云南省昆明市第九中學(xué)2025屆高三高考數(shù)學(xué)模擬測試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={%]-2?%<3},3={x￡2|%>0}則/門8=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.(0,3]D.[-2,+00)

2.已知z=2—i,貝！Jz(N+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.若向量￡與否的夾角為60。，W=4,@+2B}口—34=—72,則可等于()

A.2B.4C.6

4.設(shè)/(X)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(1+X)=/(T).若/

4

5.已知tanB=2tan/且cos4sin5=《,貝!jcos(A-B-

4422

A.B.C.D.

555

6.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組

成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該

重卦恰有3個陽爻的概率是

7.已知三棱柱44。的側(cè)棱與底面邊長都相等，若4在底面45。上的射影為5。的

中點，則異面直線45與CG所成的角的余弦值為()

A.—B.-C.—D.-

4444

8.設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,當(dāng)時，曲線＞=/(x)與〉=g(x)

恰有一個交點，則。=()

試卷第1頁，共4頁

A.-1B.C.1D.2

2

二、多選題

9.某社區(qū)醫(yī)院工作人員在社區(qū)內(nèi)開展了“如何護理患有黃疸的新生兒”的知識講座，并向參

與講座的每人發(fā)放了一份相關(guān)的知識問卷.該講座結(jié)束后，共收回問卷100份.據(jù)統(tǒng)計，這

100份問卷的得分滿分為100分)近似服從正態(tài)分布N(80,25),下列說法正確的是()

附：若丫~」(〃,/),貝!］尸(〃一b疊X4〃+b)=0.683,尸(〃一2b<X4〃+2b)=0.954,

尸(〃一3cr<XV〃+3b)=0.997.

A.這100份問卷得分數(shù)據(jù)的期望是80,標(biāo)準(zhǔn)差是25

B.這100份問卷中得分超過85分的約有16份

C.P(70<X<75)=尸(85<X<90)

D.若在其他社區(qū)開展該知識講座并發(fā)放知識問卷，得到的問卷得分數(shù)據(jù)也服從正態(tài)分

布N(80,25)

10.已知函數(shù)［(x)=sinx-gcosx,則()

A./(x)的最大值為2

B.函數(shù)了=/(無)的圖象關(guān)于點(；,0)對稱

C.直線x=g是函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸

D.函數(shù)了=/1)在區(qū)間(-￡,0)上單調(diào)遞增

6

22

11.已知橢圓C:\+4=l(a>，>0)的左、右焦點分別為瓦外,48為橢圓C上關(guān)于原點對

ab

稱的兩點，且|48|=|耳閶,則()

A.AFX1AF2

B.四邊形/片8%的周長為4a

C.四邊形/片8乙的面積為/

D.橢圓。的離心率的取值范圍為［曰,1)

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知a為實數(shù)，(x+a)i。展開式中尤7的系數(shù)是T5,則。=.

13.若點尸(1,1)為圓C：(x-3)2+/=9的弦的中點，則弦兒W所在直線的方程為.

AT

14.已知V4BC中，點。在邊5C上，/ADB=120。,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得最小值

AB

時，BD=.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛%｝中，%=3,%=15,且數(shù)列1巴4為等差數(shù)列.

⑴求｛?！埃耐椆?

3

⑵記邑為數(shù)列的刖"項和，證明：

16.如圖，四邊形48CD是圓柱的軸截面，點尸在底面圓。上，OB=BF=1,點G是

線段3尸的中點

(1)證明：EG//平面。/尸；

(2)若直線。廠與圓柱底面所成角為45°,求點G到平面廠的距離.

17.已知函數(shù)f(x)=x-alnx,aeR.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x21時，求。的取值范圍.

18.某商場進行抽獎活動，設(shè)置摸獎箱內(nèi)有紅球1個，白球2個，黑球3個，小球除顏色外

沒有任何區(qū)別.規(guī)定：摸到紅球記1分，摸到白球記0分，摸到黑球記-1分.抽獎人摸3個球為

一次抽獎，總分記為X,若X20,則獲獎.

