第七章隨機(jī)變量及其分布數(shù)學(xué)7.3.1

離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）的概念和性質(zhì)．②能在具體事例中，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值．③會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值解決一些相關(guān)的實(shí)際問題，并進(jìn)行決策選擇．問題1.甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示:如何比較他們射箭水平的高低呢?環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2課堂導(dǎo)入

概念形成1.隨機(jī)變量X的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為:Xx1x2...xi...xnPp1p2...pi...pn均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù).它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.課堂探究例題解析例1在籃球比賽中,罰球命中1次得1分,不中得0分,如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8,那么他罰球1次的得分X的均值是多少?解：因?yàn)镻(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,

所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2=0.8.即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分X的均值是0.8.課堂探究一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,

X10Pp1-p那么E(X)=1×p+0×(1-p)=p.課堂探究例2拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X,求X的均值.X123456P課堂探究方法總結(jié)求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟:(1)理解X的實(shí)際意義,寫出X的全部可能取值;(2)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率;(3)寫出X的分布列(有時(shí)也可省略);(4)利用定義公式

求出均值.課堂探究變式練習(xí)

1.隨機(jī)拋擲一個(gè)正四面體,正四面體每個(gè)面分別標(biāo)號(hào)1,2,3,4,

求:朝下一面標(biāo)號(hào)X的均值.

X1234P課堂探究問題2.如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,X加一個(gè)常數(shù)或乘一個(gè)常數(shù)后,其均值會(huì)怎樣變化?即E(X+b)和E(aX)（其中a,b為常數(shù)）分別與E(X)由怎樣的關(guān)系？隨機(jī)變量X,X+b,aX的分布列如下表:Xx1x2...xi...xnX+bx1+bx2+b...xi+b...xn+baXax1ax2...axi...axnPp1p2...pi...pn課堂探究所以E(X+b)=(x1+b)p1+(x2+b)p2+...+(xi+b)pi+...+(xn+b)pn=(x1p1+x2p2+...+xipi+...+xnpn)+bp1+bp2+...bpi+...+bpn=E(X)+b.同理,E(aX)=aE(X).課堂探究一般地,E(aX+b)=aE(X)+b.例3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目,猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立,猜對(duì)三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如下表所示:歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000規(guī)則如下:按照A,B,C的順序猜,只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首,求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.分析:根據(jù)規(guī)則,公益基金總額X的可能取值有四種情況:猜錯(cuò)A,獲得0元基金;猜對(duì)A而猜錯(cuò)B,獲得1000元基金;猜對(duì)A和B而猜錯(cuò)C,獲得3000元基金:A,B,C全部猜對(duì),獲得6000元基金.因此X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.利用獨(dú)立條件下的乘法公式可求分布列.課堂探究

X0100030006000P0.20.320.2880.192X的均值為E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.課堂探究思考1：如果改變猜歌的順序,獲得公益基金的均值是否相同?如果不同,你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大?

X0100030006000P0.20.480.1280.192X的均值為E(X)=0×0.2+1000×0.48+3000×0.128+6000×0.192=2016.課堂探究猜歌順序E(X)猜歌順序E(X)ABC2336BCA1656ACB2016CAB1616BAC2256CBA1456故按ABC的順序來猜歌，獲得公益基金的均值最大.課堂探究同理,可得猜歌順序按BAC、BCA、CAB、CBA的公益基金均值分別為2256,1656,1616,1456,則猜歌順序與該順序下獲得公益基金均值對(duì)應(yīng)表如下.例4根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01,該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備,遇到大洪水時(shí)要損失60000元,遇到小洪水時(shí)要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備,有以下3種方案:方案1:運(yùn)走設(shè)備,搬運(yùn)費(fèi)為3800元.方案2:建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為2000元,但圍墻只能擋小洪水.方案3:不采取措施.工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?分析:決策目標(biāo)為總損失(投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和)越小越好,根據(jù)題意,各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表所示.天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量，可以采用期望總損失最小的方案.課堂探究解：設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1:無(wú)論有無(wú)洪水,都損失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2:遇到大洪水時(shí),總損失為2000+60000=62000元；沒有大洪水時(shí),總損失為2000元.因此P(X2=62000)=0.01,

P(X2=2000)=0.99.采用方案3:P(X3=60000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600,E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.課堂探究1．若隨機(jī)變量X的分布列為X－101P則E(X)＝(

)A．0B．－1 C．

D．

C2.某射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目X的均值為(

)A.2.44 B.3.376C.2.376 D.2.4解析:X的可能取值為3,2,1,0,則P(X=3)=0.6;P(X=2)=0.4×0.6=0.24;

P(X=1)=0.42×0.6=0.096;P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.3.已知X的分布列如下表,若Y=3X+2,則E(Y)=

.

X123P

t

評(píng)價(jià)反饋C4.某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為

X12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤(rùn)為200元;分2期或3期付款,其利潤(rùn)為250元;分4期或5期付款,其利潤(rùn)為300元,Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn).求Y的分布列及均值.解：Y的可能取值為200,250,300.P(Y=200)=P(X=1)=0.4,P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.l+0.l=0.2,因此Y的分布列為Y200250300P0.40.40.2E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.評(píng)價(jià)反饋5.在一個(gè)口袋里裝有大小相同的8張卡片,其中3張標(biāo)有數(shù)字1,3張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字3.第一次從口袋里任意抽取1張,放回口袋里后第二次再任意抽取1張,記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為X.求:(1)X為何值時(shí),其發(fā)生的概率最大?并說明理由.(2)隨機(jī)變量X的均值.

評(píng)價(jià)反饋