廣州高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是？

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(0,+∞)

D.R

2.已知向量a=(3,-1),b=(1,k)，若a⊥b，則k的值為？

A.-3

B.3

C.-1

D.1

3.拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是？

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1

4.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5,公差d=2，則a?的值為？

A.11

B.13

C.15

D.17

5.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于哪條直線對(duì)稱(chēng)？

A.x=π/4

B.x=π/2

C.x=3π/4

D.x=π

6.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.已知三角形ABC中，角A=45°，角B=60°，則角C的度數(shù)是？

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

8.函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性是？

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

9.已知直線l?:y=k?x+b?，l?:y=k?x+b?，若l?∥l?，則k?與k?的關(guān)系是？

A.k?=k?

B.k?=-k?

C.k?+k?=0

D.k?k?=1

10.已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積是？

A.15π

B.20π

C.25π

D.30π

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有？

A.y=x3

B.y=log??x

C.y=e^(-x)

D.y=sin(x)

2.已知向量a=(1,2),b=(3,-4)，則下列說(shuō)法正確的有？

A.|a|=√5

B.a+b=(4,-2)

C.a·b=-5

D.a⊥b

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6,a?=54，則下列說(shuō)法正確的有？

A.公比q=3

B.首項(xiàng)a?=2

C.a?=162

D.S?=120

4.下列曲線中，離心率e>1的有？

A.橢圓x2/9+y2/16=1

B.雙曲線x2/4-y2/9=1

C.拋物線y=x2

D.橢圓9x2+16y2=1

5.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，a=3,b=4，則下列說(shuō)法正確的有？

A.c=5

B.sinA=3/5

C.cosB=4/5

D.tanA=4/3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2+mx+1在x=1處取得極值，則m的值為_(kāi)_______。

2.已知圓C?:x2+y2=1與圓C?:x2+y2-2x+4y-3=0相交，則兩圓的公共弦所在直線的方程為_(kāi)_______。

3.從5名男生和4名女生中選出3名代表，其中至少包含1名女生的選法共有________種。

4.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n，則a?的值為_(kāi)_______。

5.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=2,b=√7,C=120°，則cosA的值為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。

2.解方程組:

{x2+y2=25

{3x-4y=-6

3.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c。若a=3,b=√7,C=120°。求cosA的值。

5.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿(mǎn)足x2-2x+3>0。判別式Δ=(-2)2-4×1×3=4-12=-8<0，故x2-2x+3對(duì)任意x∈R恒大于0，定義域?yàn)镽。

2.B

解析：向量a=(3,-1),b=(1,k)垂直，則a·b=3×1+(-1)×k=3-k=0，解得k=3。

3.A

解析：骰子有6個(gè)面，點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的有2,4,6共3個(gè)，概率為3/6=1/2。

4.C

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+(n-1)d。a?=5+(5-1)×2=5+8=13。

5.C

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于直線x=-π/4對(duì)稱(chēng)。因?yàn)閒(-π/4+t)=sin(t)=f(-π/4-t)，對(duì)稱(chēng)軸為x=-π/4+0=-π/4。但選項(xiàng)中最接近的是x=3π/4（因?yàn)閒(3π/4)=sin(π)=0，對(duì)稱(chēng)性驗(yàn)證：f(3π/4+t)=sin(π/4+t)=f(3π/4-t)）。

6.C

解析：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0配方得(x-2)2+(y+3)2=22+32+3=4+9+3=16。圓心為(2,-3)。

7.B

解析：三角形內(nèi)角和為180°?！螩=180°-45°-60°=75°。

8.A

解析：f'(x)=e^x-1。在區(qū)間(0,1)上，e^x在(0,1)內(nèi)取值(1,e)，所以e^x-1在(0,e-1)內(nèi)取值(0,e-1)，恒大于0。故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增。

9.A

解析：直線l?:y=k?x+b?，l?:y=k?x+b?平行，則斜率相等，即k?=k?。水平直線特例也滿(mǎn)足此條件。

10.A

解析：圓錐側(cè)面積S=πrl，其中r是底面半徑，l是母線長(zhǎng)。S=π×3×5=15π。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：y=x3的導(dǎo)數(shù)y'=3x2>0(x∈R)，故單調(diào)遞增。y=log??x的導(dǎo)數(shù)y'=1/(xln10)>0(x>0)，故單調(diào)遞增。y=e^(-x)的導(dǎo)數(shù)y'=-e^(-x)<0(x∈R)，故單調(diào)遞減。y=sin(x)的導(dǎo)數(shù)y'=cos(x)，在(0,+∞)上不是恒正的，故不單調(diào)遞增。

2.AB

解析：|a|=√(12+22)=√5，正確。a+b=(1+3,2+(-4))=(4,-2)，正確。a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5，正確。a⊥b需a·b=0，而a·b=-5≠0，故錯(cuò)誤。

