云南省曲靖市陸良縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末統(tǒng)測(cè)

數(shù)學(xué)試題

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)、是符合題目要求的.

1.已知集合4={—2,—3={%|爐—尤—2=0},則AfB=()

A.{-1,0,2}B.{-2,0,1}C.{-1,2}D.{-2,1}

【答案】C

【解析】由3={x[(x+l)(%_2)=0}={—1,2},則AB={-1,2}.

故選：C.

2.函數(shù)/(x)=一i+」的定義域是()

A.(-00,-2)0(-2,-l]o[l,^o)B,[-2,-l)U(l,+oo)

C.(^O,-2)O(-2,-1)U(1,-H?)D.[-2,-1)O[1,+OO)

【答案】A

x2-l>0

【解析】由題意可得<,解得無(wú)<—2或—2<xW—1或xNl.

x+2

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?―8,—2)u(—2,—

故選：A.

3.已知/(%)為偶函數(shù)，則下列函數(shù)一定是偶函數(shù)的是()

A.y=/(x)sinxB.y=/(x)tanx

C.y=/(x)-cosxD.y=/(x)+x

【答案】C

【解析】因?yàn)椤翱蔀榕己瘮?shù)，所以/(—x)=/(x)，設(shè)函數(shù)/(力的定義域?yàn)镈,

所以函數(shù)y=/(x)sinx,y=/(%)—cosx,y=/(x)+x的定義域?yàn)椤?,定義域關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，

設(shè)g(%)=/(X)sinx,貝(Ig(r)=/(-%)sin(-x)=-f(x)sinx=-g(x),

所以函數(shù)y=/(x)sinx為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤;

設(shè)/z(x)=/(%)-cosx,貝|J%(一%)=/(-%)-cos(-%)=/(同一cosx=/z(x),

所以函數(shù)y=cosx為偶函數(shù)，C正確；

設(shè)0(X)=/(%)+%,則0(-%)=/(-%)-工，

故姒1)=/(1)+1,0(—1)=/(—1)—1=/⑴—1,

故0(1)。0(—1),y=/(x)+x不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤；

設(shè)〃(％)=/(x)tanx,函數(shù)〃(％)的定義域?yàn)镈e〈尤尤HE+1■，左eZ>,定義域關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，

//(-%)=/(-%)tan(-%)=-/(%)tan%=-//(%),y=/(x)tanx是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤.

故選：C.

4.已知x是三角形的一個(gè)內(nèi)角，則不等式cosx〉-工的解集為()

2

【答案】C

12幾

【解析】由題意得xe(0,兀)，因cosx>--,所以0<%<可，

1(2兀、

即不等式cosx>—5的解集為.

故選：C.

5.是“關(guān)于x的不等式Y(jié)-(。+/?卜+。/?<0有解”的()

A,充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】若關(guān)于x的不等式f—g+b)x+"<0有解，

則/=(a+b『一4。人=(?-匕)2>0,得a片b.

由“4>萬(wàn)”可以推出“axb”,

由不能推出"a>6”,

所以“a>6”是“關(guān)于x的不等式*—（。+與1+乃<0有解”的充分不必要條件.

故選：C.

6.已知。則。，"c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】因?yàn)閘ogo.204<logo,20-3<logo.20-2=l,c=Ll（12>l,所以c>a>>.

故選：D.

7.如圖，這是一塊扇形菜地，C是弧AB的中點(diǎn)，。是該扇形菜地的弧AB所在圓的圓心,

。為AB和OC的交點(diǎn)，若A3=2括CD=6米，則該扇形菜地的面積是（）

A.4兀平方米B.4百兀平方米C.66兀平方米D.3兀平方米

【答案】A

【解析】如圖，連接8C.因?yàn)镃是弧A3的中點(diǎn)，所以A6LCD,=3米.

2

因?yàn)锳B=2gCD，所以NCBD=3,所以NAOC=/BOC=V，

63

2兀

所以△OBC是等邊三角形，則ZAOB=——.

3

因?yàn)锳3=2j§CD=6米，所以C￡>=退米，OB=BC=1Blf+Clf=2后米，

則該扇形菜地的面積是一X/x（2石）2=4兀平方米.

23

O

故選：A.

