思維導(dǎo)圖第01講三角形中的線段和角思維導(dǎo)圖一、知識(shí)點(diǎn)梳理1.三角形的定義與元素三角形是由三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形。它有三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊和三個(gè)角。2.三角形的分類按邊分，三角形可分為等邊三角形（三條邊相等）、等腰三角形（兩條邊相等）和普通三角形（三條邊都不相等）。按角分，三角形可分為銳角三角形（三個(gè)角都是銳角）、直角三角形（有一個(gè)角是直角）和鈍角三角形（有一個(gè)角是鈍角）。3.三角形的三邊關(guān)系對(duì)于任意一個(gè)三角形，其三邊長(zhǎng)度a、b、c滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。特殊地，等邊三角形的三邊相等，等腰三角形的兩邊相等，直角三角形滿足勾股定理，即a2+b2=c2（其中c為斜邊）。4.三角形的角度關(guān)系三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。特殊地，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為60°，等腰三角形的兩個(gè)底角相等，直角三角形的兩個(gè)銳角互余。二、易錯(cuò)辨析1.三角形的三邊關(guān)系判斷在判斷三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，只需判斷兩條短邊的和是否大于第三邊。如果大于第三邊，則可以構(gòu)成三角形。2.三角形的高的畫(huà)法三角形每條邊上僅有一條高，畫(huà)高時(shí)要用虛線，并標(biāo)出直角符號(hào)。銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，直角三角形的兩條直角邊互為底和高，鈍角三角形有一條高在三角形內(nèi)部，兩條高在三角形外部。3.等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的兩腰相等，兩個(gè)底角也相等。但等腰三角形可以是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，不能僅憑等腰就判斷其角度類型。三、概念比較1.等邊三角形與等腰三角形等邊三角形是三條邊都相等的三角形，也是等腰三角形的一種特例。等腰三角形是兩條邊相等的三角形，但不一定三條邊都相等。2.直角三角形的勾股定理與普通三角形的三邊關(guān)系直角三角形滿足勾股定理，即兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。而普通三角形的三邊關(guān)系則是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。一、概念比較1.三角形中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)邊的中點(diǎn)的線段。一個(gè)三角形有三條中線，這三條中線都在三角形的內(nèi)部，并交于一點(diǎn)，稱為三角形的重心。每條中線將三角形分為面積相等的兩個(gè)子三角形。2.三角形角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，連接這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線段。三角形的角平分線是線段，而非射線。一個(gè)三角形有三條角平分線，它們的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，是三角形內(nèi)切圓的圓心。3.三角形高：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。一個(gè)三角形有三條高，它們可能位于三角形內(nèi)部（銳角三角形）、三角形上（直角三角形）或三角形外部（鈍角三角形）。二、易錯(cuò)辨析1.角平分線與三角形的角平分線：角平分線是一條射線，而三角形的角平分線是線段。在解題時(shí)，需明確區(qū)分這兩個(gè)概念。2.三角形的中線與高：中線是連接頂點(diǎn)和邊中點(diǎn)的線段，而高是從頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€得到的線段。在繪制和識(shí)別時(shí)，注意它們的方向和位置。3.鈍角三角形的高：鈍角三角形的高可能位于三角形外部，這是初學(xué)者容易忽視的地方。在作圖和分析時(shí)，需特別注意。三、重點(diǎn)記憶1.三角形的三條中線交于一點(diǎn)，稱為重心。重心將每條中線分為兩段，其中較長(zhǎng)段是較短段的兩倍（在直角三角形中，斜邊上的中線長(zhǎng)度等于斜邊的一半）。2.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，稱為內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，是三角形內(nèi)切圓的圓心。3.三角形的高是從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€得到的線段。在銳角三角形中，所有高都在三角形內(nèi)部；在直角三角形中，有兩條高與直角邊重合，另一條高是斜邊上的高；在鈍角三角形中，有兩條高在三角形外部。掌握這些知識(shí)點(diǎn)，有助于更好地理解三角形的性質(zhì)和解決相關(guān)問(wèn)題。教材習(xí)題01

教材習(xí)題02如圖，已知△ABC．(1)畫(huà)角平分線BD；(2)畫(huà)中線CE；(3)畫(huà)高AD．（1）解：如圖所示：線段即為所求．（2）解：如圖所示：線段即為所求．（3）解：如圖所示：線段即為所求．教材習(xí)題03閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積.∴三角形中線等分三角形的面積.任務(wù)：（2）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)考點(diǎn)一、組成三角形的條件1．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（