方案一：從中一次摸1個球，記錄分數(shù)后不放回.

試卷第3頁，共4頁

方案二：從中一次摸1個球，記錄分數(shù)后放回.

(1)若甲顧客按照方案一摸球記分，求甲顧客獲獎的概率；

(2)若乙顧客按照方案一摸球記分，求第二次摸到紅球條件下，乙顧客獲獎的概率；

(3)若丙顧客按照方案二摸球記分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.已知圓(X+1)2+/=16的圓心為A,點尸是圓A上的動點，點3是拋物線V=4x的焦

點，點G在線段北上，且滿足|GP|=|G8|.

(1)求點G的軌跡E的方程；

(2)不過原點的直線/與(1)中軌跡E交于兩點，若線段的中點。在拋物線j?=4x

上，求直線/的斜率上的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《云南省昆明市第九中學(xué)2025屆高三高考數(shù)學(xué)模擬測試卷》參考答案

題號12345678910

答案BCCCDADDBCABD

題號11

答案ABD

1.B

【分析】直接利用集合的交集運算求解.

【詳解】?.?集合/={x|-24x43},B={xeZ|x>0},AA5={1,2,3}.

故選：B.

2.C

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共軌復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

【詳解】因為z=2—i,故2=2+Z.，故z（z+z）=（2—i乂2+2/）=4+4i-2/-2/'6+2/

故選：C.

3.C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算化簡已知條件，從而求得口.

【詳解】因為（4+23卜（4一33）=/-4*一67

二卜『-|（2|-|S|-COS60°-6|S|2二'『一2慟-96二一72,

@_2,-24=0,解得問=6（負根舍去）.

故選：C

4.C

【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得了［g］的值.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的

條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

答案第1頁，共13頁

5.D

【詳解】由tarB=2taiL4,可得：cos^sinS=2sinAcosB,又cosZsin5=—,sinAcosB=—,

3乃）2

則cosA-B-=一sin(4-5)=-sinAcosB+cos^siitS

Tj5

故選D

6.A

【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、

數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有

3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算.

【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有2,情況，其中6爻中恰有3個陽爻

情況有屐，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為故選A.

【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排

列問題還是組合問題.本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿

足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題.

7.D

【分析】由題意找到異面直線與CG所成的角N//3；設(shè)三棱柱/8C-4耳。的側(cè)棱與

底面邊長為1,利用勾股定理求出各邊長，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)8C的中點為D,由題意可知4。，平面N3C,

連接4。、AD,4B,在三棱柱/3C-4耳。中CC//441，

所以。=ZA.AB即為異面直線AB與C。所成的角；

答案第2頁，共13頁

設(shè)三棱柱/BC-48G的側(cè)棱與底面邊長為1,則|/必=等，

分別在MA//。和MV/QB中，由勾股定理，可知=;,

|4邳=/忸呼+|4邛=孝,

1+1」

在中，由余弦定理，得“°〃一2-3；

24

3

所以異面直線AB與cq所成的角的余弦值為:.

故選：D.

8.D

【分析】解法一：令尸(無)="2+a_i,Ga)=cosx,分析可知曲線片廠(x)與y=G(x)恰有

一個交點，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗即可;

解法二:令%⑴=/(x)-g(x),xe(-1,1)，可知力⑴為偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知力⑴

的零點只能為0,即可得。=2,并代入檢驗即可.

