云南省昆明市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期

期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼

好條形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足力=1—i,則忖=()

A.72B.73C.2D.亞

【答案】A

【解析】由zi=l—i,得z=1~=-1-i,

:：21

故選：A.

2.已知向量a=(彳+1,2)1=(彳一1,3),若則2=(

A.—6B.-5C.-4D.-3

【答案】B

【解析】因為向量a=(X+l,2)力=(彳一1,3),

allb，所以3(4+1)—2(2—1)=0,解得X=—5.

故選：B

3.已知命題pHxeR2<0,命題?0,+8),Ind>0,則()

A.P和9都是真命題B.和9都是真命題

C.P和F都是真命題D.和F都是真命題

【答案】D

【解析】VxeR,2">0,所以命題〃二九￡&2'<0是假命題，是真命題,

當(dāng)0<xWl時，0<f<1，所以ln%2<0.

所以命題q：Vxe(0,+"),In/>o是假命題，f是真命題，

對于A,2和4都是真命題，錯誤；

對于B,M和4都是真命題，錯誤；

對于C,2和F都是真命題，錯誤

對于D,iP和F都是真命題，正確.

故選：D.

..(、f(0.5n)

4.已知函數(shù)y=/(x),xeR且"0)=3,1靛/二廣,〃eN*，則/⑴的一個

解析式為()

A.仆)=32B./(x)=3-2^

C./(x)=3-4xD./(%)=3-4^

【答案】C

【解析】A選項："無)=32,40)=3成立，/(O.5n)=3-2O5\

/(0.5(〃-1))=3?嚴(yán)(1),則片黑，^=言工=2°.5=3,A選項錯誤；

B選項：/(%)=3.2^,/(O)=|,B選項錯誤；

C選項：/(x)=3-4\"0)=3成立，/(0.5n)=3-405\

■(EX?…，則/湍：2))=基

C選項正確；

D選項：/(%)=3-4x-1,/(0)=-,D選項錯誤；

故選：C.

5.某人連續(xù)投一枚骰子4次，記錄向上的點(diǎn)數(shù)得到一組樣本數(shù)據(jù)，若該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

為2,則()

A.極差可能為5B.中位數(shù)可能為3

C.方差可能為1D.眾數(shù)可能為4

【答案】C

【解析】根據(jù)平均數(shù)的公式可得%+%+退+%=8,且1<X]<%<%</<6,

A選項：若極差為5,則玉=1,%4=6,此時％2+%3=1不成立，A選項錯誤；

B選項：若中位數(shù)為3,則垣產(chǎn)=3,即/+退=6,且退23,

此時為+%=2與％2七不符，B選項錯誤；

C選項：當(dāng)再=%2=1，%3=%4=3時，方差為

(%-2)+(32)+(七-2)+(x「2)=],c選項正確；

4

D選項：若眾數(shù)為4，則數(shù)據(jù)中至少有兩個為4，此時石+々+%5+乂〉8,不成立，D

選項錯誤；

故選：C.

6.已知產(chǎn)為拋物線。：丁2=2〃*(〃>0)的焦點(diǎn)，過C上一點(diǎn)P作圓(％-2)2+丁2=產(chǎn)的

兩條切線，切點(diǎn)分別為￡A,若則P=()

124

A.—B.—C.1D.一

233

【答案】D

【解析】由題意易得e(^,0),

?過。上一點(diǎn)P作圓(x—2『+y2=/的兩條切線，切點(diǎn)分別為￡A,且。尸，以，

且噂+廠=2,

將點(diǎn)P或，)代入拋物線方程可得r2=p2,即廠=夕，

.?.￥=2,解得p=g.

23

故選：D.