）A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11【答案】C【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，直接利用三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，進(jìn)而判斷得出答案．故選：C．2．在長(zhǎng)為2、3、4、5的四根木條中，任選三根能組成三角形的選法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】C【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，先把四條線段的所有組合列出來(lái)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能組成三角形的組數(shù)．【詳解】解：四根木條的所有組合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5；根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，能組成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5．故選：C．3．下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，將它們首尾順次相接，能擺成三角形的是（

）A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11【答案】C【分析】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系．三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．熟練掌握是解題的關(guān)鍵．若兩條較短木棒的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)的木棒的長(zhǎng)度，則三根木棒可擺成三角形；否則不能擺成三角形，據(jù)此分析各項(xiàng)即得．【詳解】A、3，4，7，∴3，4，7的三根小木棒首尾順次相接，不能擺成三角形；B、6，8，15，∴6，8，15的三根小木棒首尾順次相接，不能擺成三角形；C、5，12，13，∴5，12，13的三根小木棒首尾順次相接，能擺成三角形；D、5，5，11，∴5，5，11的三根小木棒首尾順次相接，不能擺成三角形．故選：C．考點(diǎn)二、比較邊的大小(1)請(qǐng)畫(huà)出圖形①畫(huà)直線；．②畫(huà)射線；③畫(huà)線段；【答案】(1)①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析③見(jiàn)解析(2)＞；三角形的兩邊之和大于第三邊【分析】（1）①根據(jù)直線的定義即可畫(huà)直線AC；②根據(jù)射線定義即可畫(huà)射線BA；③根據(jù)線段定義即可畫(huà)線段BC；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：①直線AC．②射線BA．③線段BC．（2）解：AB+AC＞BC，根據(jù)：三角形的兩邊之和大于第三邊．故答案為：＞，三角形的兩邊之和大于第三邊．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，直線、射線、線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短．2．如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，比較BP+CP與AB+AC的大小．【答案】AB+AC＞BP+CP，證明見(jiàn)解析．【分析】首先延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系比較得出即可．【詳解】解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E．在△ABE中AB+AE＞BE=BP+PE在△PEC中PE+EC＞PC相加得：AB+（AE+EC）+PE＞BP+PE+PCAB+AC＞BP+CP．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．

(1)按下列要求作圖：分別作直線、射線，連接．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析【分析】本題考查線段、射線及直線作圖，涉及線段中點(diǎn)定義、三角形三邊關(guān)系、線段和差倍分關(guān)系等，數(shù)形結(jié)合，表示出線段之間的和差倍分關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直線、射線及線段作法直接作圖即可得到答案；【詳解】（1）解：如圖所示：

直線、射線，連接即為所求；（2）解：如圖所示：

故答案為：；理由如下：考點(diǎn)三、畫(huà)三角形的中線、角平分線、高1．按要求畫(huà)圖，并描述所作線段．(1)過(guò)點(diǎn)A畫(huà)三角形的高線；(2)過(guò)點(diǎn)B畫(huà)三角形的中線．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】此題主要考查了作三角形的高線和中線，正確掌握鈍角三角形高線作法是解題關(guān)鍵．（2）找到中點(diǎn)E，連接，即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；（2）解：如圖所示：即為所求．(2)線段與的關(guān)系；(3)畫(huà)邊上的中線和高線．（利用網(wǎng)格點(diǎn)和直尺畫(huà)圖）【答案】(1)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了平移變換作圖和平移的性質(zhì)；（1）將A、B、C按平移條件找出它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接，即得到平移后的圖形；（2）由平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）用直尺結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)作圖即可．（3）邊上的中線和高線如圖所示；3．如圖，△ABC，按要求完成下列各題：①畫(huà)△ABC的中線CD；②畫(huà)△ABC的角平分線AE；③畫(huà)△ABC的高BF；④畫(huà)出把△ABC沿射線BF方向平移3cm后得到的△A1B1C1．【答案】見(jiàn)解析.【詳解】分析：（1）首先確定AB中點(diǎn)，再連接CD即可；（2）利用量角器∠A的度數(shù)，在算出平分時(shí)的角度，以A為端點(diǎn)畫(huà)射線，與BC的交點(diǎn)記作E；（3）延長(zhǎng)CA，利用直角三角板，一條直角邊與AC重合，沿AC平移，是另一直角邊過(guò)B，再以B為端點(diǎn)沿直角邊畫(huà)射線交CA得延長(zhǎng)線于F；（4）在BF上截取BB1=3cm，再過(guò)A、C畫(huà)BF的平行線，使AA1=CC1=BB1=3cm，然后再連接A1、B1、C1即可．詳解：如圖所示：．點(diǎn)睛：此題主要考查了平移作圖和復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握三角形的高、角平分線、中線定義，正確確定A、B、C三點(diǎn)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置．考點(diǎn)四、比較角的大小

