滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)四邊形輔助線常用做法在滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)中，四邊形是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，而添加輔助線是解決四邊形相關(guān)問題的常用方法。合理地添加輔助線可以將復(fù)雜的四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形或其他簡單圖形的問題，從而降低解題難度。以下將詳細(xì)介紹四邊形中幾種常見的輔助線添加方法及其應(yīng)用。一、平行四邊形輔助線的添加方法（一）連接對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線具有互相平分的性質(zhì)，連接平行四邊形的對(duì)角線是最常見的輔助線添加方法之一。通過連接對(duì)角線，可以將平行四邊形分割成兩個(gè)全等的三角形，利用三角形的性質(zhì)來解決平行四邊形的問題。例1：已知平行四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE。求證：四邊形AECF是平行四邊形。分析：連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB=CD。又因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以AE=1/2AB，CF=1/2CD，從而AE=CF。又因?yàn)锳E∥CF，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形AECF是平行四邊形。證明：連接AC。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB=CD。因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以AE=1/2AB，CF=1/2CD，所以AE=CF。又因?yàn)锳E∥CF，所以四邊形AECF是平行四邊形。（二）過頂點(diǎn)作高當(dāng)涉及平行四邊形的面積、周長以及角的計(jì)算等問題時(shí)，過平行四邊形的頂點(diǎn)作高，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，利用直角三角形的勾股定理等知識(shí)來求解。例2：已知平行四邊形ABCD的周長為20cm，AB=6cm，∠B=60°，求平行四邊形ABCD的面積。分析：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，在Rt△ABE中，已知∠B=60°，AB=6cm，可求出BE和AE的長度。根據(jù)平行四邊形的周長可求出BC的長度，進(jìn)而求出平行四邊形的面積。解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E。在Rt△ABE中，∠B=60°，則∠BAE=30°。因?yàn)樵谥苯侨切沃校?0°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，所以BE=1/2AB=3cm。根據(jù)勾股定理，AE=√(AB2BE2)=√(6232)=3√3cm。因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的周長為20cm，AB=6cm，所以BC=(202×6)÷2=4cm。所以平行四邊形ABCD的面積=BC×AE=4×3√3=12√3cm2。二、矩形輔助線的添加方法（一）連接對(duì)角線矩形的對(duì)角線相等且互相平分，連接矩形的對(duì)角線可以得到等腰三角形和直角三角形，利用這些特殊三角形的性質(zhì)來解決問題。例3：已知矩形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形ABCD的對(duì)角線長。分析：因?yàn)榫匦蜛BCD的對(duì)角線相等且互相平分，所以O(shè)A=OB。又因?yàn)椤螦OB=60°，所以△AOB是等邊三角形，從而OA=OB=AB=4cm，那么AC=BD=2OA=8cm。解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AC=BD，OA=1/2AC，OB=1/2BD，所以O(shè)A=OB。因?yàn)椤螦OB=60°，所以△AOB是等邊三角形，所以O(shè)A=OB=AB=4cm，所以AC=BD=2OA=8cm。（二）利用矩形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形當(dāng)需要證明線段相等或角相等時(shí)，可以利用矩形的四個(gè)角都是直角以及對(duì)邊相等的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形來解決問題。例4：已知矩形ABCD，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且AE=CF。求證：BE=DF。分析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB=CD，∠A=∠C=90°。又因?yàn)锳E=CF，所以可以證明△ABE≌△CDF，從而得到BE=DF。證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB=CD，∠A=∠C=90°。在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，所以△ABE≌△CDF（SAS），所以BE=DF。三、菱形輔助線的添加方法（一）連接對(duì)角線菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。連接菱形的對(duì)角線可以將菱形分割成四個(gè)全等的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題。例5：已知菱形ABCD的邊長為5cm，對(duì)角線AC=6cm，求菱形ABCD的面積。分析：因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直且平分，所以AC⊥BD，OA=1/2AC=3cm。在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可求出OB的長度，進(jìn)而求出BD的長度。最后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半來計(jì)算菱形的面積。解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，OA=1/2AC=3cm，OB=1/2BD。在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，OB=√(AB2OA2)=√(5232)=4cm，所以BD=2OB=8cm。所以菱形ABCD的面積=1/2AC×BD=1/2×6×8=24cm2。（二）利用菱形的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形菱形的四條邊相等，所以菱形中會(huì)出現(xiàn)很多等腰三角形。利用等腰三角形的性質(zhì)，如三線合一等，可以解決與線段長度、角度等相關(guān)的問題。例6：已知菱形ABCD，∠B=60°，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=CF。求證：△AEF是等邊三角形。分析：連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠B=60°，所以△ABC是等邊三角形，從而AB=AC，∠BAC=60°。又因?yàn)锽E=CF，∠B=∠ACF=60°，所以可以證明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，∠BAE=∠CAF。進(jìn)而可推出∠EAF=60°，所以△AEF是等邊三角形。證明：連接AC。