7.已知正四棱臺的體積為苦，上、下底面邊長分別為逝,2班，其頂點(diǎn)都在同一球面上,

則該球的表面積為()

A.20兀B.25兀C.36兀D.5071

【答案】A

L14

【解析】在正四棱臺ABC?！?用￡，中，AB=20，44=0，體積為不，

故4=|(2+8+V2V8)hn/i=1

22

則BD=J(2V2)+(2V2)=4，S1D1==2,

連接BD、AC相交于點(diǎn)E，8自、AC相交于點(diǎn)/，

設(shè)外接球球心為0,若。在臺體外，

設(shè)。到底面ABCD的距離為h,

則半徑為R=y/EB2+h2=jB/2+(i+h)2,

即＞/4+h2=Jl+(1+h)2,解得h=T,

若。在臺體內(nèi)，。到底面ABC。的距離為〃，

則半徑為R=7EB2+h2=JB/2+(1-h)2，

即A/4+盾=Ji+(1—h)2,解得/z=-1,舍去,

綜上所述，fl=1,故R=J^,所以4兀7?2=20兀.

故選：A.

函數(shù)=；+cos2x,xeLj+yj,則下列說法錯誤的是(

8.)

A.3reR,使得/(%)為偶函數(shù)

B.3reR,使得曲線y=為中心對稱圖形

C.V/wR,/(%)存在極值

D.VZeR,存在兩個零點(diǎn)

【答案】D

兀(7171A

【解析】A：當(dāng)f=—§時，xel,關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,

1

此時/(-X)=—+cos

2

令2x='+E,左eZ,解得尤=二+期，左GZ,

242

即函數(shù)/(x)=g+cos2x的對稱中心為g+g,O),kwZ,

即當(dāng)一+.2.。+弓)，即公若+為，左ez時，曲線y=/(九)為中心對稱圖

形，B正確；

127r27r27rIT

C:因為/(x)=5+cos2x的最小正周期為7=寸=兀，z+y-?=yT

所以函數(shù)VfeR,/(x)存在極值，C正確；

D：取/=—巳，則又/(x)=g+cos2x,

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，/(%)在1-上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又不「；+8sH=1,〃o)=*so=|,4lH+COS7I=4'

所以/(%)在［/oj上沒有零點(diǎn)，在10,切上只有一個零點(diǎn)，D錯誤；

故選：D.

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.等比數(shù)列｛4｝的公比為4,前〃項和為S“，｛Sj為等差數(shù)列，則()

A.

q=lB.Sn=nan

C.｛%+S〃｝為等差數(shù)列D.｛qS“｝為等比數(shù)列

【答案】ABC

【解析】由己知｛s“｝為等差數(shù)列，則當(dāng)〃之2時,3—Si=?！盀槎ㄖ?

即an為常數(shù),

此時數(shù)列｛4｝為常數(shù)列,

又?jǐn)?shù)列｛%｝為等比數(shù)列,

則qwO,且4=1,an=a1,A選項正確;

此時Sn=〃％,B選項正確;

%+S“=q=5+l)q,%+S,i=〃％,n>2,(a“+S“)_(a"_i+S“_J=q,

即｛4+s“｝為等差數(shù)列，c選項正確;

2==〃

n>2,不為定值,

小(〃-l)a；n-1

所以｛?！辏粸榈缺葦?shù)列，D選項錯誤；

故選：ABC.

10.已知函數(shù)/(x)=x(x—l)(x—a),?eR,則下列說法正確的是()

A.若/(3)=6,則/'⑴=—1

B.若/⑵>0,則a<2

C.若"％)在上單調(diào)遞增，則。的范圍為a>0

D,函數(shù)/(%)有兩個極值點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】由/(x)=x(x-l)(x-6z)=x3一(。+1卜2+雙，貝u=312-2(a+l)x+a,