【分析】本題考查三角形的外角，根據(jù)三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，即可得出結(jié)果．

考點(diǎn)五、平行線中的角平分線【答案】(1)(2)見(jiàn)解析本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．（2）證明：如圖，【答案】見(jiàn)解析【答案】見(jiàn)解析考點(diǎn)六、三角形中線求面積【答案】【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線將三角形的面積平分是解題的關(guān)鍵．【答案】【點(diǎn)睛】本題考查了與三角形中線有關(guān)的面積問(wèn)題．解答該題時(shí)，需要利用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．【答案】(1)2(2)6【分析】本題考查了三角形中線的應(yīng)用，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵為邊上的中線．故答案為：2∵為邊上的中線．故答案為：6考點(diǎn)七、角平分線與高的夾角問(wèn)題【答案】(1)(2)4.8【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，與三角形的高有關(guān)的計(jì)算.（2）等積法求出的長(zhǎng)即可．【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義等知識(shí)，熟知三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．1．如圖表示三角形的分類，關(guān)于P、Q區(qū)域有甲、乙兩種說(shuō)法：甲：P是銳角三角形；乙：Q是等邊三角形，則對(duì)于這兩種說(shuō)法，正確的是（

）A．甲對(duì) B．乙對(duì) C．甲、乙均對(duì) D．甲、乙均不對(duì)【答案】B【分析】本題主要考查三角形的分類．根據(jù)三角形按邊分類，即可求解．【詳解】解：三角形按邊分為三邊都不等的三角形，等腰三角形（兩邊相等的等腰三角形，三邊相等的等邊三角形），∴P是等腰三角形；Q是等邊三角形，∴只有乙說(shuō)法正確，故選：B．2．以下列各組數(shù)為邊，能組成三角形的是（

）【答案】D【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊．判斷各選項(xiàng)中較短的兩邊之和是否大于第三邊，若是則可組成三角形．據(jù)此即可解答．故選：D．C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的高，熟知三角形高線的定義是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)高線的定義即可得出答案．【詳解】解：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高，故選：A．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．∵是角平分線，∵是高，故選：D．A．2 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形中線把三角形分成面積相同的兩部分成為解題的關(guān)鍵．∵是上的一點(diǎn)，故選C．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵；此題可根據(jù)三角形的三邊關(guān)系的知識(shí)，進(jìn)行作答，即可求解；故答案為：（答案不唯一）【答案】4（答案不唯一）【分析】本題考查構(gòu)成三角形的條件，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，確定的取值范圍，進(jìn)行求解即可．故答案為：4（答案不唯一）．【答案】12【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分的知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)三角形的中線將三角形的面積分成相等的兩部分即可求解．故答案為：12．【答案】/【分析】由三角形高的含義可得答案．本題考查的是三角形高的含義，熟記三角形的高的定義并能識(shí)別圖形中三角形的高是解題的關(guān)鍵．故答案為：．【答案】2【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形中線性質(zhì)找出各部分三角形面積之間的關(guān)系．故答案為：2．【分析】本題考查了三角形的識(shí)別與有關(guān)概念，由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形．據(jù)此即可求解．12．觀察圖形．(1)圖中有幾個(gè)三角形？把它們一一寫(xiě)出來(lái)；(3)以為內(nèi)角的三角形有哪些？(4)以AB為邊的三角形有哪些？【答案】(1)7個(gè)，見(jiàn)解析【分析】查找三角形時(shí)可按逆時(shí)針?lè)较?，先固定一條邊，再通過(guò)查第三個(gè)頂點(diǎn)的方法確定三角形．【分析】本題考查了三角形的中線，理解三角形