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠B=60°，所以AB=BC，∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以AB=AC，∠B=∠ACF=60°。在△ABE和△ACF中，AB=AC，∠B=∠ACF，BE=CF，所以△ABE≌△ACF（SAS），所以AE=AF，∠BAE=∠CAF。因?yàn)椤螧AC=∠BAE+∠EAC=60°，所以∠EAF=∠CAF+∠EAC=60°。又因?yàn)锳E=AF，所以△AEF是等邊三角形。四、正方形輔助線的添加方法（一）連接對(duì)角線正方形的對(duì)角線相等、互相垂直且平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。連接正方形的對(duì)角線可以得到等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)來解決問題。例7：已知正方形ABCD，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，且∠EAF=45°。求證：EF=BE+DF。分析：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，使得AD與AB重合。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠DAB=90°。旋轉(zhuǎn)后可得∠GAB=∠FAD，AG=AF，GB=DF。又因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=45°，即∠GAE=∠EAF?？勺C明△AGE≌△AFE，從而得到EF=GE=GB+BE=BE+DF。證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG。則∠GAB=∠FAD，AG=AF，GB=DF。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠DAB=90°。因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=90°∠EAF=45°，即∠GAE=∠EAF。在△AGE和△AFE中，AG=AF，∠GAE=∠EAF，AE=AE，所以△AGE≌△AFE（SAS），所以EF=GE。因?yàn)镚E=GB+BE，GB=DF，所以EF=BE+DF。（二）利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角，利用這些性質(zhì)可以構(gòu)造全等三角形來解決與線段、角度等相關(guān)的問題。例8：已知正方形ABCD，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長線上一點(diǎn)，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于N。求證：MD=MN。分析：取AD的中點(diǎn)F，連接MF。因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，所以AF=AM，DF=BM?？勺C明△DFM是等腰直角三角形，∠DFM=45°，則∠MFB=135°。因?yàn)锽N平分∠CBE，所以∠NBE=45°，則∠MBN=135°，即∠DFM=∠MBN。又因?yàn)椤螰DM+∠DMA=90°，∠NMB+∠DMA=90°，所以∠FDM=∠NMB?？勺C明△DFM≌△MBN，從而得到MD=MN。證明：取AD的中點(diǎn)F，連接MF。因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，M是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，所以AF=AM，DF=BM。因?yàn)椤螦=90°，所以△AFM是等腰直角三角形，∠AFM=45°，則∠DFM=135°。因?yàn)锽N平分∠CBE，所以∠NBE=45°，則∠MBN=135°，即∠DFM=∠MBN。因?yàn)镸N⊥DM，所以∠DMN=90°，則∠FDM+∠DMA=90°。又因?yàn)椤螻MB+∠DMA=90°，所以∠FDM=∠NMB。在△DFM和△MBN中，∠DFM=∠MBN，DF=BM，∠FDM=∠NMB，所以△DFM≌△MBN（ASA），所以MD=MN。五、梯形輔助線的添加方法（一）平移一腰平移梯形的一腰，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，利用平行四邊形和三角形的性質(zhì)來解決問題。例9：已知梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，AD=10cm，BC=18cm，求梯形ABCD的腰長。分析：過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，因?yàn)锳D∥BC，DE∥AB，所以四邊形ABED是平行四邊形，所以BE=AD=10cm，DE=AB。則EC=BCBE=1810=8cm。又因?yàn)锳B=DC，所以DE=DC。因?yàn)椤螧=60°，所以∠DEC=∠B=60°，所以△DEC是等邊三角形，所以DC=EC=8cm，即梯形ABCD的腰長為8cm。解：過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E。因?yàn)锳D∥BC，DE∥AB，所以四邊形ABED是平行四邊形，所以BE=AD=10cm，DE=AB。所以EC=BCBE=1810=8cm。因?yàn)锳B=DC，所以DE=DC。因?yàn)椤螧=60°，所以∠DEC=∠B=60°，所以△DEC是等邊三角形，所以DC=EC=8cm，即梯形ABCD的腰長為8cm。（二）作高作梯形的高，將梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，利用直角三角形的勾股定理等知識(shí)來解決問題。例10：已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2cm，BC=6cm，求梯形ABCD的高。分析：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F。因?yàn)锳D∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，所以四邊形AEFD是矩形，所以EF=AD=2cm。設(shè)AE=DF=h，在Rt△ABE中，因?yàn)椤螧=45°，所以BE=AE=h。在Rt△DCF中，因?yàn)椤螩=30°，所以CF=√3h。根據(jù)BC=BE+EF+CF，可列出方程h+2+√3h=6，解方程求出h的值。解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F。因?yàn)锳D∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，所以四邊形AEFD是矩形，所以EF=AD=2cm。設(shè)AE=DF=h。在Rt△ABE中，因?yàn)椤螧=45°，所以BE=AE=h。在Rt△DCF中，因?yàn)椤螩=30°，所以CF=√3h。因?yàn)锽C=BE+EF+CF，所以h+2+√3h=6，(1+√3)h=4，h=4/(1+√3)=2(√31)cm。所以梯形ABCD的高為2(√31)cm。（三）延長兩腰延長梯形的兩腰，使其相交于一點(diǎn)，將梯形轉(zhuǎn)化為三角形，利用三角形的性質(zhì)來解決問題。例11：已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2cm，BC=6cm，求AB的長。分析：延長BA、CD交于點(diǎn)E。因?yàn)锳D∥BC，所以△EAD∽△EBC。因?yàn)椤螧=60°，∠C=30°，所以∠E=90°。設(shè)AB=x，在Rt△EBC中，BC=6cm，∠C=30°，則EB=1/2BC=3cm。在Rt△EAD中，AD=2cm，∠EAD=∠B=60°，則EA=1/2AD=1cm。所以AB=EBEA=31=2cm。解：延長BA、CD交于點(diǎn)E。因?yàn)锳D∥BC，所以△EAD∽△EBC。因?yàn)椤螧=60°，∠C=30°，所