A選項：由f(3)—(“+1).32+3〃=18—6a=6,解得〃=2,

/(X)=3X2-6X+2,/'(1)=3—6+2=—1,A選項正確；

B選項：/(2)=2(2—1)(2—a)=2(2—a)>0,解得〃<2,B選項正確；

C選項，D選項：/'(X)=3￡_2(Q+1)X+Q,

由△=[—2(a+l)『—4x3a=4(/—a+i)=4(叱g)+3>Q,

所以令/'(x)=312-2(Q+1)X+Q>0,

解得X<a+17a2-a+1或彳〉a+l+Ja2-a+1,

33

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為+-"+1和

a+l+，q2—a+1xa+1—Ja2—a+1a+l+Ja，—a+1

-----'-------,+x,單調(diào)遞減區(qū)間為-------彳--------,-------\--------,

\-------------------7\--------------------------------7

則函數(shù)函數(shù)/(%)有兩個極值點(diǎn)，D選項正確；

又函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增，則夫二+?,-"],解得a?l,

或"+1+'"i+1WO,無解，綜上aNl，C選項錯誤.

3

故選：ABD.

2

11.已知雙曲線E:/—三-=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳,心，點(diǎn)P在E的右支上，則下列說

法正確的是（）

A.若「耳后的周長為24,則PKB的面積為48

B|P^|2-|P^|2>12

C.OWtan/P4耳<2夜

D.若/耳尸工為銳角，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)范圍是（一”,—8）58,+。）

【答案】BC

2

【解析】E:X?=1可得“=l,b=2&,c=3,

8

由于點(diǎn)P在E的右支上，故|尸耳卜|/線|=2。=2,

對于A,若「片工的周長為24,則

歸國+|桃|+2c=2+2歸弱|+2c=24n|P弱|=8,

進(jìn)而|尸耳|=10,|耳閭=2c=6,故忸片「=|片名「+忸閶2,

故—P與心的面積為g閨閭|尸囚=；義6義8=24,A錯誤，

對于B,由于|PE|2c—。=2,當(dāng)尸在右頂點(diǎn)時等號取到，

故戶娟2—戶與「=20（|尸川+盧工|）=2。（2。+2怛可）=4+4|尸用之12,故B正確,

對于C,由于雙曲線一三象限的漸近線方程為y=2岳，

故<左漸近線=2夜,

又當(dāng)P右頂點(diǎn)時，tan/P耳鳥=0,故OWtan/P耳與<2及，C正確，

對于D,設(shè)尸(x,y)(x>0),用(3,0),耳(-3,0),

則防=(—3—X,—y),尸耳=(3-羽—y),

2

則=(-3-^)(3-x)+y2=X2+/-9=/-9+1+^->0,

解得y1>—=y>-或y<—,故D錯誤.

933

故選：BC.

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

，1_

12.已知函數(shù)/(x)=?爐,工4°,則八3)=_____.

/(x-2),x>0

【答案】-1

1

【解析】由分段函數(shù)可知/(3)=/(1)=/(-1)=(一1尸=一1，

故答案為：-1.

13.E^Dsinocos^=g,tana=3tan/?,則sin(a+/7)=.

4

【答案】-

【解析】因為tana=3tan分，所以sinacos/?=3sin尸cosa=；,

所以sin￡cosa=g,

114

則sin(cr+/3^=sincrcos^+sinpcosa+—=—.

4

故答案為：—.

14.甲、乙兩人先后在裝有m顆黑球的1號盒子與裝有〃顆白球的2號盒子(加<〃,加￡N*,

neN*)輪流取球，規(guī)定每次取球可以從某一盒子中取出任意多顆(至少取1顆)，或者在

兩個盒子中取出相同顆數(shù)的球(至少各取1顆)，最后不能按規(guī)則取的人輸.例如:當(dāng)

根=1,〃=2時，甲先手不論如何取球，乙后手取球均有必定獲勝的策略.若加+〃=8,且

后手取球者有必定獲勝的策略，則滿足條件的一組數(shù)組(〃")可以為.

