2025年蘭州市初中學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1．全卷共120分．考試時間120分鐘．

2．考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號等個人信息填（涂）寫在試卷及答題卡上．

3．考生務(wù)必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應(yīng)位置上．

4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．

一、選擇題（本大題共11小題，每小題3分，共33分．在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.2B.0C.1D.2

2.計算：32（）

A.6B.6C.5D.1

3.如圖是集熱板示意圖，集熱板與太陽光線垂直時，光能利用率最高．春分日蘭州正午太陽光線與水平面

的夾角為54．若光能利用率最高，則集熱板與水平面夾角度數(shù)是（）

A.26B.30C.36D.54

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，VABC與ABC位似，位似中心是原點O，已知BC:BC1:2，

則B2,0的對應(yīng)點B的坐標(biāo)是（）

A.3,0B.4,0C.6,0D.8,0

5.圖1是通過平面圖形的鑲嵌所呈現(xiàn)的圖案，圖2是其局部放大示意圖，由正六邊形、正方形和正三角形

構(gòu)成，它的輪廓為正十二邊形，則圖2中ABC的大小是（）

A.90B.120C.135D.150

6.若關(guān)于x的一元二次方程x22xa0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的值可以是（）

A.3B.2C.1D.0

2

7.若點A2,y與B2,y在反比例函數(shù)y的圖象上，則y與y的大小關(guān)系是（）

12x12

A.y1y2B.y1y2C.y1y2D.y1y2

8.現(xiàn)有甲、乙兩個不透明盒子，其中甲盒裝有分別寫著d，t，l的三張聲母卡片，乙盒裝有分別寫著a，e，

i的三張韻母卡片（卡片除漢語拼音字母外，其余完全相同），若小明分別從甲、乙盒中隨機各抽取一張卡

片，則兩張卡片剛好拼成“德”字讀音的概率是（）

1112

A.B.C.D.

9633

9.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)著作之一，“方程章”第11題大意是：兩匹馬一頭?？們r超

過1萬，超過部分等于半匹馬的價格；一匹馬兩頭牛的總價不足1萬，不足部分等于半頭牛的價格，問一

匹馬、一頭牛的價格分別是多少？若設(shè)一匹馬價格為x，一頭牛價格為y，則可列方程組為（）

11

2xy10000x100002xyx

22

A.B.

11

10000x2yyx2y10000y

22

11

x2y10000x2xyx

22

C.D.

11

100002xyyx2yy

22

10.如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，連接EF

交對角線BD于點P．若P為EF的中點，ADB35，則DPE（）

A.95B.100C.110D.145

11.如圖，在正方形ABCD中，AB2cm，對角線AC，BD相交于點O，動點P從點O出發(fā)沿OAB

方向以2cm/s的速度運動，同時點Q從點C出發(fā)沿CD方向以1cm/s的速度運動，當(dāng)點Q到達(dá)點D

時，P，Q同時停止運動．若運動時間為x（s），CPQ的面積為y(cm2)，則點P分別在OA，AB上運動

時，y與x的函數(shù)關(guān)系分別是（）

A.均為一次函數(shù)B.一次函數(shù)，二次函數(shù)

C.均為二次函數(shù)D.二次函數(shù)，一次函數(shù)

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）

因式分解：2．

12.2x4x2__________

13.射箭運動項目中，新手成績通常不太穩(wěn)定．甲和乙同時進(jìn)行12次射箭練習(xí)后，成績的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，

請根據(jù)表中信息估計新手是__________．（填寫“甲”或“乙”）

甲乙

平均成績x（單位：環(huán)）6.587.67

方差s26.910.72

14.如圖，在菱形ABCD中，AEBC，垂足為E，交BD于點F，BECE．若AB43，則

AF__________．

AB51

15.如圖，黃金矩形ABCD中，以寬AB為邊在其內(nèi)部作正方形ABFE，得到四邊形CDEF

AD2

是黃金矩形，依此作法，四邊形DEGH，四邊形KEGL也是黃金矩形．依次以點E，G，L為圓心作AF，

FH，HK，曲線AFHK叫做“黃金螺線”．若AD2，則“黃金螺線”AFHK的長為__________．（結(jié)

果用π表示）

三、解答題（本大題共11小題，共75分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

16.計算：a2a2a3a．

32

17.解方程：．

x1x

3x3x7

18.解不等式組：x5．

x4

2

1k

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yxb與反比例函數(shù)yx0的圖象相交于點

2x

Am,3，與x軸相交于點B8,0，與y軸相交于點C．

1k

（1）求一次函數(shù)yxb與反比例函數(shù)y的解析式；

2x

（2）點P為y軸負(fù)半軸上一點，連接AP．若△ACP的面積為6，求點P的坐標(biāo)．

20.天文學(xué)家運用三角函數(shù)解決了曾困擾古人數(shù)百年的難題．某天文研究小組探究用三角函數(shù)知識計算月球

與地球之間距離的方法，通過查閱資料、實際觀測、獲得數(shù)據(jù)和計算數(shù)據(jù)，得出月球與地球之間的近似距

離．具體研究方法與過程如下表：

問題月球與地球之間的距離約為多少？

工具天文望遠(yuǎn)鏡、天文經(jīng)緯儀等

月球、地球的實物圖與平面示意圖

為了便于觀測月球，在地球上先確定兩個觀測點A，B，以線段AB作為基準(zhǔn)