8.已知尤e（0,5）,則工+的最小值為（）

%5-x

A.25B.6C.10D.5

【答案】D

【解析】由題意得5—%>0,

1161(5-x16%.,

則一+----+(x+5-x)-----------+--------+17

x5-xIB51x5-x

if5-x16%

2—2J----------------+17=5,

51丫九5-x

當(dāng)且僅當(dāng)—=生，即x=l時(shí)，等號(hào)成立.

x5-x

故工+上的最小值為5.

x5-x

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知角e的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜1,逐），貝u（）

A.sin^=B.COS0=-

66

C.tan6=—J?D.。為第四象限角

【答案】AC

【解析】由題意得sine=^^=Y30,cose=TL=—，5,tane=—J?,AC正確，

V1+56V1+56

B錯(cuò)誤.

易得。為第二象限角，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/（x）=4sin—?jiǎng)t（）

I8）

27r

A.〃力的最小正周期為不

it2E5兀2左兀

B.”力的單調(diào)遞增區(qū)間為一—+---,一+----(左eZ)

83243

5兀kn13兀左兀

C.的單調(diào)遞減區(qū)間為------1------,--------1------(ZreZ)

243243

jr3兀

D./(%)在7-9~Q_上的值域?yàn)閇。,4]

OO

【答案】ABD

【解析】函數(shù)〃x)=4sin|3x-鼻的最小正周期為g,A正確.

3

由一卡位Y*2E(S,得曰爭(zhēng)等g),

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為-9+半，黑+半

(左eZ),B正確.

o3243

.71_,,兀,3兀_1.5兀2AJC13兀2kit/7\

由—F2kjiW3x—?----F2hi(kGZ),得---F------<x<---------F------(左eZ),

282v7243243v7

5兀2Ml13兀2kn

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為一+---,----+----(左eZ),c錯(cuò)誤.

243243

由xe*m,得力『71行71’故3聯(lián)兀，

848

所以/(%)max=4sin]=4,/(x)^=4sin7i=O,

jr3兀

則/(%)在丁丁上的值域?yàn)椋邸?4］,D正確.

OO

故選：ABD.

ax+3,x<2

H.已知函數(shù)y(x)=<26+2…”則下列結(jié)論正確的是()

A.若/(/(。))=0,則

B.若/(%)在R上單調(diào)遞增，則a的值可以為工

8

C.存在。，使得“X)在(―,3］上單調(diào)遞減

D.若的值域?yàn)镽,則。的取值范圍為；,+8

【答案】ABD

【解析】由題意得“0）=3,得/（〃0））=/（3）=9—6a+2a=0,得。=（,A正確.

a〉0

—2〃i

若〃龍）在R上單調(diào)遞增，貝I—斯交，解得0<a<“B正確.

2a+3V4—4〃+2〃

a<0

_2a

若〃尤）在（f,3］上單調(diào)遞減，貝叫,不等式組無(wú)解，C錯(cuò)誤.

，X1

2。+324-4。+2〃

若“力值域?yàn)镽,則a>0,得"力在（口,2）上單調(diào)遞增.

當(dāng)0<a<2時(shí)，/(%)在［2,+?)上單調(diào)遞增，則2a+324—4a+2a,得

即3aW2.

4

當(dāng)a>2時(shí)，”力在（2,a）上單調(diào)遞減，在（a,+8）上單調(diào)遞增,

則2。+3之。2一2"+2。，得。2+3之0恒成立，即。>2.

綜上，。的取值范圍為D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在世界級(jí)的比賽當(dāng)中，參加滑雪大跳臺(tái)項(xiàng)目的女子選手所進(jìn)行的空中轉(zhuǎn)體動(dòng)作的旋轉(zhuǎn)度

數(shù)分為720度、900度、1080度、1260度、1440度5個(gè)維度，則1260度的弧度數(shù)為

【答案】7兀

7T

【解析】因?yàn)?260。=1260義——=7兀.

180

13.己知函數(shù)/(x)=logo,3X，%e[0.027,0.3],則函數(shù)g(x)=的值

f\x)

域?yàn)?

【答案】[-3,1]

【解析】易得/(x)=logo,3%是減函數(shù)，所以/(O.3)=1W〃X)W〃O.O27)=3.

令，=/(x),貝U/=[l,3],因?yàn)楹瘮?shù)網(wǎng)/)=止F=.：—1在[1,3]上單調(diào)遞增，

所以〃⑴=-3<h(t)<妝3)=1,即g(%)的值域?yàn)閇—3,1].

14.如圖，A地在自西向東的一條直線鐵路上，在距A地50km的8地有一金屬礦，8地到

該鐵路的距離5c=30km.現(xiàn)擬定在AC之間的。地修建一條公路到B地，即修建一條

A—?！?的運(yùn)輸路線.若公路運(yùn)費(fèi)是鐵路運(yùn)費(fèi)的2倍，則當(dāng)。地到C地的距離為

m時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低.