【詳解】解法一：令/(x)=g(x),即a(x+l)2-l=cosx+2ox,可得ax?+ci—1—cosX，

令尸(無)=ax2+a-l,G(x)=cosx,

原題意等價于當(dāng)xe(-1,1)時，曲線V=尸(口與y=G(x)恰有一個交點，

注意到b(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點只能在＞軸上，

可得尸(0)=G(0),BPa-1=1,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2X2+1-COSX=0

因為xe(T,l),則2尤220j_cosx20,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

可得2尤2+l-cosx20，當(dāng)且僅當(dāng)無=0時，等號成立，

則方程2f+1-cosx=0有且僅有一個實根0，即曲線片F(xiàn)(x)與廣G(x)恰有一個交點，

所以。=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-l-cosx,xe(-l,l),

原題意等價于h(x)有且僅有一個零點,

答案第3頁，共13頁

因為〃(-x)=-X)2+tz-l-cos(-x)=ax2+a-l-cosx=,

則〃(x)為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知Mx)的零點只能為0,

即〃(0)=.-2=0,解得a=2,

若a=2,則力(x)=2x2+l-cosx,xe(-l,l),

又因為2/20,1-cos尤20當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

可得Mx”0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

即有且僅有一個零點0,所以。=2符合題意；

故選：D.

9.BC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布N(80,25),得到〃=80,CT=5,可判定A錯誤；求得

P(X>85)=0.1585,可判定B正確；由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可判定C正確;

根據(jù)同一份問卷發(fā)放到不同社區(qū)，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，可判定D錯誤.

【詳解】由題意得，該問卷得分數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N(80,25),可得數(shù)據(jù)的期望是〃=80,

方差是/=25，標(biāo)準(zhǔn)差是b=5,所以A錯誤；

由尸(X>85)=1一；683=01585,可得100x0.1585?16,

所以該問卷中得分超過85分的約有16份，所以B正確；

由正態(tài)分布概率密度曲線的對稱性，可得P(70<X<75)=尸(85<X<90),所以C正確；

由同一份問卷發(fā)放到不同社區(qū)，得到的數(shù)據(jù)不一定相同，所以D錯誤.

故選：BC.

10.ABD

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)/(x),再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項判斷.

【詳解】函數(shù)=2(gsinx-/cosx)=2sin(x—

對于A,/(x)的最大值為2,A正確；

答案第4頁，共13頁

對于BC,/（y）=o,函數(shù)了=〃X）的圖象關(guān)于點q,0）對稱，直線X=。不是其對稱軸，B

正確，C錯誤；

對于D,當(dāng)xe（_￡,O）時，下卜（-￡-三），而函數(shù)N=sinx在（-上單調(diào)遞增，

因此函數(shù)y=〃x）在區(qū)間（-2,0）上單調(diào)遞增，D正確.

6

故選：ABD

II.ABD

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的對稱性確定四邊形瓦的形狀，再逐項判斷即可.

【詳解】依題意，/民￡鳥互相平分，且|/創(chuàng)=閨閭，則四邊形疝弦不是矩形，令其半焦

距為c,

對于A,AFt±AF2,A正確；

對于B,四邊形/耳5"的周長為|/6|+|/1|+|2￡|+|8月|=40,B正確;

對于C,四邊形/片8￡的面積為

2s/收=|/耳，埒J“用十［可）［%印用）=2/_202=2〃，C錯誤；

對于D,由以原點為圓心，c為半徑的圓與橢圓有公共點，得cN6,即°22從=/一02,

解得《2工，即離心率D正確.

a22

故選：ABD

12.—/—0.5

2

【分析】利用二項式定理寫出（X+Q嚴展開式的通項，然后根據(jù)已知條件求解即可.

K）

【詳解】由二項式定理可知，（x+Q）展開式的通項為C；（/j屋=優(yōu)C；（）xlj,

令10—尸=7,貝!］廠=3,

答案第5頁，共13頁

故。（：0=-15,解得。=-］.

故答案為：.

2

13.2x—y—1=0

【分析】根據(jù)尸MV,求直線方程.

【詳解】由題意可知，C（3,0）,且PCLMV,七c=R=-1，所以心=2,

1-32

所以弦AW所在直線的方程為了-1=2（尤-1）,整理為2尤-了-1=0.

