1/5探討數(shù)學(xué)應(yīng)用題的優(yōu)美解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的優(yōu)美解答就象一件精美藝術(shù)品一樣，能給人們精神上的享受和心理上的滿足．解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，首先應(yīng)深入分析題意，利用它所提供的一切信息，迅速抓住問題的本質(zhì)；第二，要充分發(fā)揮自己直覺思維的作用．領(lǐng)悟事物的本質(zhì)，隨機(jī)應(yīng)變，獨(dú)辟蹊徑，設(shè)計(jì)出新穎、別具一格的解題方法．英國科學(xué)家狄拉克說：“誰只要照次追求方程美的觀點(diǎn)去工作，誰只要具有良好的直覺，誰就確定地走在了前進(jìn)的路上”；第三，要能按陌生原理，即無論對熟悉的或不熟悉的題目，都能用好奇、探索的眼光去審視它．只有這樣，才有可能得到獨(dú)創(chuàng)性的、優(yōu)美的妙解．例1．甲、乙二人自A、B兩地騎車相向而行，兩人相遇在離A地8公里處．相遇后兩人繼續(xù)按原方向前進(jìn)，分別到達(dá)A、B之后立即返回，又在離B地10公里處相遇，求A、B兩地的距離．【分析】設(shè)A、B兩地距離為x公里．第一次相遇時，甲走了8公里；第二次相遇時，甲走了（x+10）公里；顯然，第二次相遇時，甲、乙共走過的路程是第一次相遇時，甲、乙共走的路程的3倍，因而，第二次相遇時甲所走過的路程，也是第一次相遇時甲所走的路程的3倍，則得：x+10=3×8．x=14答：A、B兩地的距離為14公里．【注】這是《中等數(shù)學(xué)習(xí)題集》第一冊（翟連林等編）第181頁的一道題．書中的解答是：設(shè)A、B距離為S公里，甲、乙的速度分別為x公里/小時，y公里/小時，則得例2．甲、乙兩個工程隊(duì)合做一項(xiàng)工程，12天可以完工．如果甲隊(duì)單獨(dú)先做5天后，乙隊(duì)也來參加，兩隊(duì)再合做9天才完工．兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？【分析】設(shè)甲隊(duì)與乙隊(duì)的工效的比為x∶1，則甲隊(duì)做12天等于乙隊(duì)做12x天，甲隊(duì)做5+9=14（天）等于乙隊(duì)做14x天，故乙隊(duì)獨(dú)做需（12+12x）天或（9+14x天）天，則得：12+12x=9+14x，x=1.5．所以，乙隊(duì)獨(dú)做需12+12x=12+12×1.5=30（天）．答：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需20天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需30天．【注】這是現(xiàn)行課本初中代數(shù)第三冊149頁習(xí)題第9題，“教參”中的解是：設(shè)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程甲隊(duì)需要x天，乙隊(duì)需y天，則例3．A、B兩地相距36公里，甲從A地步行到B地，乙從B地步行到A地，兩人同時出發(fā)相向而行．若行走4小時，則兩人相遇；若行走6小時，則此時甲所余下的路程是乙所余下的路程的2倍，求甲、乙兩人每小時各走多少公里？【分析】設(shè)走6小時后，乙的余路為x公里，甲的余路為2x公里，又顯然，這兩人的速度和為36/4=9（公里/小時），而兩人共走6小時，再加上共有的余路應(yīng)等于全程的兩倍，則得6×9+3x=2×36∴x=6答：甲每小時走4公里，乙每小時走5公里【注】這是1990年福建省初中畢業(yè)會考試題，其參考答案是：設(shè)甲每小時走x公里，乙每小時走y公里，根據(jù)題意得例4．猴子分桃趣題．有五只猴子分一堆桃子，可是怎樣分也平分不了，于是大家先去睡覺，明天再說．夜里，一只猴子偷偷起來，把一個桃子扔到山下，剩下的桃子正好可以分成五份，它把自己的一份收藏起來就睡覺去去．第二只猴子起來也扔掉一個，所剩的桃子又剛好能分成五份，它把自己的一份收藏起來也睡覺去了．