【答案】(3,5)

【解析】由機(jī)+〃=8,m<n,貝乂加㈤可能有以下三種情況:

①(1,7),甲可先手在2號盒子中取5顆球，此時盒中情況為(1,2),

則乙必不可能全部取完，乙后手取球后可能為(1,1)、(0,1)、(0,2)或(1,0),

這時無論何種情況甲都可全部取完，故甲有必定獲勝的策略，不符；

②(2,6),甲可先手在2號盒子中取4顆球，此時盒中情況為(2,1),

同①，甲有必定獲勝的策略，不符；

③(3,5),甲先手后，若兩盒中球數(shù)一樣或有一盒取空，則乙可全部取完，乙必勝，

若兩盒中球數(shù)不一樣，則一定是以下兩種情況之一：

(i)有一盒中只有一個球，另一盒中多于兩個球；

(ii)有一盒中有兩個球，另一盒中多于兩個球；

無論為哪種情況，乙都可將其取為(1,2)或(2,1),由①知，此時乙必勝，

故滿足條件的一組數(shù)組(機(jī)冷只有(3,5).

故答案為：(3,5).

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知sin2A+sin2B=sin2c+

A/3sinAsinB.

(1)求C；

(2)若c=l,VABC的面積為也，求VABC的周長.

4

解：(1)因為sin2A+sinZBusinZC+G'sinAsinB，

由正弦定理得1=°。+也ab，

由余弦定理得cosC==y/3ab=昱,

2ab2ab2

又。?0,兀)，

則c=g

6

(2)由已知S=即=

ABC2224

又￡+吩=金+6"，即(a+Z?)2=。2+島b+2a匕=1+3+2如=4+2后，

所以4+Z?=1+6，

所以VA5C的周長為a+b+c=l+百+1=百+2.

1-1

16.如圖，在四棱錐尸一ABCD中，AB±AD,CO1AD,AO=-AD,PM=-PD.

33

(1)證明:CM//平面

(2)若直線P0,平面ABCD,Q4=AB=1,OC=OD=2,OP=JI,求平面P3c與

平面尸CD的夾角的大小.

解：(1)因為刊/=工尸。，所以PM=，PD,連接OM.

33

因為AO=」AO,所以AO=」A。，

33

在△K4O中，型=22,所以O(shè)Ma平面八45,B4u平面R45，

OAMP

故OM//平面上45,

又在四邊形ABCD中，AB±AD,COLAD,

所以AB〃CO,OC<Z平面A4B,ABu平面

故CO〃平面MB，

因為CO。屈=0,。。,。屈匚平面加0。，

所以平面MOC〃平面,

又CMu平面MOC,所以〃平面AW.

(2)在B4O中，A(9=l,OP=y/2,

因為POJ_平面ABCD,OCu平面ABCD,所以POLOC,

ODu平面ABCD,所以POJ_OD,即PO,OD,OC兩兩垂直.

以。C,8,03分別為無，》z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

則A(O,-1,O),P(0,0,0),C(2,0,0),0(0,2,0),

BC=(1,1,0),PC=(2,0,—VI),DC=(2,-2,0),

nx?BC=玉+必=0,

設(shè)平面P3C的法向量4=（%,%,zj,貝?卜

nx.PC=2%一V2zj=0

可取4=（1,—1,J5）為平面P5C的一個法向量,

n?DC=2X-2y2=0

設(shè)平面PCD的法向量々=（尤2，%，Z2），則”22

n2?PC=2X2-V2Z2=0

可取%=（1,1,J5）為平面PCD的一個法向量,

/\修,巧3，（々，%）€[0,兀],所以〈公〃2）=殳，

所以cos(〃],叼)=?-n~~r

兀

所以平面P5C與平面尸CD的夾角的大小為

17.已知橢圓E:士■+，=l（a〉b>0）的短軸長為2,離心率為

（1）求E的方程；

（2）過點(diǎn)僅，g）作直線/與橢圓E相交于兩點(diǎn)，若|人同=半，求直線/的方程.

b=lr

--------廣a=V2

解：（1）依題意：\?廬6,解得土,

41--7=—b=l

[\a22

所以E的方程為三+y2=l.