線，再借助天文經(jīng)緯儀從A，B兩點同時觀測月球P（將月球抽象為一個點），

說明

并測得ABP和BAP的度數(shù)．根據(jù)實際問題畫出平面示意圖（如上圖），

過點P作PHAB于點H，連接AP，BP．

數(shù)據(jù)AB0.8萬千米，ABP892537.43，BAP892238.09．

根據(jù)以上信息，求月球與地球之間的近似距離PH．（結(jié)果精確到1萬千米）

（參考數(shù)據(jù)：tan892537.43100.00，tan892238.0992.00，sin892537.430.99995，

sin892238.090.99994，cos892537.430.00999，cos892238.090.01087）

21.綜合與實踐

在學(xué)校項目化學(xué)習(xí)中，某研究小組開展主題為“生長素濃度對植物種子發(fā)芽率的影響”的研究．請你閱讀

以下材料，解決“數(shù)學(xué)建?！敝械膯栴}．

【研究背景】已知一定濃度的生長素既能促進(jìn)種子發(fā)芽，也會因濃度過高抑制種子發(fā)芽．探索生長素使用

的適宜濃度等最優(yōu)化問題，可以借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決．

【數(shù)據(jù)收集】研究小組選擇某類植物種子和生長素，以生長素濃度x（標(biāo)準(zhǔn)單位）為自變量，種子的發(fā)芽率

y（%）為因變量，進(jìn)行“生長素濃度對植物種子發(fā)芽率的影響”的實驗，獲得相關(guān)數(shù)據(jù)：

生長

00.611.722.52.733.344.2

素濃

度：x

（標(biāo)

準(zhǔn)單

位）

發(fā)芽

29.

率y35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.00

12

（%）

【數(shù)據(jù)分析】如圖，小組成員以表中各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點．

說明：①當(dāng)生長素濃度x0時，種子的發(fā)芽率為自然發(fā)芽率；

②當(dāng)發(fā)芽率大于等于零且小于自然發(fā)芽率時，該生長素抑制種子發(fā)芽；

③當(dāng)生長素抑制種子發(fā)芽，使得發(fā)芽率減小到0時，停止實驗．

【數(shù)學(xué)建?！空埬憬Y(jié)合所學(xué)知識解決下列問題：

（1）觀察上述各點的分布規(guī)律，判斷y關(guān)于x的函數(shù)類型，并求出該函數(shù)的表達(dá)式；

（2）請計算抑．制．種子發(fā)芽時的生長素濃度范圍．

22.“三等分角”是兩千多年來數(shù)學(xué)史上最著名的古典四大問題之一，阿基米德等數(shù)學(xué)家通過巧妙的幾何作

圖得到了解決“三等分角”問題的特例方法．某數(shù)學(xué)興趣小組通過折紙與尺規(guī)作圖相結(jié)合的方法探究“三

等分銳角”問題的解法，解決過程如下：

操作步驟與演示圖形

如圖①，已知一個由正方形紙片的邊PK與經(jīng)過頂點P的直線l1構(gòu)成的銳角．按照以下步驟進(jìn)行操作：

任意折出一

條水平折痕折疊使點

將紙片折疊

Q，P分別

l2，l2與紙保持紙片將紙片展

使邊PK與l4

落在l1和l3

片左邊交點折疊，再沿開，再沿l4

重合，折痕為

為Q；再折上，得到折MN折疊，折疊得到

l．則直線l

疊將與痕，對應(yīng)得到折痕54

PK→m→→經(jīng)過點P→

和l5就是銳

l2重合得到點為Q，l4的一部的完整折

角的三等

分，如圖痕l4，如圖

折痕l3，l3與P，m交l3

分線，如用

⑤．⑥．

紙片左邊交于M，如圖

⑦⑧．

點為N，如③④．

圖②．

（1）請依據(jù)操作步驟與演示圖形，通過尺規(guī)作圖完成以下兩個作圖任務(wù)：（保留作圖痕跡．不

寫作法）

任務(wù)一：在圖③中，利用已給定的點Q作出點；

解決問題P

任務(wù)二：在圖⑥中作出折痕l5．

（2）若銳角為75，則圖⑤中l(wèi)2與l4相交所成的銳角是__________．

23.豌豆莢里有幾粒豆子不確定，那么豆子粒數(shù)是否有規(guī)律？同學(xué)們對這個問題很感興趣．為此，調(diào)查小組

從一批豌豆莢中隨機抽取了若干個豌豆莢，進(jìn)行豆子粒數(shù)的統(tǒng)計，以下是本次調(diào)查的過程．

【收集數(shù)據(jù)】打開每個豌豆莢，數(shù)清其中的豆子（直徑大于3毫米）粒數(shù)，記錄數(shù)據(jù)．

【整理數(shù)據(jù)】將收集的豆子粒數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)整理，用x表示每個豌豆莢中的豆子粒數(shù)，將數(shù)據(jù)分為5類：其

中A類（0x2），B類（2x4），C類（4x6），D類（6x8），E類（8x10）．

【描述數(shù)據(jù)】根據(jù)整理的數(shù)據(jù)，繪制出如下統(tǒng)計圖．

【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查活動中隨機抽取了__________個豌豆莢，圖中a__________，b__________；

（2）所調(diào)查豆子粒數(shù)的中位數(shù)落在__________類中；（只填寫字母）

（3）如果甲同學(xué)調(diào)查了20個豌豆莢，其中B類有7個，乙同學(xué)調(diào)查了10個豌豆莢，其中D類有3個．能

否得到B類豌豆莢一定比D類豌豆莢多的規(guī)律？請說明理由．

24.如圖，O是VABC的外接圓，AB是O的直徑，過點B的切線交AC的延長線于點D，連接DO

并延長，交O于點E，連接AE，CE．

（1）求證：ADBAEC；

5

（2）若AB4，cosAEC，求OD的長．

3

25.【提出問題】數(shù)學(xué)討論課上，小明繪制圖1所示的圖形，正方形ABCD與正方形BEFG