七道數(shù)學(xué)極限練習(xí)題及計(jì)算過程1.計(jì)算eq\s(lim,n→∞)eq\f(12n2-17,21n?+16n-16).解：觀察所求極限特征，可知所求極限的分母此時(shí)為2，分子的次數(shù)為4，且分子分母沒有可約的因子，則當(dāng)n趨近無窮大時(shí)，所求極限等于0。eq\s(lim,n→∞)eq\f(12n2-17,21n?+16n-16),分子分母同時(shí)除以n?，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(\f(12,n)-\f(17,n?),21+\f(16,n3)-\f(16,n?))=0。2.計(jì)算eq\s(lim,n→∞)eq\f(41n-22n-8,26+4n-47n2).解：思路一：觀察所求極限特征，可知所求極限的分子分母的次數(shù)相同均為2，且分子分母沒有可約的因子，則分子分母同時(shí)除以n2，即：eq\s(lim,n→∞)eq\f(41n-22n-8,26+4n-47n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(41-\f(22,n)-\f(8,n2),\f(26,n)+\f(4,n)-47)=eq\f(41-0,0-47)=-eq\f(41,47)。思路二：本題所求極限符合洛必達(dá)法則，有：eq\s(lim,n→∞)eq\f(41n-22n-8,26+4n-47n2)=eq\s(lim,n→∞)eq\f(82n-22,4-94n)，繼續(xù)使用羅必塔法則，=eq\s(lim,n→∞)eq\f(82-0,0-94)，=-eq\f(41,47)。3.求極限eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-9x+8,x?-18x+17).解：觀察極限特征，所求極限為定點(diǎn)x趨近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是極限函數(shù)的可去間斷點(diǎn)，則：eq\s(lim,x→1)eq\f(x3-9x+8,x?-18x+17)=eq\s(lim,x→1)eq\f((x-1)(x2+x-8),(x-1)(x3+x2+x-17)),=eq\s(lim,x→1)eq\f(x2+x-8,x3+x2+x-17),=eq\f(1+1-8,1+1+1-17)=eq\f(3,7)。4.求eq\s(lim,x→0)eq\f(15x+19sin3x,12x-41sin11x).解：思路一：本題思路主要通過重要極限公式eq\s(lim,x→0)eq\f(sinx,x)=1應(yīng)用計(jì)算而得，則：eq\s(lim,x→0)eq\f(15x+19sin3x,12x-41sin11x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(15+19\f(sin3x,x),12-41\f(sin11x,x))，=eq\s(lim,x→0)eq\f(15+57\f(sin3x,3x),12-451\f(sin11x,11x))，=eq\f(15+57,12-451)=-eq\f(72,439)。思路二：使用羅必塔法則計(jì)算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(15x+19sin3x,12x-41sin11x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(15+19*3cos3x,12-41*11cos11x)，=eq\f(15+19*3,12-41*11)=-eq\f(72,439)。5.求eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),28x+25).解：本題思路是分子分母同時(shí)除以x，并變形使用重要極限公式lim(x→0)eq\f(sinx,x)=1，則：eq\s(lim,x→∞)eq\f(x2sin\f(1,x),28x+25)=eq\s(lim,x→∞)eq\f(xsin\f(1,x),\f(28x+25,x))=eq\s(lim,x→∞)eq\f(\f(sin\f(1,x),\f(1,x)),28+\f(25,x)),=eq\f(1,eq\s(lim,x→∞)28+\f(25,x))=eq\f(1,28)。6.求eq\s(lim,x→0)eq\f(sin21x-sin37x,sin8x).解：思路一：對(duì)分母進(jìn)行三角和差化積，再進(jìn)行極限計(jì)算，有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin21x-sin37x,sin8x)=eq\s(lim,x→0)eq\f(2cos29xsin(-8x),sin8x),=eq\s(lim,x→0)-2cos29x=-2cos0=-2。思路二：使用羅必塔法則計(jì)算有：eq\s(lim,x→0)eq\f(sin21x-sin37x,sin8x),=eq\s(lim,x→0)eq\f(21cos21x-sin37cos37x,8cos8x)，=eq\s(lim,x→0)eq\f(21-37,8)=-2。7.求eq\s(lim,x→0)(1+9x)eq\s\up15(\f(24,18x))。解：本題主要通過使用重要極限公式eq\s(lim,x→0)(1+x)eq\s\up15(\f(1,x))=e計(jì)算而得，則：eq\s(lim,x→0)(1+9x)eq\s\u