故答案為：2x-y-l=0

14.V3-1/-1+V3

2

【分析】設(shè)。=22O=2">°'利用余弦定理表示出AT條后’結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】［方法一］:余弦定理

設(shè)CD=2BD=2m>0,

則在△A8D中，AB-=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=m2+4+2m，

在ANCO中，AC2CD2+AD2-2CD-ADcosAADC=4m2+4-4m,

AC2_4m2+4-4m_4(w2+4+2m)-12(1+m)

乂——

所以商7―加二+4+2加2

m+4+2m(加+1)+小

12

>4--------=4-2樞

3,

2w+1).

m+1

當(dāng)且僅當(dāng)加+1=::即加=百-1時，等號成立,

m+1

AC

所以當(dāng)取最小值時，m=V3-1.

AB

故答案為：V3-1.

答案第6頁，共13頁

y

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點，0C為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則C(2t,0),A(1,百)，B(-t,0)

AC2⑵-I)?+3爐-4+4,12、

---=---L-----=--------------=4------------------>-

AB2(，+心3人2+4(f+l)+&

當(dāng)且僅當(dāng)1+1=6,即2。=6-1時等號成立。

［方法三］:余弦定理

設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得

C?=x?+4+2x

2c2+/=12+6/,

/=4+4——4x

c2=尤?+4+2x

2c2+b2=12+6x2,

b2=4+4x2-4x

AT

令才,則2-2+6-，

12+6x212+6x2

>6-273,

尤~+2x+4

Z2>4-2A/3,

3

當(dāng)且僅當(dāng)x+l=―即l二百+1時等號成立.

X+1

［方法四］:判別式法

設(shè)8D=x,則CD=2x

在AABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=x2+4+2x,

在A/CD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x,

r-r-is?4C_4x?+4—4x、口4x~+4—4x

所以一=---------,記/-------，

A.Brx+4+2xx+4+2x

貝!］(4_”_(4+2少+(4_40=0

答案第7頁，共13頁

由方程有解得：A=(4+2Z)2-4(4-Z)(4-4z)>0

即產(chǎn)一沏+440,解得：4-26MtM4+2也

所以*n=4-2百，止匕時苫=三|=6-1

所以當(dāng)二三取最小值時，x=百-1,即8。=6-1.

15.(l)a?=n2+2n

(2)證明見解析

【分析】(1)求出數(shù)列的公差，可求出數(shù)列］的通項公式，進而可求得數(shù)列｛6｝的

通項公式；

(2)利用裂項求和法求出5“，即可證得結(jié)論成立.

【詳解】⑴因為數(shù)列｛%｝中，%=3,%=15,且數(shù)列。，為等差數(shù)列，

設(shè)數(shù)列41的公差為心則2d=1/=5-3=2,故"=1,

所1以一~=%+(〃—l)d=3+〃—1=〃+2,故^U=+2〃.

nn

,111(\1)

(2)因為一=/=-\—\,

an磯〃+2)2\nn+2J

1(111、32〃+33,—-、

=71+7—77—T^\=wr9故原不等式成立.

212n+1n+2j42(〃+l),+2)4

16.(1)證明見解析

⑵姮

10

【分析】(1)取4尸中點為M,通過證明ZW//EG,得證EG〃平面IMF；

(2)以尸為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點到平面的距離.

【詳解】(1)證明：取4尸中點"，連接。如圖所示，

答案第8頁，共13頁

得GM//DE,

所以四邊形DEGM為平行四邊形，DMHEG,

又DMu平面D/尸，EG(Z平面。4尸，所以EG〃平面D4尸.