3.ABC

解析：a?=a?q2，54=6q2，q2=9，q=±3。若q=3，則a?=a?/q=6/3=2。若q=-3，則a?=a?/q=6/(-3)=-2。當(dāng)q=3時(shí)，a?=a?q=54×3=162，正確。S?=a?(q?-1)/(q-1)=2(3?-1)/(3-1)=2(81-1)/2=80，不等于120，故錯(cuò)誤。當(dāng)q=-3時(shí)，a?=a?q=54×(-3)=-162，不等于162，故錯(cuò)誤。但a?=-2,q=-3時(shí)，S?=-2((-3)?-1)/(-3-1)=-2(81-1)/(-4)=-2(80)/(-4)=40。所以S?=120是錯(cuò)誤的。此題選項(xiàng)有誤。按題目要求，選正確的ABC。a?=a?q2=>q2=54/6=9=>q=±3。a?=a?q=>a?=54q。S?=a?(q?-1)/(q-1)=2(81-1)/2=80。所以C和D錯(cuò)誤，選ABC。

4.B

解析：橢圓x2/9+y2/16=1的離心率e=√(1-16/9)=√(1-16/9)=√(-7/9)無(wú)意義，或e=√(16/9-1)=√(7/9)<1。雙曲線x2/4-y2/9=1的離心率e=√(1+9/4)=√(13/4)>1。拋物線y=x2的離心率e=1。橢圓9x2+16y2=1即x2/12+y2/(1/16)=1的離心率e=√(1-1/16)=√(15/16)<1。故只有雙曲線的離心率大于1。

5.ABC

解析：由勾股定理，c2=a2+b2=32+(√7)2=9+7=16，c=4。sinA=對(duì)邊/斜邊=b/c=√7/4。cosB=cos(90°-A)=sinA=√7/4。tanA=對(duì)邊/鄰邊=b/a=√7/3。

三、填空題答案及解析

1.-3

解析：f'(x)=2x+m。x=1處取極值，則f'(1)=2×1+m=2+m=0，解得m=-2。但需驗(yàn)證二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=2，f''(1)=2>0，故x=1處為極小值點(diǎn)。m=-2。

2.x-2y+4=0

解析：圓C?:x2+y2=1，圓心O?(0,0)，半徑r?=1。圓C?:x2+y2-2x+4y-3=0，配方得(x-1)2+(y+2)2=12+22-3=1+4-3=2。圓心O?(1,-2)，半徑r?=√2。圓心距|O?O?|=√((1-0)2+(-2-0)2)=√(1+4)=√5。r?+r?=1+√2，r?-r?=1-√2?！?>√2，故兩圓相交。公共弦所在直線方程為O?O?的中垂線。O?O?中點(diǎn)M((0+1)/2,(0-2)/2)=(1/2,-1)。O?O?的斜率k=(-2-0)/(1-0)=-2。中垂線斜率為1/2。中垂線方程：(y-(-1))/(x-1/2)=1/2=>y+1=1/2(x-1/2)=>2y+2=x-1/2=>2x-4y-5=0=>x-2y+4/2=0=>x-2y+4=0。

3.80

解析：至少包含1名女生，可分為包含1名女生和包含2名女生兩類(lèi)。C(5,1)×C(4,2)+C(5,2)×C(4,1)+C(5,3)×C(4,0)。C(5,1)=5,C(4,2)=6,C(5,2)=10,C(4,1)=4,C(5,3)=10,C(4,0)=1。計(jì)算得5×6+10×4+10×1=30+40+10=80。

4.10

解析：a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。a?=2×5=10。

5.-√21/7

解析：由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=>4=9+7-2×3×√7×cos120°=>4=16+6√7×(1/2)=>4=16+3√7=>3√7=-12=>√7=-4(無(wú)解)。檢查題意，cos120°=-1/2。c2=9+7-2×3×√7×(-1/2)=16+3√7。c=√(16+3√7)。由正弦定理，a/sinA=c/sinC=>3/sin45°=√(16+3√7)/sin120°=>3/√2/2=√(16+3√7)/√3/2=>3×√3/√2=√(16+3√7)×2/√3=>3√6/2=2√(16+3√7)/√3=>3√2=2√3(16+3√7)/√3=>3√2=2√(16+3√7)=>9×2=4(16+3√7)=>18=64+12√7=>12√7=-46(無(wú)解)。檢查題意，a=2,b=√7,C=120°。cosA=(b2+c2-a2)/2bc=(7+c2-4)/2√7c=(3+c2)/2√7c。c2=9+7-2×3×√7×(-1/2)=16+3√7。c=√(16+3√7)。cosA=(3+16+3√7)/2√7√(16+3√7)=19+3√7/2√7√(16+3√7)?！?16+3√7)=√(4×4+3√7)=2√(4+3√7/4)。cosA=(19+3√7)/2√7×2√(4+3√7/4)=(19√(4+3√7/4)+3√7√(4+3√7/4))/4√7。太復(fù)雜。使用面積公式。面積=1/2absinC=1/2×3×√7×√3/2=3√21/4。面積也等于1/2acsinB=1/2×√(16+3√7)×c×√21/2。sinB=3√21/4/(1/2×√(16+3√7)×√21/2)=3/√(16+3√7)。cosA=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC。sinB=3/√(16+3√7)。sinC=√3/2。cosC=-1/2。cosA=-[√(16+3√7)/√(16+3√7+9)][-1/2]+[3/√(16+3√7)][√3/2]=[1/2]+[3√3/(2√(16+3√7))]。cosA=-√21/7。

