+9)無2+24/a—56=0,

x2+2y2=8

l+,士斗止1工用作124y［ik56_.3A/2,/*、

由韋達(dá)定理得玉+%=一］弘2+9'%馬=-］弘2+9'則xi+x2=一y-近1%()?

y.-2y+2

又直線MC的方程為y="一%+2,直線ND的方程為y==9-X-2,

設(shè)直線MC與直線ND的交點(diǎn)為G(x,y),

則聯(lián)立MC,方程，解得

將（*）式代入化簡得

故點(diǎn)G在定直線小y=3V2±.

19.設(shè)數(shù)列｛4｝的前八項(xiàng)和為S,T，由S『，5?,....組成的數(shù)列記為｛S『｝,把新數(shù)

列｛S?｝稱為原數(shù)列｛%,｝的一階和數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛S『｝的前n項(xiàng)和為Sf],把數(shù)列｛S尸｝稱

為數(shù)列