第三、第四、第五只猴子都照此辦理．問一共有多少個桃子？【分析】設(shè)加上4個桃子之后，桃子總數(shù)為x，依題意x可以被5整除，不過答：桃子數(shù)至少為3121個．【注】這是《世界數(shù)學(xué)名題趣題選》（王長烈等編）第1題，書中是這樣“提示”的：設(shè)有桃子數(shù)為x，n只猴子各自藏起來的桃子數(shù)依次為k1，k2，…，kn，則得方程組（n－l）（k1+1）=n（k2+1）（n－1）（k2+1）=n（k3+1）（n－1）（kn－1+1）=n（kn+1）再把這些等式兩邊乘起來可得（n－1）n－1（k1+1）=nn－1（kn+1）由此可知，k1+1必是nn－1的倍數(shù)，記為k1+1=nn－1k（k∈N）代入①得x=n（nn－1k－1）+1即x=nnk－（n－1）取k=1，得最小的正整數(shù)解為nn－（n－1），令n=5，求得題中最少的桃子數(shù)為55－4=3121（個）例5.甲、乙兩人分別從A、B兩地同時向同一方向出發(fā)，甲經(jīng)過B地后，再走3小時12分在C地追上乙，這時兩人共走72公里，而C，A兩地的距離等于乙走5小時的路程．求A、B兩地的距離．【分析】設(shè)甲的速度與乙的速度之比為x∶1，而已知甲走｜BC｜需16/5小時，所以，乙走｜BC｜需16x/5小時，從而甲走｜AC｜需16x/5小時，于是，乙走｜AC｜需16x2/5小時，則得16x2/5=5∴x=±1.25x=－1.25不合題意，舍去．∴x=1.2516x/5=16×1.25/5=4（時），因而A、B兩地距離為：[72/（5+4）]（5－4）=8（里）答：A、B兩地的距離為8公里．【注】這是78年遼寧中學(xué)數(shù)學(xué)競賽第二試題．1978年全國部分省市《中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題解答匯集》（福建省教育學(xué)院數(shù)學(xué)組編）中是這樣解答的：設(shè)A、B地距離為x公里，乙的速度為y里/時，則甲的速度為（5y－x）/3.2（里/時）則得例6.一號列車由甲地向乙地出發(fā)1時后，二號列車由乙地出發(fā)，速度較一號列車每時大10里．兩車相遇之地點(diǎn)，適在甲乙兩地之中央，又若一號列車出發(fā)之時間，在二號列車出發(fā)后1小時，而仍欲在甲乙兩地之中央相遇，則一號列車之速度，非每時增加28里不可，求甲乙兩地之距離及一號列車每時之速度．【分析】第一次：一號列車早出發(fā)1時．二號列車速度較一號列車速度每時大10里．所以，若設(shè)二號列車由乙地出發(fā)x小時后，適在甲乙兩地之中央與一號列車相遇．則一號列車之速度為10x/1（里/時）；第二次：一號列車較二號列車遲一時出發(fā)．且仍要在甲乙兩地之中央與二號列車相遇，所以，一號列車走這一距離用（x－1）時，它的速度非每時增加28里不可．但實(shí)際上，較二號列車每時只大（28－10）里．所以，二號列車的速度為（28－10）（x－1）（里/時），故得（28－10）（x－1）－10x=10x=3.5所以，一號列車之速度為10x=35（里/時），兩地距離為2x（35+10）=2×3.5×45=315（里）答：甲：乙兩地距離為315里．一號列車之速度為35里/時．【注】這是《代數(shù)學(xué)辭典》第1188題，書中的解答是：設(shè)甲、乙兩地距離為2x公里，一號列車每時之速度為y里，則得例7.一水槽，以甲、乙二管注水．今先在乙管注滿所需時間之3/5內(nèi)，單以甲管注之，繼單以乙管注滿其余．這樣所用的時間，較之以甲、乙二管同時開放注滿所需之時間多6時．又甲、乙二管同時開放，至注滿為止，所注水量，甲為乙的2/3，問單以甲或乙一管注之，各需若干時而滿？【分析】由題設(shè)可知，甲管的工效是乙管工效的2/3倍，所以，同時開放二管至注滿止，乙管注該水槽的3/5，設(shè)單以乙管注滿水槽需x小時，則二管同時開放需（3/5）x小時才能注滿，又在乙管注滿所需時間之3/5內(nèi)，單以甲管注之，其注水量只相當(dāng)于乙管注水（小時）所注水量，所以，繼單以乙管注滿其余，還需小時，故得答：單以甲管注之需15小時，單以乙管注之需10小時．【注】這是《代數(shù)學(xué)辭典》（日本