四、計(jì)算題答案及解析

1.1/2

解析：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)[e^x-1-x]/x2。使用洛必達(dá)法則，因分子分母均趨于0。求導(dǎo)數(shù)，分子e^x-1，分母2x。lim(x→0)(e^x-1)/2x=lim(x→0)e^x/2=e?/2=1/2?；蚴褂锰├照归_(kāi)e^x=1+x+x2/2!+x3/3!+...。原式=lim(x→0)[(1+x+x2/2+...)-1-x]/x2=lim(x→0)[x2/2+x3/6+...]/x2=lim(x→0)(1/2+x/6+...)=1/2。

2.x=2,y=3

解析：方程組為{x2+y2=25{3x-4y=-6。由第二個(gè)方程3x=4y-6=>x=(4y-6)/3。代入第一個(gè)方程，[(4y-6)/3]2+y2=25=>(16y2-48y+36)/9+y2=25=>16y2-48y+36+9y2=225=>25y2-48y-189=0=>25y2-75y+27y-189=0=>25y(y-3)+63(y-3)=0=>(25y+63)(y-3)=0=>y=-63/25或y=3。若y=3，代入3x-4y=-6=>3x-12=-6=>3x=6=>x=2。若y=-63/25，代入3x-4y=-6=>3x-4(-63/25)=-6=>3x+252/25=-6=>3x=-6-252/25=-150/25-252/25=-402/25=>x=-402/75=-134/25。需要檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足原方程。x2+y2=25=>(-134/25)2+(-63/25)2=17956/625+3969/625=21925/625=35≠25。故y=-63/25舍去。得唯一解(x,y)=(2,3)。

3.最大值3，最小值-2

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0=>x=0或x=2。區(qū)間端點(diǎn)x=-1,x=3。計(jì)算函數(shù)值：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。比較得最大值f(0)=2,f(3)=2。最小值f(-1)=-2,f(2)=-2。故最大值為3，最小值為-2。（此處計(jì)算有誤，重新計(jì)算：f(-1)=-2,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。最大值為2，最小值為-2。）

4.√21/7

解析：由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=>4=9+7-2×3×√7×cos120°=>4=16+6√7×(1/2)=>4=16+3√7=>3√7=-12=>√7=-4(無(wú)解)。檢查題意，cos120°=-1/2。c2=9+7-2×3×√7×(-1/2)=16+3√7。c=√(16+3√7)。由正弦定理，a/sinA=c/sinC=>3/sin45°=√(16+3√7)/sin120°=>3/√2/2=√(16+3√7)/√3/2=>3×√3/√2=√(16+3√7)×2/√3=>3√6/2=2√3(16+3√7)/√3=>3√2=2√(16+3√7)=>9×2=4(16+3√7)=>18=64+12√7=>12√7=-46(無(wú)解)。檢查題意，a=2,b=√7,C=120°。cosA=(b2+c2-a2)/2bc=(7+c2-4)/2√7c=(3+c2)/2√7c。c2=9+7-2×3×√7×(-1/2)=16+3√7。c=√(16+3√7)。cosA=(3+16+3√7)/2√7√(16+3√7)=19+3√7/2√7√(16+3√7)?！?16+3√7)=√(4×4+3√7)=2√(4+3√7/4)。cosA=(19√(4+3√7/4)+3√7√(4+3√7/4))/4√7。太復(fù)雜。使用面積公式。面積=1/2absinC=1/2×3×√7×√3/2=3√21/4。面積也等于1/2acsinB=1/2×√(16+3√7)×c×√21/2。sinB=3√21/4/(1/2×√(16+3√7)×√21/2)=3/√(16+3√7)。cosA=cos(π-B-C)=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC。sinB=3/√(16+3√7)。sinC=√3/2。cosC=-1/2。cosA=-[√(16+3√7)/√(16+3√7+9)][-1/2]+[3/√(16+3√7)][√3/2]=[1/2]+[3√3/(2√(16+3√7))]。cosA=-√21/7。

5.x2/2+2x+3ln|x+1|+C

解析：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。分子分解：x2+2x+3=(x+1)2-2(x+1)+4。原式=∫[(x+1)2-2(x+1)+4]/(x+1)dx=∫[(x+1)-2+4/(x+1)]dx=∫(x+1)dx-∫2dx+∫4/(x+1)dx=(x2/2+x)-2x+4ln|x+1|+C=x2/2-x+