(2)OB=BF=\,易知產(chǎn)=60°,又ZAFB=90°,得AF=E

由D41平面45尸，且直線。尸與圓柱底面所成角為45。，即乙1FD=45°,則有4D=VL

如圖，以尸為原點，取,￡8分別為陽y軸，過尸垂直于底面的直線網(wǎng)為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系尸-xyz,

則有飛0,0,o),4(o,6,0”(1,0,0}Gp,加<T、c(,o,y)，E

[)I'7

(iG

麗=(0,亞百),FE=

22

FDn=百)+V§z=0

設(shè)平面。防的一個法向量為歷=(x,y,z),貝卜FE-n=—x+^~y+A/3z=0

22

令y=i,有無=百/=-1,得元=(6

EG=‘。,-？,臼

設(shè)點G到平面DEF的距離為d,

答案第9頁，共13頁

17.⑴當(dāng)aWO時，f(x)在(O,+e)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，/(x)在(0,。)單調(diào)遞減，在儂+⑹

單調(diào)遞增.

(2)aVl

【分析】(1)求導(dǎo)分。與0的大小關(guān)系討論分析即可；

(2)化簡可得x-'-2alnx20,再構(gòu)造g(x)=x-L-2alnx,求導(dǎo)可得g[x)=jX——學(xué)士￡,

JCX

再分。V1與。>1兩種情況討論單調(diào)性，結(jié)合g(l)=0判斷是否滿足恒成立即可.

【詳解】(1)/(X)的定義域為(0,+動，/,(X)=l-1,

當(dāng)aV0時，r(x)>0,/(無)單調(diào)遞增.

當(dāng)"0時，令/[x)=0可得x=a,

所以當(dāng)xe(O,a)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(a,+s)時，r(x)>0,/(X)單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)aWO時，在(0,+功單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，/(X)在(0,a)單調(diào)遞減，在(。,+℃)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)xNl,@|]x-alnx>—+alnx,x-工一2alm:20時，i$g(x)=x---2alnx,

XXX

則g⑴=0,g，(x)=x2j?+l,g，⑴=2-2”.

當(dāng)aVl時，x2-2ax+\>l-2a+l>0,所以g'(x)20,g(x)在[l,+oo)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=O,故/(x)2滿足題意；

當(dāng)a>l時，g'(l)=2-2a<0,g'(2a)=康>0,則存在4e(1,2a),使得g"°)=0,當(dāng)

xe(l,x°)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，又g⑴=0,所以g(x"0不恒成立，不符合題意.

綜上，

答案第10頁，共13頁

7

18.（D-

⑵工

10

（3）分布列答案見解析，E（X）=-1

【分析】（1）分析可知，甲顧客摸到1個紅球2個白球、或者是1個紅球1個白球1個黑球，

利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得P（X>0）的值；

（2）記事件N:乙顧客按照方案一摸球獲獎，記事件乙顧客第二次摸到紅球，求出

P（MN）、P（M）的值，利用條件概率公式可求得尸（N|M）的值；

（3）分析可知隨機變量X的可能取值有-3、-2、-1、0、1、2、3,計算出隨機變量X

在不同取值下的概率，可得出隨機變量X的分布列，進而可求得E（X）的值.

【詳解】（1）若X20,則甲顧客摸到1個紅球2個白球、或者是1個紅球1個白球1個黑球，

C；C：+C；CC_7

所以，P（X20）=

20

7

（2）記事件N:乙顧客按照方案一摸球獲獎，由（1）可知尸（N）=方,

A2A27

記事件乙顧客第二次摸到紅球，則尸

A；20]_

P（M）=

A1-1206

/,、P(MN、77

所以，尸—=—.6=—

[17P(M)6010,

（3）摸到1次紅球的概率為摸到1次白球的概率為:，摸到1次黑球的概率為2,

632

則X的可能取值有-3、-2、-1、0、1、2、3,

3=：，尸(X=-2)=C；g

尸(X=-3)=

OJIz

尸(X=T)=C；..7

I+底?萬，尸(x=o)=

71

尸(x=l)=c；m+c；UP(X=2)=C>

7236

答案第11頁，共13頁

1:1

尸(X=3)=

6216

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

X-3-2-10123

]_J_711711

p

8424547236216

故E(X)=-3x——2x——1lx