【答案】1073

【解析】設(shè)當(dāng)。地到C地的距離為xkm時(shí)，鐵路每公里運(yùn)費(fèi)為機(jī)，

公路每公里運(yùn)費(fèi)為2m.

由題意得AC=40km,BD=6+900km，

則總運(yùn)費(fèi)y=2md犬+900+加(40—%)=〃z(40+2A/爐+900-x),

要使總費(fèi)用最低，只需2，*+90。一%最小即可.

設(shè)1=26+900—X?>0),則)+%=24+900,

得3/—2江+3600—產(chǎn)=0，則/=4產(chǎn)—12(3600—〃)20,得此306.

當(dāng)"30G時(shí)，總費(fèi)用最低，則3爐—60gx+900=3(x—10若了=0,得％=10石,

所以當(dāng)。地到C地距離為lojlkm時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最低.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

y2_3

15.（1）求值：（一尸—q.j（。為正數(shù)）.

27

(2)若lgx=/nlnx(x>0且1wl),求10(F的值.

231231

解：(1)原式=27§—Jw+5=32—a°=9—1=8。

(2)由題意得lgx="21nx="〃S-

Ige

由x/1,得IgxwO,則「=1,即zn=lge.

Ige-

故100'"=100Ige=1021ge=10lge2=e2.

兀

2sin(a-兀)-cos(a+—)

16.已知---------------------'=2.

兀

sin(cr+—)-3sin6r

(1)求tan(3兀一。)的值；

(2)求si/a-sinacosa的值.

兀

2sin(a—兀)-cos(a+—).

e?、7_2sina+sina-sinortana

角牛：(])由=T-；==2,

sin(cr+|)-3sin?COSGr—3smecosa-3sin?Stance-1

得tana=一,所以tan(3兀一a)=—tana=——.

si?n2a-sm,acosatan^a—tana6

(2)sin2。一sinocosa=

si.n2a+cos2atan2cif+129

17.已知函數(shù)/(x)=4、—2'—3x.

（1）證明：/（%）在（1,2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

（2）討論函數(shù)g（x）=〃x）+3x-機(jī)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解：⑴由題意得/(1)=—1,"2)=6,

因?yàn)?（尤）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且/。）/（2）=—6<0,

所以/(%)在(1,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

(2)由題意得g(%)=4'—2'—7〃.

令g(x)=4*—2,—加=0,得加=#—2X.

令t=2*>0，函數(shù)一//>0,

則g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于力⑺的圖象與直線y=機(jī)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).

力?)的大致圖象如圖所示.

當(dāng)機(jī)<-；時(shí)，入⑺的圖象與直線y=m的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為o,即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為o.

當(dāng)機(jī)=-；或加之0時(shí)，/?(/)圖象與直線y=機(jī)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)

個(gè)數(shù)為1.

當(dāng)-；〈根<0時(shí)，力(。的圖象與直線v=加的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

2.

18.己知/(%)是偶函數(shù)，〃T)=2,且/(%)在(f,0］上單調(diào)遞增.

U)比較/(3)與2的大??；

(2)求不等式〃x)>y(2x—1)的解集;

⑶若函數(shù)g(x)=log/(a>0,且awl),且不等式/(x)>g(x)在(0,4)上恒成立，

求a的取值范圍.

解：⑴因?yàn)橥饪墒桥己瘮?shù)，所以/(4)=〃—4)=2.

又了(力在(—8,0］上單調(diào)遞增，所以〃尤)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

則〃3)>〃4),即“3)>2.

(2)由/(%)>/(2%-1),得兇<|2%-1|,

得3x2—4x+l>0，解得x<§或%>1,

即不等式〃x)>/(2x—1)的解集為卜o,：u(l,+oo).

(3)當(dāng)0<。<1時(shí)，g(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，g(x)在(0,1)值域?yàn)?0,大》),

所以不等式/(x)>g(x)不恒成立.

當(dāng)a>l時(shí),/(%)在(0,4)上單調(diào)遞減，g(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，

要使不等式〃x)>g(x)在(0,4)上恒成立，則〃4)2g⑷,得log〃4<2,

得4W/,即/2.

綜上，。的取值范圍為［2,+8).

19.己知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椤?若V%％e。且占w々，/⑸;>/［土產(chǎn)］

則稱/(X)是凹函數(shù)；若”,%e。且玉w々<f，則稱/(%)

是凸函數(shù).

(1)已知函數(shù)〃2x)=2x-log2X—L

①求/(%)的解析式；

②判斷/(九)是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)，凸函數(shù)的定義證明你的結(jié)論.

(2)討論函數(shù)g(x)=O