中考易錯(cuò)題圓+壓軸【知識(shí)梳理】一、圓的有關(guān)概念1．與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)（1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形．（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦．（3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。?）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．（5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角．（6）弦心距：圓心到弦的距離．2．注意（1）經(jīng)過(guò)圓心的直線是該圓的對(duì)稱軸，故圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條；（2）3點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)．（3）任意三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即該三角形的外接圓．二、垂徑定理及其推論1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過(guò)圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形．2．推論（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．三、圓心角、弧、弦的關(guān)系1．定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．2．推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．四、圓周角定理及其推論1．定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．2．推論（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．五、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d．(1)d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．2．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計(jì)算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況．六、切線的性質(zhì)與判定1．切線的性質(zhì)（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑．（3）切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，通常連過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．2．切線的判定（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）．（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．（3）經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑．七、三角形與圓1．三角形的外接圓相關(guān)概念經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．2．三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等．

【例題精講】1．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C在劣弧AB上（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與⊙O交于點(diǎn)G，設(shè)∠GAB＝ɑ，∠ACB＝β，∠EAG+∠EBA＝γ，（1）點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù)：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式，γ關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明；（2）若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

2．如圖1，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，AD為⊙O的直徑，AD與BC相交于點(diǎn)F，DE為⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于E（1）求證：∠E＝∠B；（2）如圖2，若∠CFD＝3∠DAE，求證：AC＝BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)H，點(diǎn)H為BD的中點(diǎn)若CE＝1，求FG的長(zhǎng)．

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB為直徑作⊙O，以直角邊AC為底邊向右側(cè)作等腰△ACD，使AB＝AD＝CD，連接OD交AC于點(diǎn)E．（1）求證：OD∥BC；（2）若tan∠ABC＝2，求證：DA與⊙O相切；（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC＝2，求EF的長(zhǎng)．

4．如圖，矩形ABCD中，AD＝10，CD＝15，E是邊CD上一點(diǎn)，且DE＝5，P是射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A，P，E三點(diǎn)的⊙O交直線AB于點(diǎn)F，連結(jié)PE，EF，PF，設(shè)AP＝x．（1）當(dāng)x＝5時(shí)，求AF的長(zhǎng)．（2）在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．①tan∠PFE的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的變化范圍；②當(dāng)矩形ABCD恰好有2個(gè)頂點(diǎn)落在⊙O上時(shí)，求x的值．（3）若點(diǎn)A，H關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，連結(jié)EH，CH．當(dāng)△CEH是等腰三角形時(shí)，求出所有符合條件的x的值．（直接寫出答案即可）

5．如圖，在R△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D兩點(diǎn)的⊙O分別交AB，AC于點(diǎn)F、E，（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）已知AD＝2，試求AB?AE的值；（3）在（2）的條件下，若∠B＝30°，求圖中陰影部分的面積，（結(jié)果保留π和根號(hào)）

6．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAB＝30°（1）求證：△ACD是等邊三角形．（2）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，垂足為F，若CF＝2，求線段OF的長(zhǎng)；（3）若⊙O的半徑為4，點(diǎn)Q是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)P繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)P'，求線段P'Q的最小值．

7．如圖，直線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，點(diǎn)A為⊙O上異于點(diǎn)C的一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為4，AB⊥EF于點(diǎn)B，設(shè)∠ACF＝α（0°＜α＜180°）．（1）若α＝45°，求證：四邊形OCBA為正方形；（2）若AC﹣AB＝1，求AC的長(zhǎng)；（3）當(dāng)AC﹣AB取最大值時(shí)，求α的度數(shù)．

8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，G為⊙O上一點(diǎn)，連接AG交CD于K，在CD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使EG＝EK，EG的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）連接DG，若AC∥EF時(shí)．①求證：△KGD∽△KEG；②若cosC＝，AK＝，求BF的長(zhǎng)．

9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB＝20cm，動(dòng)點(diǎn)D由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒1cm速度在邊AC上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E由點(diǎn)C向點(diǎn)B以每秒cm速度在邊BC上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)D，點(diǎn)E從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)t秒（t＞0），聯(lián)結(jié)DE．（1）求證：△DCE∽△BCA．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、C、E三點(diǎn)的圓為⊙P．①當(dāng)⊙P與邊AB相切時(shí)，求t的值．②在點(diǎn)D、點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若⊙P與邊AB交于點(diǎn)F、G（點(diǎn)F在點(diǎn)G左側(cè)），聯(lián)結(jié)CP并延長(zhǎng)CP交邊AB于點(diǎn)M，當(dāng)△PFM與△CDE相似時(shí)，求t的值．

10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作∠BCD＝∠BAC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)O作直徑EF∥BC，交AC于點(diǎn)G．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠BCD＝30°；①連接AE、DE，求證：四邊形ACDE是菱形；②當(dāng)點(diǎn)P是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求PF+PG的最小值．

11．如圖，AB為⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的兩條弦，過(guò)點(diǎn)C作∠BCD＝∠A，CD交AB的延長(zhǎng)線與點(diǎn)D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若tanA＝，求的值；（3）在（2）的條件下，若AB＝7，∠CED＝∠A+∠EDC，求EC與ED的長(zhǎng)．

12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連結(jié)DB，DF．（1）求∠CDE的度數(shù)．（2）求證：DF是⊙O的切線．（3）若tan∠ABD＝3時(shí)，求的值．

13．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上位于直徑AB兩側(cè)的點(diǎn)，連接AC、AD、CD、BD，且AD＜BD．（1）如圖1，若∠C＝15°，求∠BAD的度數(shù)；（2）如圖2，若BD＝6，AD＝3，CD平分∠ADB，求CD長(zhǎng)度；（3）如圖3，將（2）中的CD延長(zhǎng)與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)E，連接BE，設(shè)tan∠ABD＝x，tan∠ABE＝y(tǒng)，用含x的代數(shù)式表示y．

14．如圖，已知AB是圓O的直徑，F(xiàn)是圓O上一點(diǎn)，∠BAF的平分線交⊙O于點(diǎn)E，交⊙O的切線BC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AF，交AF的