2

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時，IAB1=2,與題意不符，舍去；

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程丁=丘+石，設(shè)4（%,yi）,B（X2，y2），

1

2=1

聯(lián)立《—2+V,

y=kx+43

消y得：尤2+2（田+豆）2=2,

整理得：（2左2+1）兀2+4百Ax+4=0,

222

A=（4V3Z:）-16（2A:+1）=16（Z:-1）>0,則左w（-oo,—1）,（l,+<x>）,

—4?4

P2=E'

則I=Jl+[2J（X]+々）2—4工1%2

/--rf-4^Y16_4”4-1_80

"+^2FT1J_2VTI=2^+1=~，

即7，/一1=2行'Q左2+1）,

則17左4—32/—57=0，即（17左2+19）（左2—3）=0,

解得k=石或斤=—百，

則直線/的方程為y=6x+8或丁=一后+0.

18.如圖，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別站在一個正方形的四個頂點(diǎn)進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每次由

一人隨機(jī)將球傳給另外三人中的一人，任意一人持球時，傳給位于相鄰頂點(diǎn)同學(xué)的概率為P,

傳給位于對角線頂點(diǎn)同學(xué)的概率為4,傳球3次為一輪.

T丙

(1)已知第一次由隨機(jī)一名同學(xué)將球傳出，若〃=q,設(shè)事件A為“一輪中每人各持一次

球”.

(i)求"及事件A的概率；

(ii)設(shè)三輪傳球中，事件A發(fā)生的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)已知第一次由甲將球傳出，在一輪傳球中，乙、丙兩人，誰兩次持球的可能性更大?

解：(1)(i)由題意，球傳出后，可能給相鄰兩個的概率都為，，給對角線的概率為q,

則2p+q=l,

當(dāng)P=q，解得p=q=j-則P(A)=CC‘)=|.

(ii)由條件可得X的取值有0,L2,3,且X?

所以P(x=0)=q|[Q=|||,P(x=i)=c；m98

243

。"=2)=需得J嗡，P(X=3)=C*J@°=言

所以X的分布列為

X0123

34398288

p

729243243729

22

從而E(X)=3x—=—.

93

(2)P乙=2p3+pq，=pQp°+q°),扁=q，+2/=q(2/+/)，

又芻一%=(2p2+q2)(0—a),2p+q=l,

當(dāng)p=q=g,則與=/，乙、丙兩人兩次持球的可能性一樣大;

當(dāng)p>q,即:<P<g時，4〉/，乙兩次持球的可能性更大；

當(dāng)p<q,即0<p<；時，鼎，丙兩次持球的可能性更大.

19.己知函數(shù)y=/(x)的定義域為/,設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(%,/(%))處的切線

交x軸于點(diǎn)(％,0),當(dāng)〃21時，設(shè)曲線在點(diǎn)(%?,/(%?))處的切線交x軸于點(diǎn)(x?+1,0),依次

類推,稱得到的數(shù)列｛%?｝為函數(shù)y=f(x)關(guān)于x0的“N數(shù)列”，已知/(%)=2x—ln(x+l).

(1)若｛七｝是函數(shù)y=/(x)關(guān)于毛=1的“N數(shù)列”，求演的值；

⑵若g⑴=/'⑺,｛叫是函數(shù)y=g(力關(guān)于g=-1的“N數(shù)列”，記bn=log2|2a?+1|.

(i)證明:｛a｝是等比數(shù)列；

(ii)證明:￡sin:<In(log2(-Z?n+1)),n>2,neN.

i=21

解：(1)由題意知,

113

，'(x)=2——-,/(l)=2-ln2,所以八1)=2——=不

x+11+12

3

曲線/(x)=2x-ln(x+1)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線處的斜率為2,